Номер 1.5, страница 31 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1.5.

1) $(3c)^5;$

2) $\left(t - \frac{5}{14}\right)^3;$

3) $(8s + 1)^4;$

4) $\left(\frac{2}{7}ab\right)^4;$

5) $(n + m)^6;$

6) $(0,9kst)^3.$

1)

Чтобы возвести произведение в степень, необходимо каждый множитель возвести в эту степень. Используем свойство степени $(xy)^n = x^n y^n$.

$(3c)^5 = 3^5 \cdot c^5$

Вычислим $3^5$:

$3^5 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 243$

Следовательно, получаем:

$(3c)^5 = 243c^5$

Ответ: $243c^5$.

2)

Для раскрытия скобок применим формулу сокращенного умножения "куб разности": $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.

В данном случае $a = t$ и $b = \frac{5}{14}$. Подставим эти значения в формулу:

$(t - \frac{5}{14})^3 = t^3 - 3 \cdot t^2 \cdot \frac{5}{14} + 3 \cdot t \cdot (\frac{5}{14})^2 - (\frac{5}{14})^3$

Теперь упростим полученное выражение, вычисляя коэффициенты и степени:

$t^3 - \frac{15}{14}t^2 + 3t(\frac{5^2}{14^2}) - \frac{5^3}{14^3} = t^3 - \frac{15}{14}t^2 + 3t\frac{25}{196} - \frac{125}{2744} = t^3 - \frac{15}{14}t^2 + \frac{75}{196}t - \frac{125}{2744}$

Ответ: $t^3 - \frac{15}{14}t^2 + \frac{75}{196}t - \frac{125}{2744}$.

3)

Для возведения двучлена в четвертую степень используем формулу бинома Ньютона: $(a+b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4$.

В нашем выражении $a = 8s$ и $b = 1$. Подставим их в формулу:

$(8s + 1)^4 = (8s)^4 + 4(8s)^3 \cdot 1 + 6(8s)^2 \cdot 1^2 + 4(8s) \cdot 1^3 + 1^4$

Упростим каждый член выражения, выполняя возведение в степень и умножение:

$8^4s^4 + 4 \cdot 8^3s^3 + 6 \cdot 8^2s^2 + 4 \cdot 8s + 1 = 4096s^4 + 4 \cdot 512s^3 + 6 \cdot 64s^2 + 32s + 1 = 4096s^4 + 2048s^3 + 384s^2 + 32s + 1$

Ответ: $4096s^4 + 2048s^3 + 384s^2 + 32s + 1$.

4)

Применим свойство возведения произведения в степень: $(xyz)^n = x^n y^n z^n$.

$(\frac{2}{7}ab)^4 = (\frac{2}{7})^4 \cdot a^4 \cdot b^4$

Вычислим значение дроби в четвертой степени:

$(\frac{2}{7})^4 = \frac{2^4}{7^4} = \frac{16}{2401}$

В результате получаем:

$(\frac{2}{7}ab)^4 = \frac{16}{2401}a^4b^4$

Ответ: $\frac{16}{2401}a^4b^4$.

5)

Для раскрытия скобок используем формулу бинома Ньютона для шестой степени: $(a+b)^6 = a^6 + 6a^5b + 15a^4b^2 + 20a^3b^3 + 15a^2b^4 + 6ab^5 + b^6$. Коэффициенты $1, 6, 15, 20, 15, 6, 1$ берутся из соответствующей строки треугольника Паскаля.

В нашем случае $a = n$ и $b = m$. Подставляя в формулу, получаем:

$(n + m)^6 = n^6 + 6n^5m + 15n^4m^2 + 20n^3m^3 + 15n^2m^4 + 6nm^5 + m^6$

Ответ: $n^6 + 6n^5m + 15n^4m^2 + 20n^3m^3 + 15n^2m^4 + 6nm^5 + m^6$.

6)

Используем свойство возведения произведения в степень, по которому каждый множитель возводится в эту степень: $(xyzw)^n = x^n y^n z^n w^n$.

$(0,9kst)^3 = (0,9)^3 \cdot k^3 \cdot s^3 \cdot t^3$

Вычислим куб числа $0,9$:

$(0,9)^3 = 0,9 \cdot 0,9 \cdot 0,9 = 0,81 \cdot 0,9 = 0,729$

Таким образом, итоговое выражение:

$(0,9kst)^3 = 0,729k^3s^3t^3$

Ответ: $0,729k^3s^3t^3$.