Страница 36 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

2.10.

1) $(-100)^{6k}$;

2) $99^{7k}$;

3) $(8 \frac{3}{5})^{17t}$;

4) $7, 7^{3k}$.

1) $(-100)^{6k}$
Для определения знака данного выражения необходимо проанализировать его основание и показатель степени.Основание степени равно $-100$, что является отрицательным числом.Показатель степени равен $6k$. Предположим, что $k$ — натуральное число ($k \in \mathbb{N}$). Так как один из множителей показателя, число $6$, является четным, то и весь показатель $6k$ будет четным числом при любом натуральном $k$ ($6k = 2 \cdot 3k$).Согласно свойству степеней, при возведении отрицательного числа в четную степень результат всегда является положительным числом.Таким образом, выражение можно упростить:$(-100)^{6k} = ((-1) \cdot 100)^{6k} = (-1)^{6k} \cdot 100^{6k} = 1 \cdot 100^{6k} = 100^{6k}$.Так как $100^{6k} > 0$ для любого натурального $k$, то и исходное выражение всегда положительно.
Ответ: Значение выражения всегда положительное.

2) $99^{7k}$
Основание степени равно $99$, что является положительным числом.Показатель степени равен $7k$. При условии, что $k$ — натуральное число ($k \in \mathbb{N}$), показатель $7k$ также будет натуральным числом.При возведении положительного числа в любую натуральную степень результат всегда является положительным числом. Четность или нечетность показателя в данном случае не влияет на знак результата.Следовательно, выражение $99^{7k}$ всегда будет больше нуля.
Ответ: Значение выражения всегда положительное.

3) $(8\frac{3}{5})^{17t}$
Основание степени представляет собой смешанное число $8\frac{3}{5}$. Для анализа преобразуем его в неправильную дробь:$8\frac{3}{5} = \frac{8 \cdot 5 + 3}{5} = \frac{43}{5}$.Основание $\frac{43}{5}$ является положительным числом.Показатель степени равен $17t$. Предположим, что $t$ — натуральное число ($t \in \mathbb{N}$).Так как основание положительное, то при возведении его в любую натуральную степень ($17t$) результат также будет положительным.Следовательно, выражение $(8\frac{3}{5})^{17t}$ всегда больше нуля.
Ответ: Значение выражения всегда положительное.

4) $7,7^{3k}$
Основание степени равно $7,7$ (десятичная дробь), что является положительным числом.Показатель степени равен $3k$. При условии, что $k$ — натуральное число ($k \in \mathbb{N}$), показатель $3k$ будет натуральным числом.При возведении положительного числа в любую натуральную степень результат всегда будет положительным.Следовательно, выражение $7,7^{3k}$ всегда будет больше нуля.
Ответ: Значение выражения всегда положительное.

2.11. Представьте в виде произведения одинаковых множителей разными способами степень:

1) $a^3$;

2) $(-6)^4$;

3) $\left(\frac{5}{18}\right)^5$;

4) $(x+y)^4$.

1) a³;

Степень $a^3$ — это произведение трех одинаковых множителей, каждый из которых равен $a$. Поскольку показатель степени 3 является простым числом, то, исходя из определения степени, существует только один способ представить данное выражение в виде произведения одинаковых множителей.

$a^3 = a \cdot a \cdot a$

Ответ: $a \cdot a \cdot a$.

2) (-6)⁴;

Степень $(-6)^4$ можно представить в виде произведения одинаковых множителей несколькими способами.

Способ 1: По определению степени, основание $(-6)$ нужно умножить само на себя 4 раза.

$(-6)^4 = (-6) \cdot (-6) \cdot (-6) \cdot (-6)$

Способ 2: Поскольку показатель степени 4 является четным числом, результат возведения в степень отрицательного числа будет положительным. Следовательно, $(-6)^4 = 6^4$.

$(-6)^4 = 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6$

Способ 3: Показатель степени 4 можно представить как $2 \cdot 2$. Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем:

$(-6)^4 = ((-6)^2)^2$

Вычислим значение в скобках: $(-6)^2 = 36$. Таким образом, мы можем представить исходное выражение как произведение двух одинаковых множителей, равных 36.

$(-6)^4 = 36 \cdot 36$

Ответ: $(-6) \cdot (-6) \cdot (-6) \cdot (-6)$, или $6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6$, или $36 \cdot 36$.

