Вопросы, страница 43 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Каким свойством обладает возведение степени в степень?

1. Какими могут быть основания степени и показатели, чтобы можно было применить правило возведения степени в степень?

2. Всегда ли можно возвести степень в степень?

Возведение степени в степень обладает свойством, которое позволяет упрощать такие выражения. Чтобы возвести степень в степень, нужно основание оставить без изменений, а показатели степеней перемножить.

Это свойство выражается следующей формулой:
$$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$$

Например, $(5^2)^3 = 5^{2 \cdot 3} = 5^6 = 15625$.
Можно проверить это вычислением по шагам: $(5^2)^3 = 25^3 = 15625$. Результаты совпадают.

1. Какими могут быть основания степени и показатели, чтобы можно было применить правило возведения степени в степень?
Чтобы правило $(a^m)^n = a^{mn}$ применялось корректно и без исключений, условия зависят от того, какие числа являются показателями степеней.

• Если показатели `m` и `n` — любые действительные числа (включая дробные и иррациональные), то для строгого выполнения правила основание `a` должно быть положительным ($a > 0$).
• Если показатели `m` и `n` — целые числа, то правило справедливо для любого ненулевого основания `a` ($a \neq 0$).

• Особые случаи:

  • При $a = 0$ выражение $(0^m)^n$ будет определено только если $m > 0$ и $n > 0$.
  • При отрицательном основании $a < 0$ и дробных показателях правило может нарушаться. Например, $((-2)^2)^{1/2} = 4^{1/2} = 2$, но $(-2)^{2 \cdot 1/2} = (-2)^1 = -2$. Поскольку $2 \neq -2$, правило в данном случае не работает.

Ответ:Для универсального применения правила основание должно быть положительным ($a > 0$), а показатели могут быть любыми действительными числами. Если показатели целые, то основание может быть любым ненулевым числом.

2. Всегда ли можно возвести степень в степень?
Нет, не всегда. Операция возведения степени в степень $(a^m)^n$ возможна только тогда, когда оба действия (внутреннее и внешнее возведение в степень) выполнимы в рассматриваемом множестве чисел (например, в множестве действительных чисел).

Возведение в степень может быть невыполнимо в следующих случаях:

• Когда внутреннее выражение $a^m$ не определено. Например, если $a=0$ и $m$ — отрицательное число. Выражение $0^{-2}$ не определено, так как означает деление на ноль. Следовательно, и все выражение $(0^{-2})^3$ не имеет смысла.
• Когда внутреннее выражение $a^m$ определено, но результат нельзя возвести во внешнюю степень `n`. Например, если $a = -9$, $m=1$, то $a^m = -9$. Если при этом $n = 1/2$, то нужно вычислить $(-9)^{1/2}$ (квадратный корень из -9), что невозможно в множестве действительных чисел.

Ответ:Нет, не всегда. Операция выполнима только если промежуточные и конечный результаты вычислений определены.