Номер 2.12, страница 36 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Вместо звездочки запишите выражение, чтобы были верными равенства (2.12–2.13):

2.12.

1) $a^k \cdot a^* = a^{k+n};$

2) $b^* \cdot b^{3n} = b^{m+3n};$

3) $(cd)^* = (cd)^{2t} \cdot (cd)^5;$

4) $(5z)^6 \cdot (5z)^* = (5z)^{6+3k}.$

1) Чтобы найти выражение, которое нужно подставить вместо звездочки, воспользуемся свойством умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
Дано равенство: $a^k \cdot a^* = a^{k+n}$.
Согласно свойству степеней, левая часть равенства $a^k \cdot a^*$ должна быть равна $a^{k + \text{показатель степени второго множителя}}$.
Сравнивая это с правой частью $a^{k+n}$, мы видим, что показатель степени у второго множителя должен быть равен $n$.
Таким образом, выражение вместо звездочки — это $a^n$.
Проверим: $a^k \cdot a^n = a^{k+n}$. Равенство верно.
Ответ: $a^n$.

2) Аналогично первому пункту, используем свойство $b^m \cdot b^n = b^{m+n}$.
Дано равенство: $b^* \cdot b^{3n} = b^{m+3n}$.
Пусть неизвестное выражение — это $b^x$. Тогда левая часть будет равна $b^x \cdot b^{3n} = b^{x+3n}$.
Приравниваем показатели степеней левой и правой частей: $x+3n = m+3n$.
Вычитая $3n$ из обеих частей уравнения, получаем $x = m$.
Следовательно, вместо звездочки нужно записать выражение $b^m$.
Проверим: $b^m \cdot b^{3n} = b^{m+3n}$. Равенство верно.
Ответ: $b^m$.

3) В этом равенстве звездочка находится в показателе степени: $(cd)^* = (cd)^{2t} \cdot (cd)^5$.
Упростим правую часть равенства, используя правило умножения степеней с одинаковым основанием $(cd)$: $(cd)^{2t} \cdot (cd)^5 = (cd)^{2t+5}$.
Теперь равенство выглядит так: $(cd)^* = (cd)^{2t+5}$.
Чтобы равенство было верным, показатели степеней должны быть равны. Значит, вместо звездочки должно стоять выражение $2t+5$.
Проверим: $(cd)^{2t+5} = (cd)^{2t} \cdot (cd)^5$. Равенство верно.
Ответ: $2t+5$.

4) Здесь звездочка также является показателем степени: $(5z)^6 \cdot (5z)^* = (5z)^{6+3k}$.
Рассмотрим левую часть равенства. При умножении степеней с одинаковым основанием $(5z)$ их показатели складываются. Если мы заменим звездочку на $x$, получим: $(5z)^6 \cdot (5z)^x = (5z)^{6+x}$.
Теперь приравняем полученное выражение к правой части исходного равенства: $(5z)^{6+x} = (5z)^{6+3k}$.
Так как основания равны, то и показатели степеней должны быть равны: $6+x = 6+3k$.
Вычитая 6 из обеих частей, получаем $x = 3k$.
Значит, вместо звездочки нужно записать $3k$.
Проверим: $(5z)^6 \cdot (5z)^{3k} = (5z)^{6+3k}$. Равенство верно.
Ответ: $3k$.