Страница 44 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Запишите в виде степени с основанием b выражения (4.1–4.2):

4.1. 1) $(b^2)^3$; 2) $(b^3)^2$; 3) $(b^4)^3$; 4) $(b^2)^4$.

Для решения данной задачи необходимо использовать свойство возведения степени в степень. Это свойство гласит: чтобы возвести степень в степень, нужно основание оставить прежним, а показатели перемножить. В общем виде это записывается формулой: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

1) Применим указанное свойство к выражению $(b^2)^3$.
Здесь основание $b$, а показатели степеней равны $2$ и $3$.
$(b^2)^3 = b^{2 \cdot 3} = b^6$.
Ответ: $b^6$.

2) Аналогично решим для выражения $(b^3)^2$.
Основание остается $b$, а показатели $3$ и $2$ перемножаются.
$(b^3)^2 = b^{3 \cdot 2} = b^6$.
Ответ: $b^6$.

3) Для выражения $(b^4)^3$ используем то же правило.
Основание $b$ сохраняется, перемножаем показатели $4$ и $3$.
$(b^4)^3 = b^{4 \cdot 3} = b^{12}$.
Ответ: $b^{12}$.

4) Наконец, для выражения $(b^2)^4$ произведем те же действия.
Основание $b$ остается, а показатели $2$ и $4$ перемножаются.
$(b^2)^4 = b^{2 \cdot 4} = b^8$.
Ответ: $b^8$.

4.2. 1) $(b^5)^2 \cdot b^3;$

2) $b \cdot (b^3)^4;$

3) $b^8 \cdot (b^{10})^3;$

4) $b^6 \cdot (b^4)^8;$

5) $(b^7)^5 \cdot b;$

6) $(b^{11})^4 \cdot b^{10};$

7) $(b^5)^{10} : b^{31};$

8) $b^{43} : (b^9)^4;$

9) $(b^6)^{12} \cdot b^{59};$

10) $b^{100} : (b^5)^4;$

11) $(b^{17})^5 : b^{81};$

12) $b^{79} : (b^{13})^6.$

1) Для упрощения выражения $(b^5)^2 \cdot b^3$ необходимо использовать свойства степеней. Сначала применим правило возведения степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
$(b^5)^2 = b^{5 \cdot 2} = b^{10}$.
Теперь выражение выглядит так: $b^{10} \cdot b^3$.
Далее, применим правило умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
$b^{10} \cdot b^3 = b^{10+3} = b^{13}$.
Ответ: $b^{13}$.

2) Для упрощения выражения $b \cdot (b^3)^4$ используем свойства степеней. Учтем, что $b$ это $b^1$.
Применим правило возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ к множителю $(b^3)^4$.
$(b^3)^4 = b^{3 \cdot 4} = b^{12}$.
Выражение принимает вид: $b^1 \cdot b^{12}$.
Теперь используем правило умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
$b^1 \cdot b^{12} = b^{1+12} = b^{13}$.
Ответ: $b^{13}$.

3) Упростим выражение $b^8 \cdot (b^{10})^3$.
Сначала возведем степень в степень: $(b^{10})^3 = b^{10 \cdot 3} = b^{30}$, используя правило $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
Теперь умножим степени с одинаковым основанием: $b^8 \cdot b^{30}$.
По правилу $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ получаем:
$b^8 \cdot b^{30} = b^{8+30} = b^{38}$.
Ответ: $b^{38}$.

4) Упростим выражение $b^6 \cdot (b^4)^8$.
Сначала обработаем множитель в скобках по правилу возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$(b^4)^8 = b^{4 \cdot 8} = b^{32}$.
Теперь выражение выглядит как $b^6 \cdot b^{32}$.
Применим правило умножения степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$b^6 \cdot b^{32} = b^{6+32} = b^{38}$.
Ответ: $b^{38}$.

