Номер 4.9, страница 44 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

4.9. Докажите тождество:

1) $(a^2)^4 \cdot (a^3)^5 : (a^3)^7 = a^2;$

2) $(x^3)^6 \cdot (x^2)^5 = x^{28}.$

1) Чтобы доказать тождество, преобразуем его левую часть: $(a^2)^4 \cdot (a^3)^5 : (a^3)^7$. Для этого воспользуемся свойствами степеней.

Сначала применим правило возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$:

$(a^2)^4 = a^{2 \cdot 4} = a^8$

$(a^3)^5 = a^{3 \cdot 5} = a^{15}$

$(a^3)^7 = a^{3 \cdot 7} = a^{21}$

Подставим полученные значения обратно в выражение: $a^8 \cdot a^{15} : a^{21}$.

Теперь последовательно выполним умножение и деление степеней с одинаковым основанием, используя правила $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$ и $x^m : x^n = x^{m-n}$:

$a^8 \cdot a^{15} : a^{21} = a^{8+15} : a^{21} = a^{23} : a^{21} = a^{23-21} = a^2$.

Мы получили, что левая часть тождества равна правой части: $a^2 = a^2$. Тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

2) Чтобы доказать тождество, преобразуем его левую часть: $(x^3)^6 \cdot (x^2)^5$.

Используя правило возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$, упростим каждый множитель:

$(x^3)^6 = x^{3 \cdot 6} = x^{18}$

$(x^2)^5 = x^{2 \cdot 5} = x^{10}$

Теперь перемножим полученные степени, используя правило умножения степеней с одинаковым основанием $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$:

$x^{18} \cdot x^{10} = x^{18+10} = x^{28}$.

Мы получили, что левая часть тождества равна правой части: $x^{28} = x^{28}$. Тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.