Номер 3.9, страница 39 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

3.9. Упростите выражение:

1) $a^{100} : a^{89} \cdot a^2;$

2) $b^{98} : b^{88} \cdot b^{15};$

3) $(ax)^{41} \cdot (ax)^{12} : (ax)^{33};$

4) $(3z)^{56} : (3z)^{51} \cdot (3z);$

5) $\left(\frac{c}{5}\right)^{66} : \left(\frac{c}{5}\right)^{62} \cdot \left(\frac{c}{5}\right)^{3};$

6) $(-kt)^{49} : (-kt)^{39} \cdot (-kt)^{10}.$

1) $a^{100} : a^{89} \cdot a^2$

Для упрощения выражения применяем свойства степеней. При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются ($a^m : a^n = a^{m-n}$), а при умножении — складываются ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$). Выполняем действия последовательно слева направо:

$a^{100} : a^{89} \cdot a^2 = a^{100-89} \cdot a^2 = a^{11} \cdot a^2 = a^{11+2} = a^{13}$.

Ответ: $a^{13}$.

2) $b^{98} : b^{88} \cdot b^{15}$

Аналогично предыдущему примеру, используем свойства степеней для деления и умножения с одинаковым основанием $b$:

$b^{98} : b^{88} \cdot b^{15} = b^{98-88} \cdot b^{15} = b^{10} \cdot b^{15} = b^{10+15} = b^{25}$.

Ответ: $b^{25}$.

3) $(ax)^{41} \cdot (ax)^{12} : (ax)^{33}$

В этом выражении основание степени — это $(ax)$. Применим те же правила, выполняя действия по порядку. Сначала умножение, затем деление:

$(ax)^{41} \cdot (ax)^{12} : (ax)^{33} = (ax)^{41+12} : (ax)^{33} = (ax)^{53} : (ax)^{33} = (ax)^{53-33} = (ax)^{20}$.

Ответ: $(ax)^{20}$.

4) $(3z)^{56} : (3z)^{51} \cdot (3z)$

Основание степени — $(3z)$. Учтем, что $(3z)$ — это то же самое, что и $(3z)^1$.

$(3z)^{56} : (3z)^{51} \cdot (3z)^1 = (3z)^{56-51} \cdot (3z)^1 = (3z)^5 \cdot (3z)^1 = (3z)^{5+1} = (3z)^6$.

Далее упростим выражение, используя свойство $(ab)^n = a^n b^n$ и вычислив степень числа:

$(3z)^6 = 3^6 \cdot z^6 = 729z^6$.

Ответ: $729z^6$.

5) $(\frac{c}{5})^{66} : (\frac{c}{5})^{62} \cdot (\frac{c}{5})^3$

Основание степени здесь — дробь $(\frac{c}{5})$. Последовательно применяем правила действий со степенями:

$(\frac{c}{5})^{66} : (\frac{c}{5})^{62} \cdot (\frac{c}{5})^3 = (\frac{c}{5})^{66-62} \cdot (\frac{c}{5})^3 = (\frac{c}{5})^4 \cdot (\frac{c}{5})^3 = (\frac{c}{5})^{4+3} = (\frac{c}{5})^7$.

Раскроем скобки по свойству $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$ и вычислим степень знаменателя:

$(\frac{c}{5})^7 = \frac{c^7}{5^7} = \frac{c^7}{78125}$.

Ответ: $\frac{c^7}{78125}$.

6) $(-kt)^{49} : (-kt)^{39} \cdot (-kt)^{10}$

Основание степени — выражение $(-kt)$. Выполняем действия с показателями степеней:

$(-kt)^{49} : (-kt)^{39} \cdot (-kt)^{10} = (-kt)^{49-39} \cdot (-kt)^{10} = (-kt)^{10} \cdot (-kt)^{10} = (-kt)^{10+10} = (-kt)^{20}$.

Так как показатель степени 20 — четное число, то при возведении в степень отрицательного основания результат будет положительным: $(-a)^{2n} = a^{2n}$.

$(-kt)^{20} = (kt)^{20}$.

Ответ: $(kt)^{20}$.