3) $(\frac{5}{18})^5$;

Степень $(\frac{5}{18})^5$ представляет собой произведение, в котором дробь $\frac{5}{18}$ умножается сама на себя 5 раз. Так как показатель степени 5 является простым числом, существует только один основной способ представить это выражение в виде произведения одинаковых множителей.

$(\frac{5}{18})^5 = \frac{5}{18} \cdot \frac{5}{18} \cdot \frac{5}{18} \cdot \frac{5}{18} \cdot \frac{5}{18}$

Ответ: $\frac{5}{18} \cdot \frac{5}{18} \cdot \frac{5}{18} \cdot \frac{5}{18} \cdot \frac{5}{18}$.

4) (x + y)⁴.

Степень $(x + y)^4$ можно представить в виде произведения одинаковых множителей разными способами, так как показатель степени 4 — составное число.

Способ 1: По определению степени, основание $(x+y)$ умножается само на себя 4 раза.

$(x+y)^4 = (x+y)(x+y)(x+y)(x+y)$

Способ 2: Представим показатель степени 4 как $2 \cdot 2$ и воспользуемся свойством $(a^m)^n = a^{mn}$.

$(x+y)^4 = ((x+y)^2)^2$

Это означает, что выражение можно представить как произведение двух одинаковых множителей, где каждый множитель равен $(x+y)^2$.

$(x+y)^4 = (x+y)^2 \cdot (x+y)^2$

Также можно раскрыть скобки в множителе $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$, тогда произведение будет иметь вид:

$(x+y)^4 = (x^2+2xy+y^2)(x^2+2xy+y^2)$

Ответ: $(x+y)(x+y)(x+y)(x+y)$, или $(x+y)^2 \cdot (x+y)^2$.

Вместо звездочки запишите выражение, чтобы были верными равенства (2.12–2.13):

2.12.

1) $a^k \cdot a^* = a^{k+n};$

2) $b^* \cdot b^{3n} = b^{m+3n};$

3) $(cd)^* = (cd)^{2t} \cdot (cd)^5;$

4) $(5z)^6 \cdot (5z)^* = (5z)^{6+3k}.$

1) Чтобы найти выражение, которое нужно подставить вместо звездочки, воспользуемся свойством умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
Дано равенство: $a^k \cdot a^* = a^{k+n}$.
Согласно свойству степеней, левая часть равенства $a^k \cdot a^*$ должна быть равна $a^{k + \text{показатель степени второго множителя}}$.
Сравнивая это с правой частью $a^{k+n}$, мы видим, что показатель степени у второго множителя должен быть равен $n$.
Таким образом, выражение вместо звездочки — это $a^n$.
Проверим: $a^k \cdot a^n = a^{k+n}$. Равенство верно.
Ответ: $a^n$.

2) Аналогично первому пункту, используем свойство $b^m \cdot b^n = b^{m+n}$.
Дано равенство: $b^* \cdot b^{3n} = b^{m+3n}$.
Пусть неизвестное выражение — это $b^x$. Тогда левая часть будет равна $b^x \cdot b^{3n} = b^{x+3n}$.
Приравниваем показатели степеней левой и правой частей: $x+3n = m+3n$.
Вычитая $3n$ из обеих частей уравнения, получаем $x = m$.
Следовательно, вместо звездочки нужно записать выражение $b^m$.
Проверим: $b^m \cdot b^{3n} = b^{m+3n}$. Равенство верно.
Ответ: $b^m$.

3) В этом равенстве звездочка находится в показателе степени: $(cd)^* = (cd)^{2t} \cdot (cd)^5$.
Упростим правую часть равенства, используя правило умножения степеней с одинаковым основанием $(cd)$: $(cd)^{2t} \cdot (cd)^5 = (cd)^{2t+5}$.
Теперь равенство выглядит так: $(cd)^* = (cd)^{2t+5}$.
Чтобы равенство было верным, показатели степеней должны быть равны. Значит, вместо звездочки должно стоять выражение $2t+5$.
Проверим: $(cd)^{2t+5} = (cd)^{2t} \cdot (cd)^5$. Равенство верно.
Ответ: $2t+5$.

