Номер 3.18, страница 41 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

3.18. Вычислите:

1) $\frac{(-5)^6 \cdot (-5)^7 \cdot (-5)^8}{(-5)^{14} \cdot (-5)^4};$

2) $\frac{1,2^{40} \cdot 1,2^{25}}{1,2^{59} \cdot 1,2^8};$

3) $\frac{\left(\frac{1}{3}\right)^{10} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{20} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{30}}{\left(\frac{1}{3}\right)^{34} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{23}};$

4) $\frac{\left(-\frac{1}{6}\right)^{25} \cdot \left(-\frac{1}{6}\right)^{19} \cdot \left(-\frac{1}{6}\right)^{16}}{\left(-\frac{1}{6}\right)^8 \cdot \left(-\frac{1}{6}\right)^{49}};$

1) Для решения данного примера воспользуемся свойствами степеней. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$), а при делении — вычитаются ($\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$).

Сначала упростим числитель:

$(-5)^6 \cdot (-5)^7 \cdot (-5)^8 = (-5)^{6+7+8} = (-5)^{21}$

Теперь упростим знаменатель:

$(-5)^{14} \cdot (-5)^4 = (-5)^{14+4} = (-5)^{18}$

Теперь разделим числитель на знаменатель:

$\frac{(-5)^{21}}{(-5)^{18}} = (-5)^{21-18} = (-5)^3$

Вычислим полученное значение:

$(-5)^3 = (-5) \cdot (-5) \cdot (-5) = -125$

Ответ: -125

2) Используем те же свойства степеней, что и в предыдущем примере.

Упростим числитель:

$1,2^{40} \cdot 1,2^{25} \cdot 1,2^4 = 1,2^{40+25+4} = 1,2^{69}$

Упростим знаменатель:

$1,2^{59} \cdot 1,2^8 = 1,2^{59+8} = 1,2^{67}$

Выполним деление:

$\frac{1,2^{69}}{1,2^{67}} = 1,2^{69-67} = 1,2^2$

Вычислим результат:

$1,2^2 = 1,44$

Ответ: 1,44

3) Основание степени в этом примере равно $\frac{1}{3}$.

Упростим выражение в числителе, сложив показатели степеней:

$(\frac{1}{3})^{10} \cdot (\frac{1}{3})^{20} \cdot (\frac{1}{3})^{30} = (\frac{1}{3})^{10+20+30} = (\frac{1}{3})^{60}$

Упростим выражение в знаменателе:

$(\frac{1}{3})^{34} \cdot (\frac{1}{3})^{23} = (\frac{1}{3})^{34+23} = (\frac{1}{3})^{57}$

Разделим числитель на знаменатель, вычитая показатели степеней:

$\frac{(\frac{1}{3})^{60}}{(\frac{1}{3})^{57}} = (\frac{1}{3})^{60-57} = (\frac{1}{3})^3$

Вычислим конечный результат:

$(\frac{1}{3})^3 = \frac{1^3}{3^3} = \frac{1}{27}$

Ответ: $\frac{1}{27}$

4) Основание степени в этом примере равно $-\frac{1}{6}$.

Упростим числитель:

$(-\frac{1}{6})^{25} \cdot (-\frac{1}{6})^{19} \cdot (-\frac{1}{6})^{16} = (-\frac{1}{6})^{25+19+16} = (-\frac{1}{6})^{60}$

Упростим знаменатель:

$(-\frac{1}{6})^8 \cdot (-\frac{1}{6})^{49} = (-\frac{1}{6})^{8+49} = (-\frac{1}{6})^{57}$

Выполним деление:

$\frac{(-\frac{1}{6})^{60}}{(-\frac{1}{6})^{57}} = (-\frac{1}{6})^{60-57} = (-\frac{1}{6})^3$

Вычислим значение. Так как показатель степени нечетный (3), знак минус сохранится:

$(-\frac{1}{6})^3 = -\frac{1^3}{6^3} = -\frac{1}{216}$

Ответ: $-\frac{1}{216}$