Номер 4.13, страница 45 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

4.13. Докажите тождество:

1) $(a^{2k})^5 : (2a^{3k}) - 1,5a^{7k} = -a^{7k}$

2) $(y^{2n})^6 : (5y^{5n})^2 + 0,96y^{2n} = y^{2n}$

1) Докажем тождество $(a^{2k})^5 : (2a^{3k}) - 1,5a^{7k} = -a^{7k}$ путем преобразования его левой части.

Сначала выполним действия со степенями, используя свойства $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$ и $x^m : x^n = x^{m-n}$.

1. Возведем в степень первый член: $(a^{2k})^5 = a^{2k \cdot 5} = a^{10k}$.

2. Подставим результат в левую часть выражения: $a^{10k} : (2a^{3k}) - 1,5a^{7k}$.

3. Выполним деление: $a^{10k} : (2a^{3k}) = \frac{1}{2} \cdot a^{10k - 3k} = \frac{1}{2}a^{7k} = 0,5a^{7k}$.

4. Теперь выражение выглядит так: $0,5a^{7k} - 1,5a^{7k}$.

5. Выполним вычитание, приведя подобные слагаемые: $(0,5 - 1,5)a^{7k} = -1 \cdot a^{7k} = -a^{7k}$.

В результате преобразования левой части мы получили правую часть: $-a^{7k} = -a^{7k}$. Тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

2) Докажем тождество $(y^{2n})^6 : (5y^{5n})^2 + 0,96y^{2n} = y^{2n}$ путем преобразования его левой части.

Используем свойства степеней $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$, $(xy)^n = x^n y^n$ и $x^m : x^n = x^{m-n}$.

1. Преобразуем делимое: $(y^{2n})^6 = y^{2n \cdot 6} = y^{12n}$.

2. Преобразуем делитель: $(5y^{5n})^2 = 5^2 \cdot (y^{5n})^2 = 25 \cdot y^{5n \cdot 2} = 25y^{10n}$.

3. Подставим результаты в выражение и выполним деление: $y^{12n} : (25y^{10n}) = \frac{y^{12n}}{25y^{10n}} = \frac{1}{25} \cdot y^{12n - 10n} = \frac{1}{25}y^{2n}$.

4. Переведем коэффициент в десятичную дробь для удобства сложения: $\frac{1}{25} = 0,04$. Получаем $0,04y^{2n}$.

5. Теперь левая часть выражения выглядит так: $0,04y^{2n} + 0,96y^{2n}$.

6. Выполним сложение подобных слагаемых: $(0,04 + 0,96)y^{2n} = 1 \cdot y^{2n} = y^{2n}$.

В результате преобразования левой части мы получили правую часть: $y^{2n} = y^{2n}$. Тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.