Страница 30 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. Может ли значение степени с натуральным показателем быть отрицательным числом, нулем?

2. Установите порядок выполнения действий в выражении:

$81 \cdot 4 - 243 : 3^{5} + 240.$

1. Значение степени с натуральным показателем $a^n$, где $n$ — натуральное число ($n \in \{1, 2, 3, ...\}$), может быть как отрицательным числом, так и нулем.

Значение степени может быть отрицательным числом. Это происходит в том случае, когда основание степени $a$ является отрицательным числом, а показатель степени $n$ — нечетным натуральным числом. Произведение нечетного количества отрицательных сомножителей всегда является отрицательным числом.
Пример: $(-3)^3 = (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) = 9 \cdot (-3) = -27$.

Значение степени может быть равно нулю. Это происходит в том случае, когда основание степени $a$ равно нулю. При возведении нуля в любую натуральную степень $n$ ($n \ge 1$) результат всегда будет равен нулю.
Пример: $0^5 = 0 \cdot 0 \cdot 0 \cdot 0 \cdot 0 = 0$.

Ответ: Да, значение степени с натуральным показателем может быть отрицательным числом (если основание отрицательное, а показатель — нечетное натуральное число) и может быть нулем (если основание равно нулю).

2. Порядок выполнения действий в математических выражениях без скобок определяется следующим образом:
1. Возведение в степень.
2. Умножение и деление (выполняются в порядке их следования слева направо).
3. Сложение и вычитание (выполняются в порядке их следования слева направо).

Применим этот порядок к выражению $81 \cdot 4 - 243 : 3^5 + 240$.

Первое действие (возведение в степень):
$3^5 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 243$.

Второе действие (умножение):
$81 \cdot 4 = 324$.

Третье действие (деление):
$243 : 3^5 = 243 : 243 = 1$.

Четвертое действие (вычитание):
$324 - 1 = 323$.

Пятое действие (сложение):
$323 + 240 = 563$.

Ответ: Порядок действий следующий: 1) возведение в степень ($3^5$), 2) умножение ($81 \cdot 4$), 3) деление ($243$ на результат первого действия), 4) вычитание, 5) сложение.

1.1. Запишите в виде степени произведение:

1) $9 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 9;$

2) $(-1,2) \cdot (-1,2) \cdot (-1,2) \cdot (-1,2) \cdot (-1,2);$

3) $\frac{2}{7} \cdot \frac{2}{7} \cdot \frac{2}{7} \cdot \frac{2}{7} \cdot \frac{2}{7};$

4) $b \cdot b \cdot b \cdot b \cdot b \cdot b \cdot b \cdot b \cdot b;$

5) $(t+k) \cdot (t+k) \cdot (t+k) \cdot (t+k);$

6) $\frac{x}{y} \cdot \frac{x}{y} \cdot \frac{x}{y} \cdot \frac{x}{y} \cdot \frac{x}{y} \cdot \frac{x}{y} \cdot \frac{x}{y};$

1) Произведение представляет собой умножение числа 9 на себя. Чтобы записать его в виде степени, нужно определить основание и показатель. Основание степени — это повторяющийся множитель, в данном случае это число 9. Показатель степени — это количество раз, которое множитель повторяется в произведении. Посчитаем количество множителей: их 6. Таким образом, данное произведение можно записать как степень с основанием 9 и показателем 6.
$9 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 9 = 9^6$
Ответ: $9^6$.

2) В этом произведении повторяющимся множителем является отрицательное десятичное число -1,2. Это число будет основанием степени. Поскольку основание отрицательное, при записи в виде степени его необходимо взять в скобки. Посчитаем количество множителей: их 5. Это число будет показателем степени.
$(-1,2) \cdot (-1,2) \cdot (-1,2) \cdot (-1,2) \cdot (-1,2) = (-1,2)^5$
Ответ: $(-1,2)^5$.

3) Здесь в качестве множителя выступает обыкновенная дробь $\frac{2}{7}$. Это основание нашей степени. При возведении дроби в степень, ее принято заключать в скобки. Посчитаем, сколько раз дробь умножается на саму себя: 6 раз. Следовательно, показатель степени равен 6.
$\frac{2}{7} \cdot \frac{2}{7} \cdot \frac{2}{7} \cdot \frac{2}{7} \cdot \frac{2}{7} \cdot \frac{2}{7} = \left(\frac{2}{7}\right)^6$
Ответ: $\left(\frac{2}{7}\right)^6$.

