Номер 2.14, страница 36 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

2.14. Докажите, что является верным равенство:

1) $x^{k+4n-9} \cdot x^{7-3k} \cdot x^{6+2k-4n} = x^4$;

2) $x^{5m+11} \cdot x^{20-4m+2n} \cdot x^{m-2n-30} = x^{2m+1}$.

1) Для доказательства верности равенства преобразуем его левую часть. Согласно свойству умножения степеней с одинаковым основанием ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$), их показатели необходимо сложить.

$x^{k+4n-9} \cdot x^{7-3k} \cdot x^{6+2k-4n} = x^{(k+4n-9) + (7-3k) + (6+2k-4n)}$

Упростим выражение в показателе степени, сгруппировав и сложив подобные слагаемые:

$(k - 3k + 2k) + (4n - 4n) + (-9 + 7 + 6) = 0k + 0n + 4 = 4$

В результате преобразования левая часть равенства становится равной $x^4$. Таким образом, мы получаем тождество $x^4 = x^4$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство является верным.

2) Для доказательства второго равенства также применим свойство умножения степеней с одинаковым основанием. Сложим показатели степеней в левой части выражения.

$x^{5m+11} \cdot x^{20-4m+2n} \cdot x^{m-2n-30} = x^{(5m+11) + (20-4m+2n) + (m-2n-30)}$

Упростим полученный показатель степени, сгруппировав и сложив подобные слагаемые:

$(5m - 4m + m) + (2n - 2n) + (11 + 20 - 30) = 2m + 0n + 1 = 2m + 1$

В результате преобразования левая часть равенства становится равной $x^{2m+1}$. Таким образом, мы получаем тождество $x^{2m+1} = x^{2m+1}$, что доказывает верность исходного равенства.

Ответ: Равенство является верным.