Вопросы, страница 37 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Каким свойством обладает деление степеней с одинаковыми основаниями?

Что такое степень с нулевым показателем?

1. Какими могут быть основания степени и показатели, чтобы можно было использовать правило деления степеней с одинаковыми основаниями?

2. Почему при нахождении степени с нулевым показателем основание степени не может быть равным нулю?

3. При каких значениях $a$ значение степени $a^0$ равно 1?

Ответы на общие вопросы:
Каким свойством обладает деление степеней с одинаковыми основаниями? — При делении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя. Формула: $a^m / a^n = a^{m-n}$ (при $a \neq 0$).
Что такое степень с нулевым показателем? — Степень любого числа, не равного нулю, с нулевым показателем равна единице. Формула: $a^0 = 1$ (при $a \neq 0$).

1. Какими могут быть основания степени и показатели, чтобы можно было использовать правило деления степеней с одинаковыми основаниями?
Правило деления степеней с одинаковыми основаниями формулируется так: чтобы разделить степени с одинаковым основанием, нужно основание оставить без изменения, а из показателя степени делимого вычесть показатель степени делителя. Математически это записывается как:
$a^m : a^n = a^{m-n}$
Для использования этого правила необходимо соблюдение следующих условий:

• Основание степени ($a$) должно быть любым числом, кроме нуля ($a \neq 0$). Это ограничение вводится потому, что в выражении $a^m : a^n$ (которое можно записать как дробь $\frac{a^m}{a^n}$) знаменатель $a^n$ не должен равняться нулю, а деление на ноль в математике не определено.
• Показатели степеней ($m$ и $n$) могут быть любыми целыми числами. В начальном курсе алгебры часто рассматривают натуральные показатели ($m > n$), но правило остается справедливым и для нулевых, отрицательных и даже дробных показателей.

Ответ: Основание степени должно быть любым числом, не равным нулю. Показатели степеней могут быть любыми целыми числами.

2. Почему при нахождении степени с нулевым показателем основание степени не может быть равным нулю?
Понятие степени с нулевым показателем вводится как следствие из правила деления степеней с одинаковыми основаниями. Рассмотрим частное двух одинаковых степеней $a^n : a^n$, где $a \neq 0$.
С одной стороны, любое число, отличное от нуля, при делении само на себя дает в результате 1. Следовательно:
$a^n : a^n = 1$
С другой стороны, применим правило деления степеней:
$a^n : a^n = a^{n-n} = a^0$
Приравнивая правые части этих двух равенств, мы и получаем определение степени с нулевым показателем: $a^0 = 1$.
Ключевым моментом в этом выводе является первоначальное условие $a \neq 0$. Если бы мы попытались подставить $a=0$ в исходное выражение $a^n : a^n$, мы бы получили $0^n : 0^n$, что при любом натуральном $n$ равно $0:0$. Это выражение является неопределенностью, так как на ноль делить нельзя. Именно поэтому, чтобы определение степени с нулевым показателем было математически корректным и непротиворечивым, на основание накладывается ограничение $a \neq 0$. Выражение $0^0$ считается неопределенным.
Ответ: Потому что определение степени с нулевым показателем ($a^0 = 1$) выводится из операции деления $a^n : a^n$, а деление на ноль ($0^n$ при $n>0$) невозможно.

3. При каких значениях a значение степени a⁰ равно 1?
Как было установлено в предыдущем пункте, по определению, степень любого числа $a$ с нулевым показателем равна единице, при условии, что само число $a$ не равно нулю.
Таким образом, равенство $a^0 = 1$ справедливо для любого действительного числа $a$, за исключением $a=0$.
Это можно записать в виде неравенства: $a \neq 0$.
Или с помощью множеств: $a \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
Ответ: Значение степени $a^0$ равно 1 при любых значениях $a$, кроме $a=0$.