Страница 45 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

4.11. Вычислите:

1) $\frac{(13^5)^{11} \cdot (13^4)^{10}}{(13^{47})^2}$;

2) $\frac{(7^5)^6 \cdot 7^{27}}{(7^{14})^4}$;

3) $\frac{(6^8)^9 \cdot (6^4)^5}{(6^{24})^3 \cdot (6^3)^6}$;

4) $\frac{(19^{11})^7 \cdot (19^7)^2}{(19^{20})^3 \cdot 19^{29}}$;

5) $\frac{(3^{15})^5 \cdot (3^{12})^2}{(3^2)^{25} \cdot (3^3)^{16}}$;

6) $\frac{(2^{40})^3 \cdot (2^{12})^5}{(2^{45})^2 \cdot (2^{11})^4}$.

1)

Для решения примеров будем использовать следующие свойства степеней:

• При возведении степени в степень показатели перемножаются: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
• При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
• При делении степеней с одинаковым основанием из показателя делимого вычитается показатель делителя: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.

Выполним вычисления для выражения $\frac{(13^5)^{11} \cdot (13^4)^{10}}{(13^{47})^2}$:

$\frac{(13^5)^{11} \cdot (13^4)^{10}}{(13^{47})^2} = \frac{13^{5 \cdot 11} \cdot 13^{4 \cdot 10}}{13^{47 \cdot 2}} = \frac{13^{55} \cdot 13^{40}}{13^{94}} = \frac{13^{55+40}}{13^{94}} = \frac{13^{95}}{13^{94}} = 13^{95-94} = 13^1 = 13$.

Ответ: 13.

2)

Применим свойства степеней для выражения $\frac{(7^5)^6 \cdot 7^{27}}{(7^{14})^4}$:

$\frac{(7^5)^6 \cdot 7^{27}}{(7^{14})^4} = \frac{7^{5 \cdot 6} \cdot 7^{27}}{7^{14 \cdot 4}} = \frac{7^{30} \cdot 7^{27}}{7^{56}} = \frac{7^{30+27}}{7^{56}} = \frac{7^{57}}{7^{56}} = 7^{57-56} = 7^1 = 7$.

Ответ: 7.

3)

Упростим выражение $\frac{(6^8)^9 \cdot (6^4)^5}{(6^{24})^3 \cdot (6^3)^6}$, применяя свойства степеней:

$\frac{(6^8)^9 \cdot (6^4)^5}{(6^{24})^3 \cdot (6^3)^6} = \frac{6^{8 \cdot 9} \cdot 6^{4 \cdot 5}}{6^{24 \cdot 3} \cdot 6^{3 \cdot 6}} = \frac{6^{72} \cdot 6^{20}}{6^{72} \cdot 6^{18}} = \frac{6^{72+20}}{6^{72+18}} = \frac{6^{92}}{6^{90}} = 6^{92-90} = 6^2 = 36$.

Ответ: 36.

4)

Упростим выражение $\frac{(19^{11})^7 \cdot (19^7)^2}{(19^{20})^3 \cdot 19^{29}}$, применяя свойства степеней:

$\frac{(19^{11})^7 \cdot (19^7)^2}{(19^{20})^3 \cdot 19^{29}} = \frac{19^{11 \cdot 7} \cdot 19^{7 \cdot 2}}{19^{20 \cdot 3} \cdot 19^{29}} = \frac{19^{77} \cdot 19^{14}}{19^{60} \cdot 19^{29}} = \frac{19^{77+14}}{19^{60+29}} = \frac{19^{91}}{19^{89}} = 19^{91-89} = 19^2 = 361$.

Ответ: 361.

5)

Упростим выражение $\frac{(3^{15})^5 \cdot (3^{12})^2}{(3^2)^{25} \cdot (3^3)^{16}}$, применяя свойства степеней:

$\frac{(3^{15})^5 \cdot (3^{12})^2}{(3^2)^{25} \cdot (3^3)^{16}} = \frac{3^{15 \cdot 5} \cdot 3^{12 \cdot 2}}{3^{2 \cdot 25} \cdot 3^{3 \cdot 16}} = \frac{3^{75} \cdot 3^{24}}{3^{50} \cdot 3^{48}} = \frac{3^{75+24}}{3^{50+48}} = \frac{3^{99}}{3^{98}} = 3^{99-98} = 3^1 = 3$.

