Страница 42 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

3.21. Расскажите о среднеазиатском ученом аль-Каши, который применил в своих трудах равенство $a^0 = 1$ (для $a \neq 0$) в начале XV в.

Джамшид Гияс ад-Дин аль-Каши (около 1380–1429) — выдающийся персидский математик и астроном, работавший в Самарканде при дворе Улугбека. Он внёс огромный вклад в развитие многих областей науки и по праву считается одним из величайших учёных своего времени.

Аль-Каши известен своими фундаментальными трудами. Его главный математический трактат — «Ключ к арифметике» (Мифтах аль-хисаб), написанный в 1427 году. В этой работе он подробно описал систему десятичных дробей, которую он, по сути, ввёл в научный обиход. Именно в контексте развития учения о степенях и многочленах аль-Каши систематически использовал понятие нулевого показателя степени.

В «Ключе к арифметике» аль-Каши представляет числа в позиционной системе, где разряды целой части соответствуют неотрицательным степеням основания (10), а разряды дробной части — отрицательным. Целая часть числа, например, 524, рассматривалась им как многочлен $5x^2 + 2x^1 + 4x^0$ при $x=10$. Разряд единиц, таким образом, соответствует нулевой степени. Аль-Каши прямо указывает, что степень свободного члена (разряда единиц) равна нулю. Это последовательное применение правила $a^0 = 1$ (где $a$ — основание системы счисления) было новаторским для того времени и легло в основу дальнейшего развития алгебры и понятия степени.

Таким образом, аль-Каши не просто упомянул это равенство, а интегрировал его в свою стройную систему десятичной арифметики и алгебры, показав его практическую пользу и теоретическую состоятельность. Это позволило ему, например, разработать методы извлечения корней любой степени из чисел, что было огромным шагом вперёд.

Среди других его достижений — вычисление числа $\pi$ с точностью до 16-го десятичного знака в труде «Трактат об окружности» (Рисала аль-мухитийя), что оставалось рекордом на протяжении почти 200 лет, а также создание точнейших астрономических таблиц в обсерватории Улугбека.

Ответ: Среднеазиатский (персидский) учёный Джамшид Гияс ад-Дин аль-Каши в начале XV века внёс фундаментальный вклад в математику и астрономию. В своём главном труде «Ключ к арифметике» (1427 г.) он систематически изложил теорию десятичных дробей и разработал методы работы с многочленами. В рамках этой системы он последовательно применял правило, что любое число (не равное нулю) в нулевой степени равно единице: $a^0 = 1$. Это понятие было ключевым для его позиционной системы записи чисел, где разряд единиц соответствовал нулевой степени основания системы счисления, что позволяло единообразно работать как с целыми, так и с дробными числами.

3.22. Представьте в виде степени выражения:

1) $(2^3)^4;$

2) $(4^2)^3;$

3) $((-2)^3)^2;$

4) $(5^2)^3.$

1) Для того чтобы представить выражение $(2^3)^4$ в виде степени, необходимо воспользоваться свойством возведения степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
В данном выражении основание $a = 2$, внутренний показатель степени $m = 3$, а внешний показатель степени $n = 4$.
Согласно свойству, мы должны перемножить показатели степеней:
$(2^3)^4 = 2^{3 \cdot 4} = 2^{12}$.
Ответ: $2^{12}$.

2) Для выражения $(4^2)^3$ применяется то же свойство возведения степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
Здесь основание $a = 4$, внутренний показатель $m = 2$, а внешний показатель $n = 3$.
Перемножаем показатели:
$(4^2)^3 = 4^{2 \cdot 3} = 4^6$.
Ответ: $4^6$.

3) Рассмотрим выражение $ ((-2)^3)^2 $. Используем правило возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
В данном случае основание $a = -2$, внутренний показатель $m = 3$, а внешний показатель $n = 2$.
Умножим показатели степеней:
$ ((-2)^3)^2 = (-2)^{3 \cdot 2} = (-2)^6 $.
Ответ: $(-2)^6$.

4) Для выражения $(5^2)^3$ снова используем свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
Основание $a = 5$, внутренний показатель $m = 2$, внешний показатель $n = 3$.
Перемножаем показатели:
$(5^2)^3 = 5^{2 \cdot 3} = 5^6$.
Ответ: $5^6$.

3.23. Выпишите верные равенства:

1) $(7^2)^3 = 7^5$;

2) $(8^4)^2 = 8^8$;

3) $(3^3)^2 = 3^9$.

Для того чтобы определить, какие из представленных равенств являются верными, необходимо применить свойство возведения степени в степень. Это свойство формулируется следующим образом: при возведении степени в степень основание остается без изменений, а показатели степеней перемножаются. Математически это записывается так: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

Проверим каждое равенство, используя это правило.

1) $(7^2)^3 = 7^5$
Преобразуем левую часть равенства: $(7^2)^3 = 7^{2 \cdot 3} = 7^6$.
Теперь сравним полученный результат с правой частью исходного равенства: $7^6 \neq 7^5$.
Следовательно, данное равенство неверно.
Ответ: неверно.

2) $(8^4)^2 = 8^8$
Преобразуем левую часть равенства: $(8^4)^2 = 8^{4 \cdot 2} = 8^8$.
Сравним полученный результат с правой частью: $8^8 = 8^8$.
Следовательно, данное равенство верно.
Ответ: верно.

3) $(3^3)^2 = 3^9$
Преобразуем левую часть равенства: $(3^3)^2 = 3^{3 \cdot 2} = 3^6$.
Сравним полученный результат с правой частью: $3^6 \neq 3^9$.
Следовательно, данное равенство неверно.
Ответ: неверно.

Таким образом, после проверки всех вариантов, мы выяснили, что верным является только второе равенство.

Ответ: $(8^4)^2 = 8^8$