5) Упростим выражение $(b^7)^5 \cdot b$. Помним, что $b = b^1$.
Возводим степень в степень: $(b^7)^5 = b^{7 \cdot 5} = b^{35}$.
Получаем выражение: $b^{35} \cdot b^1$.
Перемножаем степени с одинаковым основанием: $b^{35} \cdot b^1 = b^{35+1} = b^{36}$.
Ответ: $b^{36}$.

6) Упростим выражение $(b^{11})^4 \cdot b^{10}$.
Сначала возводим степень в степень, используя правило $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$(b^{11})^4 = b^{11 \cdot 4} = b^{44}$.
Выражение принимает вид: $b^{44} \cdot b^{10}$.
Используем правило умножения степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$b^{44} \cdot b^{10} = b^{44+10} = b^{54}$.
Ответ: $b^{54}$.

7) Для упрощения выражения $(b^5)^{10} : b^{31}$ применим свойства степеней.
Сначала возведение степени в степень: $(b^5)^{10} = b^{5 \cdot 10} = b^{50}$.
Теперь выражение выглядит так: $b^{50} : b^{31}$.
Далее применим правило деления степеней с одинаковым основанием: $a^m : a^n = a^{m-n}$.
$b^{50} : b^{31} = b^{50-31} = b^{19}$.
Ответ: $b^{19}$.

8) Упростим выражение $b^{43} : (b^9)^4$.
Сначала упростим делитель, возведя степень в степень:
$(b^9)^4 = b^{9 \cdot 4} = b^{36}$.
Теперь выполним деление: $b^{43} : b^{36}$.
По правилу деления степеней $a^m : a^n = a^{m-n}$ получаем:
$b^{43} : b^{36} = b^{43-36} = b^7$.
Ответ: $b^7$.

9) Упростим выражение $(b^6)^{12} \cdot b^{59}$.
Возводим степень в степень: $(b^6)^{12} = b^{6 \cdot 12} = b^{72}$.
Получаем выражение: $b^{72} \cdot b^{59}$.
Перемножаем степени: $b^{72} \cdot b^{59} = b^{72+59} = b^{131}$.
Ответ: $b^{131}$.

10) Упростим выражение $b^{100} : (b^5)^4$.
Сначала упростим делитель: $(b^5)^4 = b^{5 \cdot 4} = b^{20}$.
Теперь выполним деление: $b^{100} : b^{20}$.
Используя правило деления степеней, получаем: $b^{100-20} = b^{80}$.
Ответ: $b^{80}$.

11) Упростим выражение $(b^{17})^5 : b^{81}$.
Сначала возведем степень в степень: $(b^{17})^5 = b^{17 \cdot 5} = b^{85}$.
Теперь разделим степени: $b^{85} : b^{81}$.
По правилу деления степеней: $b^{85-81} = b^4$.
Ответ: $b^4$.

12) Упростим выражение $b^{79} : (b^{13})^6$.
Сначала упростим делитель: $(b^{13})^6 = b^{13 \cdot 6} = b^{78}$.
Теперь выполним деление: $b^{79} : b^{78}$.
По правилу деления степеней: $b^{79-78} = b^1 = b$.
Ответ: $b$.

Упростите (4.3–4.4):

4.3. 1) $(a^4)^2 \cdot (a^3)^4;$

2) $(b^4 b)^6;$

3) $(c^5)^8 : (c^6)^6;$

4) $(d^8 d^2)^3;$

5) $(c^9)^5 : (c^4)^{10};$

6) $(k k^{11})^7.$

1) Для упрощения выражения $(a^4)^2 \cdot (a^3)^4$ воспользуемся свойствами степеней. Сначала применим правило возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$. Получаем: $(a^4)^2 = a^{4 \cdot 2} = a^8$ и $(a^3)^4 = a^{3 \cdot 4} = a^{12}$. Далее, применяем правило умножения степеней с одинаковым основанием $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$: $a^8 \cdot a^{12} = a^{8+12} = a^{20}$.
Ответ: $a^{20}$.

