Страница 24 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

83. Решите систему неравенств:

1) $\begin{cases} 147 - 3x \ge 51, \\ |x| \ge 11, \\ 11 + 0,5x > 0,5 \end{cases}$

2) $\begin{cases} |x| \le 1,5, \\ 60x + 8 < 9x + 9, \\ |x| < 9,7 \end{cases}$

1)

Решим каждое из трех неравенств системы по отдельности.

Первое неравенство: $147-3x \ge 51$.

Перенесем 147 в правую часть:

$-3x \ge 51 - 147$

$-3x \ge -96$

Разделим обе части на -3, при этом знак неравенства изменится на противоположный:

$x \le \frac{-96}{-3}$

$x \le 32$

Решение этого неравенства: $x \in (-\infty, 32]$.

Второе неравенство: $|x| \ge 11$.

Это неравенство с модулем равносильно совокупности двух неравенств:

$x \ge 11$ или $x \le -11$

Решение этого неравенства: $x \in (-\infty, -11] \cup [11, \infty)$.

Третье неравенство: $11+0,5x>0,5$.

Перенесем 11 в правую часть:

$0,5x > 0,5 - 11$

$0,5x > -10,5$

Разделим обе части на 0,5:

$x > \frac{-10,5}{0,5}$

$x > -21$

Решение этого неравенства: $x \in (-21, \infty)$.

Теперь найдем пересечение решений всех трех неравенств. Искомое решение должно одновременно удовлетворять условиям: $x \le 32$, $(x \le -11 \text{ или } x \ge 11)$, и $x > -21$.

Рассмотрим пересечение на числовой оси. Нам нужны значения $x$, которые больше -21, но при этом либо меньше или равны -11, либо находятся в промежутке от 11 до 32 включительно.

Из условий $x > -21$ и $x \le -11$ получаем первый промежуток: $(-21, -11]$.

Из условий $x \ge 11$ и $x \le 32$ получаем второй промежуток: $[11, 32]$.

Объединяя эти два промежутка, получаем решение всей системы.

Ответ: $(-21, -11] \cup [11, 32]$.

2)

Решим каждое из трех неравенств системы по отдельности.

Первое неравенство: $|x| \le 1,5$.

Это неравенство равносильно двойному неравенству:

$-1,5 \le x \le 1,5$

Решение этого неравенства: $x \in [-1,5; 1,5]$.

Второе неравенство: $60x+8<9x+9$.

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:

$60x - 9x < 9 - 8$

$51x < 1$

Разделим обе части на 51:

$x < \frac{1}{51}$

Решение этого неравенства: $x \in (-\infty, \frac{1}{51})$.

Третье неравенство: $|x| < 9,7$.

Это неравенство равносильно двойному неравенству:

$-9,7 < x < 9,7$

Решение этого неравенства: $x \in (-9,7; 9,7)$.

Теперь найдем пересечение решений всех трех неравенств: $x \in [-1,5; 1,5] \cap (-\infty, \frac{1}{51}) \cap (-9,7; 9,7)$.

Заметим, что если $x \in [-1,5; 1,5]$, то условие $x \in (-9,7; 9,7)$ выполняется автоматически, поскольку промежуток $[-1,5; 1,5]$ полностью содержится в промежутке $(-9,7; 9,7)$. Следовательно, третье неравенство является избыточным.

Таким образом, нам нужно найти пересечение решений первых двух неравенств: $x \in [-1,5; 1,5]$ и $x < \frac{1}{51}$.

Это означает, что $x$ должен быть больше или равен -1,5 и одновременно строго меньше $\frac{1}{51}$.

Объединяя эти условия, получаем итоговый промежуток: $-1,5 \le x < \frac{1}{51}$.

Ответ: $[-1,5; \frac{1}{51})$.

84. Найдите значение суммы всех целых чисел, которые являются решениями системы неравенств:

1)

$\begin{cases} |x| < 4, \\ |x| \ge 1, \\ x > -3; \end{cases}$

2)

$\begin{cases} |x| \le 10, \\ x > -7, \\ x \le 2; \end{cases}$

3)

$\begin{cases} |x| > 3, \\ x \le 4, \\ |x| \le 5. \end{cases}$

1) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} |x| < 4, \\ |x| \ge 1, \\ x > -3. \end{cases} $
Первое неравенство $|x| < 4$ равносильно двойному неравенству $-4 < x < 4$.
Второе неравенство $|x| \ge 1$ равносильно совокупности $x \le -1$ или $x \ge 1$.
Третье неравенство — $x > -3$.
Найдем пересечение множеств решений всех трех неравенств.
Решением системы является объединение промежутков $x \in (-3, -1] \cup [1, 4)$.
Целые числа, принадлежащие этому множеству: -2, -1, 1, 2, 3.
Найдем их сумму: $-2 + (-1) + 1 + 2 + 3 = 3$.
Ответ: 3

2) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} |x| \le 10, \\ x > -7, \\ x \le 2. \end{cases} $
Первое неравенство $|x| \le 10$ равносильно двойному неравенству $-10 \le x \le 10$.
Второе неравенство — $x > -7$.
Третье неравенство — $x \le 2$.
Найдем пересечение промежутков $[-10, 10]$, $(-7, \infty)$ и $(-\infty, 2]$. Решением системы является промежуток $x \in (-7, 2]$.
Целые числа, принадлежащие этому промежутку: -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2.
Найдем их сумму: $-6 + (-5) + (-4) + (-3) + (-2) + (-1) + 0 + 1 + 2 = -18$.
Ответ: -18

3) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} |x| > 3, \\ x \le 4, \\ |x| \le 5. \end{cases} $
Первое неравенство $|x| > 3$ равносильно совокупности $x < -3$ или $x > 3$.
Второе неравенство — $x \le 4$.
Третье неравенство $|x| \le 5$ равносильно двойному неравенству $-5 \le x \le 5$.
Найдем пересечение множеств решений всех трех неравенств.
Из второго и третьего неравенств получаем $x \in [-5, 4]$.
Пересекая это множество с решением первого неравенства ($x < -3$ или $x > 3$), получаем итоговое решение системы: $x \in [-5, -3) \cup (3, 4]$.
Целые числа, принадлежащие этому множеству: -5, -4, 4.
Найдем их сумму: $-5 + (-4) + 4 = -5$.
Ответ: -5

85. Решив следующую систему неравенств, вы узнаете о скорости таких ветров:

1) $\begin{cases} \frac{1}{5}y \ge 4, \\ \frac{1}{7}y \le 4; \end{cases}$ у км/ч — скорость умеренного ветра;

2) $\begin{cases} 10y - 390 \ge 0, \\ 0,1y \ge -5; \end{cases}$ у км/ч — скорость сильного ветра;

3) $\begin{cases} 15(5-z) \le -14z, \\ 29(z-3) \le 28z; \end{cases}$ z км/ч — скорость ветра при шторме;

4) $\begin{cases} 50-0,5z \le -9, \\ 9 - \frac{1}{3}z \le -1; \end{cases}$ z км/ч — скорость ветра при урагане.

1) Решим систему неравенств, чтобы найти скорость умеренного ветра (y км/ч):

$ \begin{cases} \frac{1}{5}y \ge 4 \\ \frac{1}{7}y \le 4 \end{cases} $

Решим первое неравенство:

$ \frac{1}{5}y \ge 4 $

Умножим обе части на 5:

$ y \ge 4 \cdot 5 $

$ y \ge 20 $

Решим второе неравенство:

$ \frac{1}{7}y \le 4 $

Умножим обе части на 7:

$ y \le 4 \cdot 7 $

$ y \le 28 $

Решением системы является пересечение промежутков $ y \ge 20 $ и $ y \le 28 $. Таким образом, скорость умеренного ветра находится в диапазоне от 20 км/ч до 28 км/ч включительно.

Ответ: $ 20 \le y \le 28 $.

2) Решим систему неравенств, чтобы найти скорость сильного ветра (y км/ч):

$ \begin{cases} 10y - 390 \ge 0 \\ 0,1y \ge -5 \end{cases} $

Решим первое неравенство:

$ 10y - 390 \ge 0 $

$ 10y \ge 390 $

$ y \ge 39 $

Решим второе неравенство:

$ 0,1y \ge -5 $

Умножим обе части на 10:

$ y \ge -50 $

Решением системы является пересечение промежутков $ y \ge 39 $ и $ y \ge -50 $. Так как любое число, большее или равное 39, также будет больше или равно -50, то решением является $ y \ge 39 $. Скорость сильного ветра составляет 39 км/ч и более.

Ответ: $ y \ge 39 $.

3) Решим систему неравенств, чтобы найти скорость ветра при шторме (z км/ч):

$ \begin{cases} 15(5 - z) \le -14z \\ 29(z - 3) < 28z \end{cases} $

Решим первое неравенство:

$ 15(5 - z) \le -14z $

$ 75 - 15z \le -14z $

$ 75 \le -14z + 15z $

$ 75 \le z $, что то же самое, что и $ z \ge 75 $.

Решим второе неравенство:

$ 29(z - 3) < 28z $

$ 29z - 87 < 28z $

$ 29z - 28z < 87 $

$ z < 87 $

Решением системы является пересечение промежутков $ z \ge 75 $ и $ z < 87 $. Таким образом, скорость ветра при шторме находится в диапазоне от 75 км/ч (включительно) до 87 км/ч (не включая).

Ответ: $ 75 \le z < 87 $.