4) Здесь звездочка также является показателем степени: $(5z)^6 \cdot (5z)^* = (5z)^{6+3k}$.
Рассмотрим левую часть равенства. При умножении степеней с одинаковым основанием $(5z)$ их показатели складываются. Если мы заменим звездочку на $x$, получим: $(5z)^6 \cdot (5z)^x = (5z)^{6+x}$.
Теперь приравняем полученное выражение к правой части исходного равенства: $(5z)^{6+x} = (5z)^{6+3k}$.
Так как основания равны, то и показатели степеней должны быть равны: $6+x = 6+3k$.
Вычитая 6 из обеих частей, получаем $x = 3k$.
Значит, вместо звездочки нужно записать $3k$.
Проверим: $(5z)^6 \cdot (5z)^{3k} = (5z)^{6+3k}$. Равенство верно.
Ответ: $3k$.

2.13.

1) $c^k \cdot c^* = c^{2k+1},$

2) $d^{5k} \cdot d^* = d^{8k+2},$

3) $z^{6k} \cdot z^* = z^{10k+10},$

4) $m^* \cdot m^{13k} = m^{16k+13}.$

1) Чтобы найти одночлен, который нужно подставить вместо звездочки в равенство $c^k \cdot c^* = c^{2k+1}$, воспользуемся свойством умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Согласно этому свойству, сумма показателей степеней множителей должна быть равна показателю степени произведения. Обозначим показатель степени неизвестного множителя через $x$. Тогда мы можем составить уравнение: $k + x = 2k+1$. Чтобы найти $x$, вычтем $k$ из обеих частей уравнения: $x = 2k + 1 - k$ $x = k + 1$. Таким образом, искомый одночлен - это $c^{k+1}$. Ответ: $c^{k+1}$

2) В равенстве $d^{5k} \cdot d^* = d^{8k+2}$ необходимо найти второй множитель. Используя то же свойство умножения степеней ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$), мы можем приравнять сумму показателей степеней слева к показателю степени справа. Пусть показатель степени неизвестного множителя равен $x$. Получим уравнение: $5k + x = 8k + 2$. Выразим $x$: $x = 8k + 2 - 5k$ $x = 3k + 2$. Следовательно, вместо звездочки должен стоять одночлен $d^{3k+2}$. Ответ: $d^{3k+2}$

3) Рассмотрим равенство $z^{6k} \cdot z^* = z^{10k+10}$. Чтобы найти неизвестный множитель, обозначим его показатель степени через $x$. На основании правила умножения степеней с одинаковым основанием составим уравнение для показателей: $6k + x = 10k + 10$. Решим это уравнение относительно $x$: $x = 10k + 10 - 6k$ $x = 4k + 10$. Значит, искомый одночлен - это $z^{4k+10}$. Ответ: $z^{4k+10}$

4) В равенстве $m^* \cdot m^{13k} = m^{16k+13}$ нужно найти первый множитель. Пусть его показатель степени равен $x$. По свойству умножения степеней, сумма показателей множителей равна показателю произведения: $x + 13k = 16k + 13$. Найдем $x$, вычтя $13k$ из обеих частей уравнения: $x = 16k + 13 - 13k$ $x = 3k + 13$. Следовательно, одночлен, который должен стоять на месте звездочки, это $m^{3k+13}$. Ответ: $m^{3k+13}$

2.14. Докажите, что является верным равенство:

1) $x^{k+4n-9} \cdot x^{7-3k} \cdot x^{6+2k-4n} = x^4$;

2) $x^{5m+11} \cdot x^{20-4m+2n} \cdot x^{m-2n-30} = x^{2m+1}$.

1) Для доказательства верности равенства преобразуем его левую часть. Согласно свойству умножения степеней с одинаковым основанием ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$), их показатели необходимо сложить.

$x^{k+4n-9} \cdot x^{7-3k} \cdot x^{6+2k-4n} = x^{(k+4n-9) + (7-3k) + (6+2k-4n)}$

Упростим выражение в показателе степени, сгруппировав и сложив подобные слагаемые:

$(k - 3k + 2k) + (4n - 4n) + (-9 + 7 + 6) = 0k + 0n + 4 = 4$

В результате преобразования левая часть равенства становится равной $x^4$. Таким образом, мы получаем тождество $x^4 = x^4$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство является верным.

2) Для доказательства второго равенства также применим свойство умножения степеней с одинаковым основанием. Сложим показатели степеней в левой части выражения.

