Номер 4.15, страница 45 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

4.15. Сравните значения выражений:

1) $(2^3 b^2)^3$ и $2^9 b^6;$

2) $(m^2 c^3)^4$ и $m^8 c^7;$

3) $(\frac{3}{11})^2$ и $\frac{3^2}{11^2};$

4) $(\frac{2}{9})^3$ и $\frac{2^3}{9^3}.$

1) $(2^3b^2)^3$ и $2^9b^6$

Чтобы сравнить значения выражений, необходимо упростить первое выражение, используя свойства степеней.

Воспользуемся правилом возведения произведения в степень $(xy)^n = x^n y^n$ и правилом возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{mn}$.

Упростим первое выражение:

$(2^3b^2)^3 = (2^3)^3 \cdot (b^2)^3 = 2^{3 \cdot 3} \cdot b^{2 \cdot 3} = 2^9b^6$.

Теперь сравним результат со вторым выражением:

$2^9b^6 = 2^9b^6$.

Значения данных выражений равны.

Ответ: $(2^3b^2)^3 = 2^9b^6$.

2) $(m^2c^3)^4$ и $m^8c^7$

Упростим первое выражение, используя те же свойства степеней:

$(m^2c^3)^4 = (m^2)^4 \cdot (c^3)^4 = m^{2 \cdot 4} \cdot c^{3 \cdot 4} = m^8c^{12}$.

Теперь сравним полученное выражение $m^8c^{12}$ со вторым выражением $m^8c^7$.

Показатели степени при переменной $c$ в этих выражениях различны ($12 \neq 7$), поэтому в общем случае выражения не равны. Их равенство или неравенство зависит от конкретного значения переменной $c$. Например, если $c=1$, выражения равны, а если $c=2$, то первое выражение больше второго. Так как тождественного равенства нет, выражения не равны.

Ответ: в общем случае $(m^2c^3)^4 \neq m^8c^7$.

3) $(\frac{3}{11})^2$ и $\frac{3^2}{11^2}$

Для сравнения выражений воспользуемся свойством возведения дроби в степень: $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$.

Применим это свойство к первому выражению:

$(\frac{3}{11})^2 = \frac{3^2}{11^2}$.

Полученное выражение полностью совпадает со вторым выражением.

Следовательно, значения выражений равны.

Ответ: $(\frac{3}{11})^2 = \frac{3^2}{11^2}$.

4) $(\frac{2}{9})^3$ и $\frac{2^3}{9^3}$

Используем свойство возведения дроби в степень $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$ для первого выражения:

$(\frac{2}{9})^3 = \frac{2^3}{9^3}$.

Сравнивая результат со вторым выражением, мы видим, что они идентичны.

Следовательно, значения данных выражений равны.

Ответ: $(\frac{2}{9})^3 = \frac{2^3}{9^3}$.