2) Сначала упростим выражение в скобках, используя правило умножения степеней с одинаковым основанием $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$. Так как $b = b^1$, то $b^4 b = b^4 b^1 = b^{4+1} = b^5$. Теперь возведем полученный результат в степень, используя правило возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$: $(b^5)^6 = b^{5 \cdot 6} = b^{30}$.
Ответ: $b^{30}$.

3) Для упрощения выражения $(c^5)^8 : (c^6)^6$ сначала применим правило возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$ к делимому и делителю: $(c^5)^8 = c^{5 \cdot 8} = c^{40}$ и $(c^6)^6 = c^{6 \cdot 6} = c^{36}$. Теперь выполним деление, используя правило деления степеней с одинаковым основанием $x^m : x^n = x^{m-n}$: $c^{40} : c^{36} = c^{40-36} = c^4$.
Ответ: $c^4$.

4) Сначала упростим выражение в скобках, используя правило умножения степеней с одинаковым основанием $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$: $d^8 d^2 = d^{8+2} = d^{10}$. Затем возведем полученное выражение в степень, применяя правило возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$: $(d^{10})^3 = d^{10 \cdot 3} = d^{30}$.
Ответ: $d^{30}$.

5) Сначала упростим делимое и делитель по отдельности, используя правило возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$: $(c^9)^5 = c^{9 \cdot 5} = c^{45}$ и $(c^4)^{10} = c^{4 \cdot 10} = c^{40}$. Теперь выполним деление степеней с одинаковым основанием по правилу $x^m : x^n = x^{m-n}$: $c^{45} : c^{40} = c^{45-40} = c^5$.
Ответ: $c^5$.

6) Сначала упростим выражение в скобках. Учитывая, что $k = k^1$, применим правило умножения степеней с одинаковым основанием $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$: $k k^{11} = k^1 \cdot k^{11} = k^{1+11} = k^{12}$. Теперь возведем результат в степень, используя правило $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$: $(k^{12})^7 = k^{12 \cdot 7} = k^{84}$.
Ответ: $k^{84}$.

4.4. 1) $(b^4)^6 \cdot (b^5)^4;$

2) $(b^{16})^4 : (b^3)^{20};$

3) $(b^9)^{12} : (b^{10})^{10};$

4) $(b^{30})^3 : (b^4)^{20};$

5) $(b^3)^7 \cdot (b^5)^5;$

6) $(b^7)^6 : (b^8)^5.$

1) Для решения этого примера мы будем использовать свойства степеней. Сначала применим правило возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ к каждому множителю.

$(b^4)^6 = b^{4 \cdot 6} = b^{24}$

$(b^5)^4 = b^{5 \cdot 4} = b^{20}$

После этого исходное выражение примет вид: $b^{24} \cdot b^{20}$.

Теперь воспользуемся правилом умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

$b^{24} \cdot b^{20} = b^{24+20} = b^{44}$

Ответ: $b^{44}$

2) Упростим делимое и делитель, используя правило возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

$(b^{16})^4 = b^{16 \cdot 4} = b^{64}$

$(b^3)^{20} = b^{3 \cdot 20} = b^{60}$

Теперь выражение выглядит как $b^{64} : b^{60}$.

Применим правило деления степеней с одинаковым основанием $a^m : a^n = a^{m-n}$.

$b^{64} : b^{60} = b^{64-60} = b^4$

Ответ: $b^4$

3) Сначала преобразуем каждое выражение в скобках по правилу возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

$(b^9)^{12} = b^{9 \cdot 12} = b^{108}$

$(b^{10})^{10} = b^{10 \cdot 10} = b^{100}$

Затем выполним деление полученных степеней, используя правило $a^m : a^n = a^{m-n}$.

$b^{108} : b^{100} = b^{108-100} = b^8$

Ответ: $b^8$

4) Применим правило $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ для упрощения делимого и делителя.

$(b^{30})^3 = b^{30 \cdot 3} = b^{90}$

$(b^4)^{20} = b^{4 \cdot 20} = b^{80}$

Теперь выполним деление степеней по правилу $a^m : a^n = a^{m-n}$.