Ответ: 3.

6)

Упростим выражение $\frac{(2^{40})^3 \cdot (2^{12})^5}{(2^{45})^2 \cdot (2^{11})^4}$, применяя свойства степеней:

$\frac{(2^{40})^3 \cdot (2^{12})^5}{(2^{45})^2 \cdot (2^{11})^4} = \frac{2^{40 \cdot 3} \cdot 2^{12 \cdot 5}}{2^{45 \cdot 2} \cdot 2^{11 \cdot 4}} = \frac{2^{120} \cdot 2^{60}}{2^{90} \cdot 2^{44}} = \frac{2^{120+60}}{2^{90+44}} = \frac{2^{180}}{2^{134}} = 2^{180-134} = 2^{46}$.

Ответ: $2^{46}$.

4.12. Найдите значение выражения:

1) $ (y^4)^5 : (y^9)^2 \cdot y^3 $ при $ y = -1 $;

2) $ (z^3)^9 : (z^4)^6 \cdot z $ при $ z = -2 $.

1) Для нахождения значения выражения $(y^4)^5 : (y^9)^2 \cdot y^3$ при $y = -1$ сначала упростим его, используя свойства степеней.
Правила, которые мы будем использовать:
- Возведение степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
- Деление степеней с одинаковым основанием: $a^m : a^n = a^{m-n}$.
- Умножение степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

Применим правило возведения степени в степень к частям выражения:
$(y^4)^5 = y^{4 \cdot 5} = y^{20}$
$(y^9)^2 = y^{9 \cdot 2} = y^{18}$

Теперь выражение выглядит так: $y^{20} : y^{18} \cdot y^3$.
Выполним действия по порядку слева направо. Сначала деление:
$y^{20} : y^{18} = y^{20-18} = y^2$

Теперь выполним умножение:
$y^2 \cdot y^3 = y^{2+3} = y^5$

Мы упростили исходное выражение до $y^5$. Теперь подставим в него значение $y = -1$:
$(-1)^5 = -1$
(Так как -1 в нечетной степени равно -1).

Ответ: -1

2) Для нахождения значения выражения $(z^3)^9 : (z^4)^6 \cdot z$ при $z = -2$ также сначала упростим его.

Применим правило возведения степени в степень:
$(z^3)^9 = z^{3 \cdot 9} = z^{27}$
$(z^4)^6 = z^{4 \cdot 6} = z^{24}$

Выражение принимает вид: $z^{27} : z^{24} \cdot z$.
Помним, что $z$ можно записать как $z^1$.
Выполним деление:
$z^{27} : z^{24} = z^{27-24} = z^3$

Теперь выполним умножение:
$z^3 \cdot z^1 = z^{3+1} = z^4$

Упрощенное выражение – $z^4$. Подставим в него значение $z = -2$:
$(-2)^4 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = 16$
(Так как отрицательное число в четной степени дает положительный результат).

Ответ: 16

4.13. Докажите тождество:

1) $(a^{2k})^5 : (2a^{3k}) - 1,5a^{7k} = -a^{7k}$

2) $(y^{2n})^6 : (5y^{5n})^2 + 0,96y^{2n} = y^{2n}$

1) Докажем тождество $(a^{2k})^5 : (2a^{3k}) - 1,5a^{7k} = -a^{7k}$ путем преобразования его левой части.

Сначала выполним действия со степенями, используя свойства $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$ и $x^m : x^n = x^{m-n}$.

1. Возведем в степень первый член: $(a^{2k})^5 = a^{2k \cdot 5} = a^{10k}$.

2. Подставим результат в левую часть выражения: $a^{10k} : (2a^{3k}) - 1,5a^{7k}$.

3. Выполним деление: $a^{10k} : (2a^{3k}) = \frac{1}{2} \cdot a^{10k - 3k} = \frac{1}{2}a^{7k} = 0,5a^{7k}$.

4. Теперь выражение выглядит так: $0,5a^{7k} - 1,5a^{7k}$.