4) Решим систему неравенств, чтобы найти скорость ветра при урагане (z км/ч):

$ \begin{cases} 50 - 0,5z \le -9 \\ 9 - \frac{1}{3}z \le -1 \end{cases} $

Решим первое неравенство:

$ 50 - 0,5z \le -9 $

$ -0,5z \le -9 - 50 $

$ -0,5z \le -59 $

Умножим обе части на -2 и изменим знак неравенства на противоположный:

$ z \ge (-59) \cdot (-2) $

$ z \ge 118 $

Решим второе неравенство:

$ 9 - \frac{1}{3}z \le -1 $

$ -\frac{1}{3}z \le -1 - 9 $

$ -\frac{1}{3}z \le -10 $

Умножим обе части на -3 и изменим знак неравенства на противоположный:

$ z \ge (-10) \cdot (-3) $

$ z \ge 30 $

Решением системы является пересечение промежутков $ z \ge 118 $ и $ z \ge 30 $. Так как любое число, большее или равное 118, также будет больше или равно 30, то решением является $ z \ge 118 $. Скорость ветра при урагане составляет 118 км/ч и более.

Ответ: $ z \ge 118 $.

Решите систему уравнений (86–87):

86. 1) $ \begin{cases} 4x + 3y = -7, \\ 2x - y = 9; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} 5x + 6y = 3, \\ x - 2y = -9; \end{cases} $

3) $ \begin{cases} 6x + y = -1, \\ 12x - 7y = 61; \end{cases} $

4) $ \begin{cases} x - 4y = -42, \\ 9x + 8y = 62. \end{cases} $

86. 1) Решим систему уравнений:
$\begin{cases} 4x + 3y = -7, \\ 2x - y = 9; \end{cases}$
Для решения этой системы удобно использовать метод подстановки. Выразим переменную y из второго уравнения:
$2x - y = 9 \implies y = 2x - 9$
Теперь подставим полученное выражение для y в первое уравнение системы:
$4x + 3(2x - 9) = -7$
Раскроем скобки и решим полученное уравнение относительно x:
$4x + 6x - 27 = -7$
$10x = 27 - 7$
$10x = 20$
$x = 2$
Теперь найдем значение y, подставив найденное значение x в выражение $y = 2x - 9$:
$y = 2(2) - 9 = 4 - 9 = -5$
Таким образом, решение системы — пара чисел $(2, -5)$.
Ответ: $(2, -5)$

2) Решим систему уравнений:
$\begin{cases} 5x + 6y = 3, \\ x - 2y = -9; \end{cases}$
Для решения этой системы удобно использовать метод сложения (устранения переменной). Умножим второе уравнение на 3, чтобы коэффициенты при y стали противоположными числами:
$3(x - 2y) = 3(-9) \implies 3x - 6y = -27$
Теперь система выглядит так:
$\begin{cases} 5x + 6y = 3, \\ 3x - 6y = -27; \end{cases}$
Сложим два уравнения почленно:
$(5x + 6y) + (3x - 6y) = 3 + (-27)$
$8x = -24$
$x = -3$
Подставим найденное значение x в исходное второе уравнение $x - 2y = -9$, чтобы найти y:
$-3 - 2y = -9$
$-2y = -9 + 3$
$-2y = -6$
$y = 3$
Таким образом, решение системы — пара чисел $(-3, 3)$.
Ответ: $(-3, 3)$

3) Решим систему уравнений:
$\begin{cases} 6x + y = -1, \\ 12x - 7y = 61; \end{cases}$
Используем метод подстановки. Выразим y из первого уравнения:
$y = -1 - 6x$
Подставим это выражение во второе уравнение системы:
$12x - 7(-1 - 6x) = 61$
Раскроем скобки и решим уравнение:
$12x + 7 + 42x = 61$
$54x = 61 - 7$
$54x = 54$
$x = 1$
Теперь найдем y, подставив значение x в выражение $y = -1 - 6x$:
$y = -1 - 6(1) = -1 - 6 = -7$
Таким образом, решение системы — пара чисел $(1, -7)$.
Ответ: $(1, -7)$

4) Решим систему уравнений:
$\begin{cases} x - 4y = -42, \\ 9x + 8y = 62; \end{cases}$
Используем метод сложения. Умножим первое уравнение на 2, чтобы коэффициенты при y стали противоположными:
$2(x - 4y) = 2(-42) \implies 2x - 8y = -84$
Новая система:
$\begin{cases} 2x - 8y = -84, \\ 9x + 8y = 62; \end{cases}$
Сложим уравнения почленно:
$(2x - 8y) + (9x + 8y) = -84 + 62$
$11x = -22$
$x = -2$
Подставим значение x в первое исходное уравнение $x - 4y = -42$:
$-2 - 4y = -42$
$-4y = -42 + 2$
$-4y = -40$
$y = 10$
Таким образом, решение системы — пара чисел $(-2, 10)$.
Ответ: $(-2, 10)$