$b^{90} : b^{80} = b^{90-80} = b^{10}$

Ответ: $b^{10}$

5) Упростим каждый множитель, используя правило возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

$(b^3)^7 = b^{3 \cdot 7} = b^{21}$

$(b^5)^5 = b^{5 \cdot 5} = b^{25}$

Теперь перемножим полученные степени по правилу умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

$b^{21} \cdot b^{25} = b^{21+25} = b^{46}$

Ответ: $b^{46}$

6) Сначала упростим каждое выражение в скобках, применив правило $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

$(b^7)^6 = b^{7 \cdot 6} = b^{42}$

$(b^8)^5 = b^{8 \cdot 5} = b^{40}$

Далее выполним деление степеней, используя правило $a^m : a^n = a^{m-n}$.

$b^{42} : b^{40} = b^{42-40} = b^2$

Ответ: $b^2$

4.5. Представьте в виде квадрата выражения степень:

1) Чтобы представить степень $a^6$ в виде квадрата выражения, мы используем свойство возведения степени в степень: $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$. Нам нужно найти такое выражение, которое при возведении в квадрат даст $a^6$. Это означает, что мы ищем выражение вида $(a^k)^2$. По свойству степеней, $(a^k)^2 = a^{k \cdot 2}$. Приравнивая показатели, получаем уравнение: $k \cdot 2 = 6$. Решая его, находим $k = 3$. Таким образом, $a^6$ можно представить как квадрат выражения $a^3$.
Ответ: $(a^3)^2$

2) Аналогично предыдущему пункту, для представления $x^{20}$ в виде квадрата воспользуемся свойством $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$. Мы ищем выражение вида $(x^k)^2$ такое, что $(x^k)^2 = x^{20}$. Это приводит к уравнению для показателей степеней: $k \cdot 2 = 20$. Отсюда находим $k = 10$. Следовательно, $x^{20}$ является квадратом выражения $x^{10}$.
Ответ: $(x^{10})^2$

3) Для степени $y^{22}$ снова применяем то же свойство степеней. Ищем такое $k$, чтобы $(y^k)^2 = y^{22}$. Из равенства показателей $k \cdot 2 = 22$ получаем $k = 11$. Значит, $y^{22}$ можно представить в виде квадрата выражения $y^{11}$.
Ответ: $(y^{11})^2$

4) Для степени $z^{48}$ поступаем так же. Необходимо найти $k$ из условия $(z^k)^2 = z^{48}$. Равенство показателей степени дает нам $k \cdot 2 = 48$, откуда $k = 24$. Таким образом, $z^{48}$ — это квадрат выражения $z^{24}$.
Ответ: $(z^{24})^2$

4.6. Представьте в виде куба выражения степень:

1) $a^6$;

2) $x^{21}$;

3) $y^{30}$;

4) $z^{72}$.

1) Чтобы представить степень $a^6$ в виде куба выражения, необходимо найти такое выражение, которое при возведении в третью степень даст $a^6$. Воспользуемся свойством степени $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$. Мы ищем такое число $m$, что $(a^m)^3 = a^6$. Это эквивалентно уравнению $a^{3m} = a^6$, откуда следует, что $3m=6$. Решая уравнение, находим $m = 6 / 3 = 2$. Таким образом, $a^6 = (a^2)^3$.
Ответ: $(a^2)^3$.

2) Для того чтобы представить степень $x^{21}$ в виде куба, нужно показатель степени разделить на 3. Это следует из свойства $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$. В нашем случае, мы ищем $m$ такое, что $(x^m)^3 = x^{21}$. Отсюда $3m=21$, и $m = 21 / 3 = 7$. Следовательно, $x^{21} = (x^7)^3$.
Ответ: $(x^7)^3$.

3) Аналогично предыдущим примерам, чтобы представить $y^{30}$ в виде куба, мы используем правило возведения степени в степень. Мы ищем $m$ такое, что $(y^m)^3 = y^{30}$. Это означает, что $3m = 30$, и $m = 30 / 3 = 10$. Таким образом, $y^{30} = (y^{10})^3$.
Ответ: $(y^{10})^3$.

