Номер 3.6, страница 39 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Вместо звездочки запишите числа, чтобы были верными равенства (3.6–3.7):

3.6. 1) $200^{10} = 200^{21} : 200^{*}$;

2) $4.45^{39} : 4.45^{*} = 4.45^{30}$;

3) $(-5ab)^{*} : (-5ab) = (-5ab)^{11}$;

4) $(\frac{5}{16}t)^{*} : (\frac{5}{16}t)^{2} = (\frac{5}{16}t)^{22}$.

1) Дано равенство: $200^{10} = 200^{21} : 200^{*}$.
Обозначим неизвестное число в показателе степени за $x$. Равенство примет вид: $200^{10} = 200^{21} : 200^{x}$.
Мы используем свойство степеней для деления чисел с одинаковым основанием: $a^m : a^n = a^{m-n}$.
Применим это правило к правой части равенства: $200^{21} : 200^{x} = 200^{21-x}$.
Теперь исходное равенство можно записать так: $200^{10} = 200^{21-x}$.
Поскольку основания степеней равны (оба равны 200), для того чтобы равенство было верным, должны быть равны и показатели степеней:
$10 = 21 - x$
Решим это уравнение относительно $x$:
$x = 21 - 10$
$x = 11$
Следовательно, вместо звездочки нужно записать число 11.
Ответ: 11

2) Дано равенство: $4.45^{39} : 4.45^{*} = 4.45^{30}$.
Пусть вместо звездочки стоит число $x$. Тогда равенство выглядит так: $4.45^{39} : 4.45^{x} = 4.45^{30}$.
Воспользуемся свойством частного степеней с одинаковым основанием: $a^m : a^n = a^{m-n}$.
Применив это правило к левой части, получим: $4.45^{39-x} = 4.45^{30}$.
Так как основания степеней равны (4.45), мы можем приравнять их показатели:
$39 - x = 30$
Найдем $x$ из этого уравнения:
$x = 39 - 30$
$x = 9$
Значит, на месте звездочки должно стоять число 9.
Ответ: 9

3) Дано равенство: $(-5ab)^{*} : (-5ab) = (-5ab)^{11}$.
Следует помнить, что любое выражение без указания степени равно этому выражению в первой степени: $(-5ab) = (-5ab)^1$.
Пусть неизвестный показатель степени равен $x$. Тогда уравнение примет вид: $(-5ab)^{x} : (-5ab)^{1} = (-5ab)^{11}$.
Применяем правило деления степеней с одинаковым основанием $a^m : a^n = a^{m-n}$. Основание здесь $a = (-5ab)$.
Левая часть уравнения преобразуется в $(-5ab)^{x-1}$.
Получаем равенство: $(-5ab)^{x-1} = (-5ab)^{11}$.
Так как основания степеней одинаковы, приравниваем показатели:
$x - 1 = 11$
Решаем уравнение:
$x = 11 + 1$
$x = 12$
Таким образом, вместо звездочки следует вписать число 12.
Ответ: 12

4) Дано равенство: $(\frac{5}{16}t)^{*} : (\frac{5}{16}t)^{2} = (\frac{5}{16}t)^{22}$.
Пусть искомое число — это $x$. Равенство перепишется как: $(\frac{5}{16}t)^{x} : (\frac{5}{16}t)^{2} = (\frac{5}{16}t)^{22}$.
Используем свойство деления степеней с одинаковым основанием $a^m : a^n = a^{m-n}$, где основание $a = (\frac{5}{16}t)$.
Преобразуем левую часть: $(\frac{5}{16}t)^{x-2}$.
Получаем уравнение: $(\frac{5}{16}t)^{x-2} = (\frac{5}{16}t)^{22}$.
Приравниваем показатели степеней, так как основания равны:
$x - 2 = 22$
Находим $x$:
$x = 22 + 2$
$x = 24$
Следовательно, на месте звездочки должно быть число 24.
Ответ: 24