Номер 1.2, страница 30 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Упростите выражения, используя запись в виде степени произведения (1.2–1.3):

1.2.

1) $3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 11 \cdot 11;$

2) $\frac{4}{9} \cdot \frac{4}{9} \cdot 13 \cdot 13 \cdot 13 \cdot 13;$

3) $1,7 \cdot 1,7 \cdot 1,7 \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6};$

4) $\left(-\frac{5}{11}\right) \cdot \left(-\frac{5}{11}\right) \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4.$

1) Чтобы упростить выражение $3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 11 \cdot 11$, необходимо сгруппировать одинаковые множители и записать их в виде степеней. В данном произведении число 3 умножается на себя 3 раза, а число 11 — 2 раза.
Произведение одинаковых множителей можно представить в виде степени. Степень $a^n$ означает, что число $a$ (основание) умножается само на себя $n$ раз (показатель степени).
Следовательно, произведение $3 \cdot 3 \cdot 3$ можно записать как $3^3$.
Произведение $11 \cdot 11$ можно записать как $11^2$.
Тогда исходное выражение является произведением этих степеней.
Ответ: $3^3 \cdot 11^2$

2) В выражении $\frac{4}{9} \cdot \frac{4}{9} \cdot 13 \cdot 13 \cdot 13 \cdot 13$ сгруппируем одинаковые множители. Дробь $\frac{4}{9}$ повторяется 2 раза, а число 13 повторяется 4 раза.
Запишем произведение дробей в виде степени: $\frac{4}{9} \cdot \frac{4}{9} = (\frac{4}{9})^2$.
Запишем произведение чисел 13 в виде степени: $13 \cdot 13 \cdot 13 \cdot 13 = 13^4$.
Таким образом, всё выражение можно представить как произведение этих двух степеней.
Ответ: $(\frac{4}{9})^2 \cdot 13^4$

3) Рассмотрим выражение $1,7 \cdot 1,7 \cdot 1,7 \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6}$. Здесь число 1,7 является множителем 3 раза, и дробь $\frac{1}{6}$ также является множителем 3 раза.
Произведение $1,7 \cdot 1,7 \cdot 1,7$ записывается как степень $1,7^3$.
Произведение $\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6}$ записывается как степень $(\frac{1}{6})^3$.
Исходное выражение становится произведением степеней: $1,7^3 \cdot (\frac{1}{6})^3$.
В этом случае показатели степеней одинаковы (оба равны 3). Это позволяет нам использовать свойство "степень произведения", которое гласит: $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$.
Применив это свойство, получим: $(1,7 \cdot \frac{1}{6})^3$. Это и есть требуемая запись в виде степени произведения.
Ответ: $(1,7 \cdot \frac{1}{6})^3$

4) В выражении $(-\frac{5}{11}) \cdot (-\frac{5}{11}) \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4$ множитель $(-\frac{5}{11})$ повторяется 2 раза, а множитель 4 повторяется 5 раз.
Запишем эти повторения в виде степеней.
Произведение $(-\frac{5}{11}) \cdot (-\frac{5}{11})$ равно $(-\frac{5}{11})^2$.
Произведение $4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4$ равно $4^5$.
Объединив их, получаем итоговое выражение в виде произведения степеней.
Показатели степеней здесь разные (2 и 5), поэтому применить свойство степени произведения для дальнейшего упрощения нельзя.
Ответ: $(-\frac{5}{11})^2 \cdot 4^5$