4) Чтобы представить степень $z^{72}$ в виде куба, мы делим показатель степени на 3. Мы ищем такое $m$, для которого $(z^m)^3 = z^{72}$. Из этого следует, что $3m = 72$. Решая для $m$, получаем $m = 72 / 3 = 24$. Значит, $z^{72} = (z^{24})^3$.
Ответ: $(z^{24})^3$.

4.7. Вычислите:

1) $(5^2)^2 - 600;$

2) $(3^3)^2 + 271;

3) $1000 - 5 \cdot (2^3)^2;$

4) $\left(\left(\frac{1}{2}\right)^4\right)^2 \cdot 320;$

5) $(2^4)^2 - 200;$

6) $\left(\left(\frac{2}{3}\right)^2\right)^3 \cdot \frac{3645}{32}.

1) Для вычисления выражения $(5^2)^2 - 600$ сначала возводим степень в степень, используя правило $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
$(5^2)^2 = 5^{2 \cdot 2} = 5^4$.
Далее вычисляем значение $5^4$:
$5^4 = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 625$.
Наконец, выполняем вычитание:
$625 - 600 = 25$.
Ответ: $25$.

2) В выражении $(3^3)^2 + 271$ сначала возводим степень в степень:
$(3^3)^2 = 3^{3 \cdot 2} = 3^6$.
Вычисляем $3^6$:
$3^6 = 729$.
Затем выполняем сложение:
$729 + 271 = 1000$.
Ответ: $1000$.

3) В выражении $1000 - 5 \cdot (2^3)^2$ действуем согласно порядку операций. Сначала вычисляем значение в скобках:
$(2^3)^2 = 2^{3 \cdot 2} = 2^6 = 64$.
Теперь выражение принимает вид $1000 - 5 \cdot 64$.
Далее выполняем умножение:
$5 \cdot 64 = 320$.
В конце выполняем вычитание:
$1000 - 320 = 680$.
Ответ: $680$.

4) В выражении $\left(\left(\frac{1}{2}\right)^4\right)^2 \cdot 320$ сначала упрощаем степень:
$\left(\left(\frac{1}{2}\right)^4\right)^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^{4 \cdot 2} = \left(\frac{1}{2}\right)^8$.
Вычисляем значение степени:
$\left(\frac{1}{2}\right)^8 = \frac{1^8}{2^8} = \frac{1}{256}$.
Теперь выполняем умножение:
$\frac{1}{256} \cdot 320 = \frac{320}{256}$.
Сокращаем дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 64:
$\frac{320 \div 64}{256 \div 64} = \frac{5}{4}$.
Ответ: $\frac{5}{4}$ (или $1.25$).

5) В выражении $(2^4)^2 - 200$ сначала возводим степень в степень:
$(2^4)^2 = 2^{4 \cdot 2} = 2^8$.
Вычисляем $2^8 = 256$.
Затем выполняем вычитание:
$256 - 200 = 56$.
Ответ: $56$.

6) В выражении $\left(\left(\frac{2}{3}\right)^2\right)^3 \cdot \frac{3645}{32}$ сначала упрощаем степень:
$\left(\left(\frac{2}{3}\right)^2\right)^3 = \left(\frac{2}{3}\right)^{2 \cdot 3} = \left(\frac{2}{3}\right)^6$.
Возводим дробь в степень:
$\left(\frac{2}{3}\right)^6 = \frac{2^6}{3^6} = \frac{64}{729}$.
Теперь умножаем дроби: $\frac{64}{729} \cdot \frac{3645}{32}$.
Для удобства вычислений сначала сократим дроби: $\frac{64}{32} = 2$ и $\frac{3645}{729} = 5$.
Итоговое выражение: $2 \cdot 5 = 10$.
Ответ: $10$.

4.8. Найдите значение выражения:

1) $(b^5)^3 \cdot (b^2)^7 : (b^6)^4$ при $b = -2$;

2) $(a^2)^5 \cdot (a^{10})^2 : (a^{14})^2$ при $a = -\frac{3}{7}$.