4) В данном случае множителем является переменная $b$. Она выступает в роли основания степени. Посчитаем количество множителей в произведении: их 9. Это будет показатель степени.
$b \cdot b \cdot b \cdot b \cdot b \cdot b \cdot b \cdot b \cdot b = b^9$
Ответ: $b^9$.

5) Множителем в этом выражении является сумма двух переменных $(t + k)$. Это выражение является основанием степени. Так как основание представляет собой выражение, его необходимо записать в скобках. Количество повторений множителя равно 4, что является показателем степени.
$(t + k) \cdot (t + k) \cdot (t + k) \cdot (t + k) = (t + k)^4$
Ответ: $(t + k)^4$.

6) Здесь множителем является алгебраическая дробь $\frac{x}{y}$. Это основание степени, которое необходимо взять в скобки. Посчитаем количество одинаковых множителей: их 8. Это число и будет показателем степени.
$\frac{x}{y} \cdot \frac{x}{y} \cdot \frac{x}{y} \cdot \frac{x}{y} \cdot \frac{x}{y} \cdot \frac{x}{y} \cdot \frac{x}{y} \cdot \frac{x}{y} = \left(\frac{x}{y}\right)^8$
Ответ: $\left(\frac{x}{y}\right)^8$.

Упростите выражения, используя запись в виде степени произведения (1.2–1.3):

1.2.

1) $3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 11 \cdot 11;$

2) $\frac{4}{9} \cdot \frac{4}{9} \cdot 13 \cdot 13 \cdot 13 \cdot 13;$

3) $1,7 \cdot 1,7 \cdot 1,7 \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6};$

4) $\left(-\frac{5}{11}\right) \cdot \left(-\frac{5}{11}\right) \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4.$

1) Чтобы упростить выражение $3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 11 \cdot 11$, необходимо сгруппировать одинаковые множители и записать их в виде степеней. В данном произведении число 3 умножается на себя 3 раза, а число 11 — 2 раза.
Произведение одинаковых множителей можно представить в виде степени. Степень $a^n$ означает, что число $a$ (основание) умножается само на себя $n$ раз (показатель степени).
Следовательно, произведение $3 \cdot 3 \cdot 3$ можно записать как $3^3$.
Произведение $11 \cdot 11$ можно записать как $11^2$.
Тогда исходное выражение является произведением этих степеней.
Ответ: $3^3 \cdot 11^2$

2) В выражении $\frac{4}{9} \cdot \frac{4}{9} \cdot 13 \cdot 13 \cdot 13 \cdot 13$ сгруппируем одинаковые множители. Дробь $\frac{4}{9}$ повторяется 2 раза, а число 13 повторяется 4 раза.
Запишем произведение дробей в виде степени: $\frac{4}{9} \cdot \frac{4}{9} = (\frac{4}{9})^2$.
Запишем произведение чисел 13 в виде степени: $13 \cdot 13 \cdot 13 \cdot 13 = 13^4$.
Таким образом, всё выражение можно представить как произведение этих двух степеней.
Ответ: $(\frac{4}{9})^2 \cdot 13^4$

3) Рассмотрим выражение $1,7 \cdot 1,7 \cdot 1,7 \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6}$. Здесь число 1,7 является множителем 3 раза, и дробь $\frac{1}{6}$ также является множителем 3 раза.
Произведение $1,7 \cdot 1,7 \cdot 1,7$ записывается как степень $1,7^3$.
Произведение $\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6}$ записывается как степень $(\frac{1}{6})^3$.
Исходное выражение становится произведением степеней: $1,7^3 \cdot (\frac{1}{6})^3$.
В этом случае показатели степеней одинаковы (оба равны 3). Это позволяет нам использовать свойство "степень произведения", которое гласит: $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$.
Применив это свойство, получим: $(1,7 \cdot \frac{1}{6})^3$. Это и есть требуемая запись в виде степени произведения.
Ответ: $(1,7 \cdot \frac{1}{6})^3$

4) В выражении $(-\frac{5}{11}) \cdot (-\frac{5}{11}) \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4$ множитель $(-\frac{5}{11})$ повторяется 2 раза, а множитель 4 повторяется 5 раз.
Запишем эти повторения в виде степеней.
Произведение $(-\frac{5}{11}) \cdot (-\frac{5}{11})$ равно $(-\frac{5}{11})^2$.
Произведение $4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4$ равно $4^5$.
Объединив их, получаем итоговое выражение в виде произведения степеней.
Показатели степеней здесь разные (2 и 5), поэтому применить свойство степени произведения для дальнейшего упрощения нельзя.
Ответ: $(-\frac{5}{11})^2 \cdot 4^5$