$x^{5m+11} \cdot x^{20-4m+2n} \cdot x^{m-2n-30} = x^{(5m+11) + (20-4m+2n) + (m-2n-30)}$

Упростим полученный показатель степени, сгруппировав и сложив подобные слагаемые:

$(5m - 4m + m) + (2n - 2n) + (11 + 20 - 30) = 2m + 0n + 1 = 2m + 1$

В результате преобразования левая часть равенства становится равной $x^{2m+1}$. Таким образом, мы получаем тождество $x^{2m+1} = x^{2m+1}$, что доказывает верность исходного равенства.

Ответ: Равенство является верным.

2.15. Сократите дроби, результат запишите в виде степени:

1) $\frac{3^5}{3^4}$;

2) $\frac{4^4}{4^5}$;

3) $\frac{(2,3)^4}{(2,3)^3}$;

4) $\frac{(-0,8)^3}{(-0,8)^2}$.

Для решения всех представленных задач используется свойство частного степеней с одинаковым основанием. Оно гласит, что при делении степеней с одинаковым основанием, основание остается без изменений, а из показателя степени делимого (числителя) вычитается показатель степени делителя (знаменателя). Математически это выражается формулой: $ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $.

1) В данном случае основание степени $ a = 3 $, показатель степени числителя $ m = 5 $, а знаменателя $ n = 4 $. Применяя свойство частного степеней, получаем:
$ \frac{3^5}{3^4} = 3^{5-4} = 3^1 = 3 $.
Ответ: $ 3 $.

2) Здесь основание степени $ a = 4 $, показатель степени числителя $ m = 4 $, а знаменателя $ n = 5 $. Выполняем вычитание показателей:
$ \frac{4^4}{4^5} = 4^{4-5} = 4^{-1} $.
Степень с отрицательным показателем можно оставить в таком виде, так как это тоже форма записи степени.
Ответ: $ 4^{-1} $.

3) Основание степени $ a = 2,3 $, показатель степени числителя $ m = 4 $, а знаменателя $ n = 3 $. Производим вычисления:
$ \frac{(2,3)^4}{(2,3)^3} = (2,3)^{4-3} = (2,3)^1 = 2,3 $.
Ответ: $ 2,3 $.

4) В этом примере основание степени $ a = -0,8 $, показатель степени числителя $ m = 3 $, а знаменателя $ n = 2 $. Следуя правилу, получаем:
$ \frac{(-0,8)^3}{(-0,8)^2} = (-0,8)^{3-2} = (-0,8)^1 = -0,8 $.
Ответ: $ -0,8 $.

2.16. Выпишите верные равенства:

1) $\frac{2^9}{2^3} = 2^3$;

2) $\frac{7^8}{7^4} = 7^4$;

3) $\frac{(0,25)^{12}}{(0,25)^4} = (0,25)^8$.

Чтобы определить, какие из предложенных равенств верны, воспользуемся свойством частного степеней с одинаковым основанием: $ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $. Проверим каждое равенство.

1) $ \frac{2^9}{2^3} = 2^3 $
Преобразуем левую часть равенства, используя свойство частного степеней:
$ \frac{2^9}{2^3} = 2^{9-3} = 2^6 $.
Сравним полученный результат с правой частью равенства: $ 2^6 \neq 2^3 $.
Следовательно, данное равенство неверно.
Ответ: неверно.

2) $ \frac{7^8}{7^4} = 7^4 $
Преобразуем левую часть равенства:
$ \frac{7^8}{7^4} = 7^{8-4} = 7^4 $.
Сравним полученный результат с правой частью равенства: $ 7^4 = 7^4 $.
Следовательно, данное равенство верно.
Ответ: верно.

3) $ \frac{(0,25)^{12}}{(0,25)^4} = (0,25)^8 $
Преобразуем левую часть равенства:
$ \frac{(0,25)^{12}}{(0,25)^4} = (0,25)^{12-4} = (0,25)^8 $.
Сравним полученный результат с правой частью равенства: $ (0,25)^8 = (0,25)^8 $.
Следовательно, данное равенство верно.
Ответ: верно.

Таким образом, верными являются равенства под номерами 2 и 3.

Верные равенства:

$ \frac{7^8}{7^4} = 7^4 $

$ \frac{(0,25)^{12}}{(0,25)^4} = (0,25)^8 $