1) Чтобы найти значение выражения $(b^5)^3 \cdot (b^2)^7 : (b^6)^4$ при $b = -2$, сначала упростим его, используя свойства степеней.

Применяем правило возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$:

$(b^5)^3 = b^{5 \cdot 3} = b^{15}$

$(b^2)^7 = b^{2 \cdot 7} = b^{14}$

$(b^6)^4 = b^{6 \cdot 4} = b^{24}$

Теперь подставим эти значения обратно в выражение:

$b^{15} \cdot b^{14} : b^{24}$

Применяем правило умножения степеней с одинаковым основанием $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$:

$b^{15} \cdot b^{14} = b^{15+14} = b^{29}$

Теперь выражение выглядит так: $b^{29} : b^{24}$.

Применяем правило деления степеней с одинаковым основанием $x^m : x^n = x^{m-n}$:

$b^{29} : b^{24} = b^{29-24} = b^5$

Теперь, когда выражение упрощено, подставим в него значение $b = -2$:

$b^5 = (-2)^5 = -32$

Ответ: $-32$

2) Чтобы найти значение выражения $(a^2)^5 \cdot (a^{10})^2 : (a^{14})^2$ при $a = -\frac{3}{7}$, также сначала упростим его.

Используем правило возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$:

$(a^2)^5 = a^{2 \cdot 5} = a^{10}$

$(a^{10})^2 = a^{10 \cdot 2} = a^{20}$

$(a^{14})^2 = a^{14 \cdot 2} = a^{28}$

Подставляем упрощенные части в исходное выражение:

$a^{10} \cdot a^{20} : a^{28}$

Используем правило умножения степеней $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$:

$a^{10} \cdot a^{20} = a^{10+20} = a^{30}$

Теперь выражение имеет вид: $a^{30} : a^{28}$.

Используем правило деления степеней $x^m : x^n = x^{m-n}$:

$a^{30} : a^{28} = a^{30-28} = a^2$

Подставим значение $a = -\frac{3}{7}$ в упрощенное выражение $a^2$:

$a^2 = \left(-\frac{3}{7}\right)^2 = \left(-\frac{3}{7}\right) \cdot \left(-\frac{3}{7}\right) = \frac{9}{49}$

Ответ: $\frac{9}{49}$

4.9. Докажите тождество:

1) $(a^2)^4 \cdot (a^3)^5 : (a^3)^7 = a^2;$

2) $(x^3)^6 \cdot (x^2)^5 = x^{28}.$

1) Чтобы доказать тождество, преобразуем его левую часть: $(a^2)^4 \cdot (a^3)^5 : (a^3)^7$. Для этого воспользуемся свойствами степеней.

Сначала применим правило возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$:

$(a^2)^4 = a^{2 \cdot 4} = a^8$

$(a^3)^5 = a^{3 \cdot 5} = a^{15}$

$(a^3)^7 = a^{3 \cdot 7} = a^{21}$

Подставим полученные значения обратно в выражение: $a^8 \cdot a^{15} : a^{21}$.

Теперь последовательно выполним умножение и деление степеней с одинаковым основанием, используя правила $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$ и $x^m : x^n = x^{m-n}$:

$a^8 \cdot a^{15} : a^{21} = a^{8+15} : a^{21} = a^{23} : a^{21} = a^{23-21} = a^2$.

Мы получили, что левая часть тождества равна правой части: $a^2 = a^2$. Тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

2) Чтобы доказать тождество, преобразуем его левую часть: $(x^3)^6 \cdot (x^2)^5$.

Используя правило возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$, упростим каждый множитель:

$(x^3)^6 = x^{3 \cdot 6} = x^{18}$

$(x^2)^5 = x^{2 \cdot 5} = x^{10}$

Теперь перемножим полученные степени, используя правило умножения степеней с одинаковым основанием $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$:

$x^{18} \cdot x^{10} = x^{18+10} = x^{28}$.