5. Выполним вычитание, приведя подобные слагаемые: $(0,5 - 1,5)a^{7k} = -1 \cdot a^{7k} = -a^{7k}$.

В результате преобразования левой части мы получили правую часть: $-a^{7k} = -a^{7k}$. Тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

2) Докажем тождество $(y^{2n})^6 : (5y^{5n})^2 + 0,96y^{2n} = y^{2n}$ путем преобразования его левой части.

Используем свойства степеней $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$, $(xy)^n = x^n y^n$ и $x^m : x^n = x^{m-n}$.

1. Преобразуем делимое: $(y^{2n})^6 = y^{2n \cdot 6} = y^{12n}$.

2. Преобразуем делитель: $(5y^{5n})^2 = 5^2 \cdot (y^{5n})^2 = 25 \cdot y^{5n \cdot 2} = 25y^{10n}$.

3. Подставим результаты в выражение и выполним деление: $y^{12n} : (25y^{10n}) = \frac{y^{12n}}{25y^{10n}} = \frac{1}{25} \cdot y^{12n - 10n} = \frac{1}{25}y^{2n}$.

4. Переведем коэффициент в десятичную дробь для удобства сложения: $\frac{1}{25} = 0,04$. Получаем $0,04y^{2n}$.

5. Теперь левая часть выражения выглядит так: $0,04y^{2n} + 0,96y^{2n}$.

6. Выполним сложение подобных слагаемых: $(0,04 + 0,96)y^{2n} = 1 \cdot y^{2n} = y^{2n}$.

В результате преобразования левой части мы получили правую часть: $y^{2n} = y^{2n}$. Тождество доказано.

Ответ: тождество доказано.

4.14. Выпишите верные равенства:

1) $(ab)^2 = a^2b^2;$

2) $(7^2 \cdot 4^3)^2 = 7^2 \cdot 4^9;$

3) $(\frac{a}{b})^2 = \frac{a^2}{b^2};$

4) $(\frac{4}{7})^3 = \frac{4^3}{7}.$

1) Проверим равенство $(ab)^2 = a^2b^2$.
Это равенство является верным. Оно основано на свойстве возведения произведения в степень, которое формулируется как $(xy)^n = x^ny^n$. В данном случае $x=a$, $y=b$ и $n=2$, поэтому $(ab)^2 = a^2b^2$.
Ответ: $(ab)^2 = a^2b^2$.

2) Проверим равенство $(7^2 \cdot 4^3)^2 = 7^2 \cdot 4^9$.
Для проверки преобразуем левую часть. Сначала используем свойство возведения произведения в степень $(xy)^n = x^ny^n$, а затем свойство возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{mn}$.
$(7^2 \cdot 4^3)^2 = (7^2)^2 \cdot (4^3)^2 = 7^{2 \cdot 2} \cdot 4^{3 \cdot 2} = 7^4 \cdot 4^6$.
Теперь сравним левую и правую части исходного равенства: $7^4 \cdot 4^6 \neq 7^2 \cdot 4^9$.
Следовательно, равенство неверно.
Ответ: равенство неверно.

3) Проверим равенство $(\frac{a}{b})^2 = \frac{a^2}{b^2}$.
Это равенство является верным. Оно основано на свойстве возведения дроби в степень, которое формулируется как $(\frac{x}{y})^n = \frac{x^n}{y^n}$ (при $y \neq 0$). В данном случае $x=a$, $y=b$ и $n=2$, поэтому $(\frac{a}{b})^2 = \frac{a^2}{b^2}$.
Ответ: $(\frac{a}{b})^2 = \frac{a^2}{b^2}$.

4) Проверим равенство $(\frac{4}{7})^3 = \frac{4^3}{7}$.
Для проверки преобразуем левую часть, используя свойство возведения дроби в степень $(\frac{x}{y})^n = \frac{x^n}{y^n}$.
$(\frac{4}{7})^3 = \frac{4^3}{7^3}$.
Теперь сравним левую и правую части исходного равенства: $\frac{4^3}{7^3} \neq \frac{4^3}{7}$, так как $7^3=343$, а не $7$.
Следовательно, равенство неверно.
Ответ: равенство неверно.

