Номер 3.16, страница 41 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

3.16. Вычислите:

1) $(2^{30} : 2^{15} : 2^{10}) \cdot (5^{27} : 5^{26} \cdot 5)$; 2) $(3^{13} : 3^{12} \cdot 3^{3}) : (7^{17} : 7^{15} : 7^{2})$;

3) $(4^{10} : 4^{8}) \cdot (6^{8} : 6^{6}) : (24^{37} : 24^{36})$; 4) $(9^{22} : 9^{20}) \cdot (8^{5} : 8^{3}) : (6^{18} : 6^{15})$.

1) $(2^{30} : 2^{15} : 2^{10}) \cdot (5^{27} : 5^{26} \cdot 5)$
Для решения используем свойства степеней: при делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются ($a^m : a^n = a^{m-n}$), а при умножении — складываются ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$).
Сначала вычислим выражение в первой скобке: $2^{30} : 2^{15} : 2^{10} = 2^{30-15} : 2^{10} = 2^{15} : 2^{10} = 2^{15-10} = 2^5 = 32$.
Теперь вычислим выражение во второй скобке, учитывая, что $5 = 5^1$: $5^{27} : 5^{26} \cdot 5^1 = 5^{27-26} \cdot 5^1 = 5^1 \cdot 5^1 = 5^{1+1} = 5^2 = 25$.
Наконец, перемножим полученные результаты: $32 \cdot 25 = 800$.
Ответ: 800

2) $(3^{13} : 3^{12} \cdot 3^3) : (7^{17} : 7^{15} : 7^2)$
Поэтапно вычисляем значения выражений в скобках, используя те же свойства степеней.
Выражение в первой скобке: $3^{13} : 3^{12} \cdot 3^3 = 3^{13-12+3} = 3^4 = 81$.
Выражение во второй скобке: $7^{17} : 7^{15} : 7^2 = 7^{17-15-2} = 7^0 = 1$ (любое ненулевое число в степени 0 равно 1).
Выполняем деление результатов: $81 : 1 = 81$.
Ответ: 81

3) $(4^{10} : 4^8) \cdot (6^8 : 6^6) : (24^{37} : 24^{36})$
Сначала упростим выражения в каждой из скобок.
$4^{10} : 4^8 = 4^{10-8} = 4^2$.
$6^8 : 6^6 = 6^{8-6} = 6^2$.
$24^{37} : 24^{36} = 24^{37-36} = 24^1 = 24$.
Теперь объединим результаты: $(4^2 \cdot 6^2) : 24$.
Используя свойство $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$, получаем: $(4 \cdot 6)^2 : 24 = 24^2 : 24 = 24^{2-1} = 24$.
Ответ: 24

4) $(9^{22} : 9^{20}) \cdot (8^5 : 8^3) : (6^{18} : 6^{15})$
Упростим каждое выражение в скобках.
$9^{22} : 9^{20} = 9^{22-20} = 9^2 = 81$.
$8^5 : 8^3 = 8^{5-3} = 8^2 = 64$.
$6^{18} : 6^{15} = 6^{18-15} = 6^3 = 216$.
Получаем выражение: $(81 \cdot 64) : 216$.
Для удобства вычисления представим числа как степени простых множителей: $81 = 3^4$, $64 = 2^6$, $216 = 6^3 = (2 \cdot 3)^3 = 2^3 \cdot 3^3$.
Подставим в выражение и выполним действия со степенями: $(3^4 \cdot 2^6) : (2^3 \cdot 3^3) = \frac{3^4 \cdot 2^6}{3^3 \cdot 2^3} = 3^{4-3} \cdot 2^{6-3} = 3^1 \cdot 2^3 = 3 \cdot 8 = 24$.
Ответ: 24