Мы получили, что левая часть тождества равна правой части: $x^{28} = x^{28}$. Тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

4.10. Упростите:

1) $\frac{(125b^2)^3}{25b^4}$;

2) $\frac{45x^{14}y^9}{-27x^{12}(-y^3)^3}$;

3) $\frac{-32c^{15}(d^4)^5}{24c^{13}d^{17}}$.

1) Для упрощения выражения $\frac{(125b^2)^3}{25b^4}$ выполним следующие шаги:

Сначала представим числовые коэффициенты 125 и 25 в виде степеней числа 5: $125 = 5^3$ и $25 = 5^2$.

Тогда исходное выражение можно переписать так: $\frac{((5^3)b^2)^3}{(5^2)b^4}$.

Теперь возведем в степень числитель, используя свойство степени произведения $(ab)^n = a^nb^n$ и свойство степени степени $(a^m)^n = a^{mn}$:

$( (5^3)b^2 )^3 = (5^3)^3 \cdot (b^2)^3 = 5^{3 \cdot 3} \cdot b^{2 \cdot 3} = 5^9 b^6$.

Теперь подставим полученное выражение обратно в дробь:

$\frac{5^9 b^6}{5^2 b^4}$.

Далее применим свойство деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$\frac{5^9}{5^2} \cdot \frac{b^6}{b^4} = 5^{9-2} \cdot b^{6-4} = 5^7 b^2$.

Вычислим $5^7$: $5^7 = 78125$.

Таким образом, окончательное выражение равно $78125b^2$.

Ответ: $78125b^2$.

2) Упростим выражение $\frac{45x^{14}y^9}{-27x^{12}(-y^3)^3}$.

Сначала упростим знаменатель. Возведем в куб выражение $(-y^3)$, используя свойство $(-a)^n = -a^n$ для нечетного n:

$(-y^3)^3 = -(y^3)^3 = -y^{3 \cdot 3} = -y^9$.

Теперь подставим это в знаменатель дроби:

$-27x^{12}(-y^9) = (-27) \cdot (-1) \cdot x^{12}y^9 = 27x^{12}y^9$.

Теперь вся дробь выглядит так:

$\frac{45x^{14}y^9}{27x^{12}y^9}$.

Сократим числовые коэффициенты, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 9:

$\frac{45}{27} = \frac{5 \cdot 9}{3 \cdot 9} = \frac{5}{3}$.

Теперь сократим переменные, используя свойство деления степеней:

$\frac{x^{14}}{x^{12}} = x^{14-12} = x^2$.

$\frac{y^9}{y^9} = y^{9-9} = y^0 = 1$.

Соберем все части вместе:

$\frac{5}{3} \cdot x^2 \cdot 1 = \frac{5}{3}x^2$.

Ответ: $\frac{5}{3}x^2$.

3) Упростим выражение $\frac{-32c^{15}(d^4)^5}{24c^{13}d^{17}}$.

Сначала упростим числитель. Возведем в степень выражение $(d^4)^5$ по свойству $(a^m)^n = a^{mn}$:

$(d^4)^5 = d^{4 \cdot 5} = d^{20}$.

Подставим это в числитель:

$-32c^{15}d^{20}$.

Теперь вся дробь выглядит так:

$\frac{-32c^{15}d^{20}}{24c^{13}d^{17}}$.

Сократим числовые коэффициенты. Наибольший общий делитель для 32 и 24 равен 8:

$\frac{-32}{24} = \frac{-4 \cdot 8}{3 \cdot 8} = -\frac{4}{3}$.

Теперь сократим переменные, используя свойство деления степеней:

$\frac{c^{15}}{c^{13}} = c^{15-13} = c^2$.

$\frac{d^{20}}{d^{17}} = d^{20-17} = d^3$.

Соберем все части вместе:

$-\frac{4}{3} \cdot c^2 \cdot d^3 = -\frac{4c^2d^3}{3}$.

Ответ: $-\frac{4c^2d^3}{3}$.