Номер 4.11, страница 45 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

4.11. Вычислите:

1) $\frac{(13^5)^{11} \cdot (13^4)^{10}}{(13^{47})^2}$;

2) $\frac{(7^5)^6 \cdot 7^{27}}{(7^{14})^4}$;

3) $\frac{(6^8)^9 \cdot (6^4)^5}{(6^{24})^3 \cdot (6^3)^6}$;

4) $\frac{(19^{11})^7 \cdot (19^7)^2}{(19^{20})^3 \cdot 19^{29}}$;

5) $\frac{(3^{15})^5 \cdot (3^{12})^2}{(3^2)^{25} \cdot (3^3)^{16}}$;

6) $\frac{(2^{40})^3 \cdot (2^{12})^5}{(2^{45})^2 \cdot (2^{11})^4}$.

1)

Для решения примеров будем использовать следующие свойства степеней:

• При возведении степени в степень показатели перемножаются: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
• При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
• При делении степеней с одинаковым основанием из показателя делимого вычитается показатель делителя: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.

Выполним вычисления для выражения $\frac{(13^5)^{11} \cdot (13^4)^{10}}{(13^{47})^2}$:

$\frac{(13^5)^{11} \cdot (13^4)^{10}}{(13^{47})^2} = \frac{13^{5 \cdot 11} \cdot 13^{4 \cdot 10}}{13^{47 \cdot 2}} = \frac{13^{55} \cdot 13^{40}}{13^{94}} = \frac{13^{55+40}}{13^{94}} = \frac{13^{95}}{13^{94}} = 13^{95-94} = 13^1 = 13$.

Ответ: 13.

2)

Применим свойства степеней для выражения $\frac{(7^5)^6 \cdot 7^{27}}{(7^{14})^4}$:

$\frac{(7^5)^6 \cdot 7^{27}}{(7^{14})^4} = \frac{7^{5 \cdot 6} \cdot 7^{27}}{7^{14 \cdot 4}} = \frac{7^{30} \cdot 7^{27}}{7^{56}} = \frac{7^{30+27}}{7^{56}} = \frac{7^{57}}{7^{56}} = 7^{57-56} = 7^1 = 7$.

Ответ: 7.

3)

Упростим выражение $\frac{(6^8)^9 \cdot (6^4)^5}{(6^{24})^3 \cdot (6^3)^6}$, применяя свойства степеней:

$\frac{(6^8)^9 \cdot (6^4)^5}{(6^{24})^3 \cdot (6^3)^6} = \frac{6^{8 \cdot 9} \cdot 6^{4 \cdot 5}}{6^{24 \cdot 3} \cdot 6^{3 \cdot 6}} = \frac{6^{72} \cdot 6^{20}}{6^{72} \cdot 6^{18}} = \frac{6^{72+20}}{6^{72+18}} = \frac{6^{92}}{6^{90}} = 6^{92-90} = 6^2 = 36$.

Ответ: 36.

4)

Упростим выражение $\frac{(19^{11})^7 \cdot (19^7)^2}{(19^{20})^3 \cdot 19^{29}}$, применяя свойства степеней:

$\frac{(19^{11})^7 \cdot (19^7)^2}{(19^{20})^3 \cdot 19^{29}} = \frac{19^{11 \cdot 7} \cdot 19^{7 \cdot 2}}{19^{20 \cdot 3} \cdot 19^{29}} = \frac{19^{77} \cdot 19^{14}}{19^{60} \cdot 19^{29}} = \frac{19^{77+14}}{19^{60+29}} = \frac{19^{91}}{19^{89}} = 19^{91-89} = 19^2 = 361$.

Ответ: 361.

5)

Упростим выражение $\frac{(3^{15})^5 \cdot (3^{12})^2}{(3^2)^{25} \cdot (3^3)^{16}}$, применяя свойства степеней:

$\frac{(3^{15})^5 \cdot (3^{12})^2}{(3^2)^{25} \cdot (3^3)^{16}} = \frac{3^{15 \cdot 5} \cdot 3^{12 \cdot 2}}{3^{2 \cdot 25} \cdot 3^{3 \cdot 16}} = \frac{3^{75} \cdot 3^{24}}{3^{50} \cdot 3^{48}} = \frac{3^{75+24}}{3^{50+48}} = \frac{3^{99}}{3^{98}} = 3^{99-98} = 3^1 = 3$.

Ответ: 3.

6)

Упростим выражение $\frac{(2^{40})^3 \cdot (2^{12})^5}{(2^{45})^2 \cdot (2^{11})^4}$, применяя свойства степеней:

$\frac{(2^{40})^3 \cdot (2^{12})^5}{(2^{45})^2 \cdot (2^{11})^4} = \frac{2^{40 \cdot 3} \cdot 2^{12 \cdot 5}}{2^{45 \cdot 2} \cdot 2^{11 \cdot 4}} = \frac{2^{120} \cdot 2^{60}}{2^{90} \cdot 2^{44}} = \frac{2^{120+60}}{2^{90+44}} = \frac{2^{180}}{2^{134}} = 2^{180-134} = 2^{46}$.

Ответ: $2^{46}$.