4.15. Сравните значения выражений:

1) $(2^3 b^2)^3$ и $2^9 b^6;$

2) $(m^2 c^3)^4$ и $m^8 c^7;$

3) $(\frac{3}{11})^2$ и $\frac{3^2}{11^2};$

4) $(\frac{2}{9})^3$ и $\frac{2^3}{9^3}.$

1) $(2^3b^2)^3$ и $2^9b^6$

Чтобы сравнить значения выражений, необходимо упростить первое выражение, используя свойства степеней.

Воспользуемся правилом возведения произведения в степень $(xy)^n = x^n y^n$ и правилом возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{mn}$.

Упростим первое выражение:

$(2^3b^2)^3 = (2^3)^3 \cdot (b^2)^3 = 2^{3 \cdot 3} \cdot b^{2 \cdot 3} = 2^9b^6$.

Теперь сравним результат со вторым выражением:

$2^9b^6 = 2^9b^6$.

Значения данных выражений равны.

Ответ: $(2^3b^2)^3 = 2^9b^6$.

2) $(m^2c^3)^4$ и $m^8c^7$

Упростим первое выражение, используя те же свойства степеней:

$(m^2c^3)^4 = (m^2)^4 \cdot (c^3)^4 = m^{2 \cdot 4} \cdot c^{3 \cdot 4} = m^8c^{12}$.

Теперь сравним полученное выражение $m^8c^{12}$ со вторым выражением $m^8c^7$.

Показатели степени при переменной $c$ в этих выражениях различны ($12 \neq 7$), поэтому в общем случае выражения не равны. Их равенство или неравенство зависит от конкретного значения переменной $c$. Например, если $c=1$, выражения равны, а если $c=2$, то первое выражение больше второго. Так как тождественного равенства нет, выражения не равны.

Ответ: в общем случае $(m^2c^3)^4 \neq m^8c^7$.

3) $(\frac{3}{11})^2$ и $\frac{3^2}{11^2}$

Для сравнения выражений воспользуемся свойством возведения дроби в степень: $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$.

Применим это свойство к первому выражению:

$(\frac{3}{11})^2 = \frac{3^2}{11^2}$.

Полученное выражение полностью совпадает со вторым выражением.

Следовательно, значения выражений равны.

Ответ: $(\frac{3}{11})^2 = \frac{3^2}{11^2}$.

4) $(\frac{2}{9})^3$ и $\frac{2^3}{9^3}$

Используем свойство возведения дроби в степень $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$ для первого выражения:

$(\frac{2}{9})^3 = \frac{2^3}{9^3}$.

Сравнивая результат со вторым выражением, мы видим, что они идентичны.

Следовательно, значения данных выражений равны.

Ответ: $(\frac{2}{9})^3 = \frac{2^3}{9^3}$.

4.16. Найдите наименьшее натуральное число, при котором верно неравенство $ |3x - 7| \leq 3 $.

Для решения задачи необходимо найти наименьшее натуральное число $x$, которое удовлетворяет неравенству $|3x - 7| \le 3$.

Неравенство с модулем вида $|a| \le b$ (где $b \ge 0$) равносильно системе неравенств, или двойному неравенству: $-b \le a \le b$.Применительно к нашему случаю это означает:

$-3 \le 3x - 7 \le 3$

Теперь решим это двойное неравенство. Для начала прибавим 7 ко всем его частям, чтобы избавиться от $-7$ в центральной части:

$-3 + 7 \le 3x - 7 + 7 \le 3 + 7$

$4 \le 3x \le 10$

Далее разделим все части неравенства на 3, чтобы найти диапазон значений для $x$:

$\frac{4}{3} \le x \le \frac{10}{3}$

Чтобы лучше понять этот интервал, можно представить дроби в виде смешанных чисел:

$1\frac{1}{3} \le x \le 3\frac{1}{3}$

Согласно условию, мы ищем наименьшее натуральное число. Натуральные числа — это целые положительные числа (1, 2, 3, ...). В найденный интервал $[1\frac{1}{3}, 3\frac{1}{3}]$ попадают следующие натуральные числа: 2 и 3.

Наименьшим из этих чисел является 2.

Ответ: 2