Страница 17 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

46. Не выполняя построений, запишите координаты точек M, H, K, которые соответственно симметричны точкам $A(5; 6)$; $B(-3; 0)$; $C(0; 8)$ относительно:

1) оси абсцисс;

2) оси ординат;

3) начала координат.

Для нахождения координат точек, симметричных данным, не выполняя построений, используются следующие правила преобразования координат для точки $P(x; y)$:

1. При симметрии относительно оси абсцисс (оси Ox) координаты точки $(x; y)$ преобразуются в $(x; -y)$. То есть, абсцисса остается неизменной, а ордината меняет свой знак на противоположный.

2. При симметрии относительно оси ординат (оси Oy) координаты точки $(x; y)$ преобразуются в $(-x; y)$. То есть, ордината остается неизменной, а абсцисса меняет свой знак на противоположный.

3. При симметрии относительно начала координат (точки O(0;0)) координаты точки $(x; y)$ преобразуются в $(-x; -y)$. То есть, обе координаты меняют свои знаки на противоположные.

Нам даны точки $A(5; 6)$, $B(-3; 0)$ и $C(0; 8)$. Мы должны найти координаты симметричных им точек M, H и K соответственно для каждого из трех случаев.

1) оси абсцисс

Применяем правило симметрии относительно оси абсцисс: $(x; y) \rightarrow (x; -y)$.

Для точки $A(5; 6)$ симметричной будет точка $M(5; -6)$.

Для точки $B(-3; 0)$ симметричной будет точка $H(-3; -0)$, то есть $H(-3; 0)$. Точка лежит на оси симметрии, поэтому отображается сама в себя.

Для точки $C(0; 8)$ симметричной будет точка $K(0; -8)$.

Ответ: $M(5; -6)$, $H(-3; 0)$, $K(0; -8)$.

2) оси ординат

Применяем правило симметрии относительно оси ординат: $(x; y) \rightarrow (-x; y)$.

Для точки $A(5; 6)$ симметричной будет точка $M(-5; 6)$.

Для точки $B(-3; 0)$ симметричной будет точка $H(-(-3); 0)$, то есть $H(3; 0)$.

Для точки $C(0; 8)$ симметричной будет точка $K(-0; 8)$, то есть $K(0; 8)$. Точка лежит на оси симметрии, поэтому отображается сама в себя.

Ответ: $M(-5; 6)$, $H(3; 0)$, $K(0; 8)$.

3) начала координат

Применяем правило симметрии относительно начала координат: $(x; y) \rightarrow (-x; -y)$.

Для точки $A(5; 6)$ симметричной будет точка $M(-5; -6)$.

Для точки $B(-3; 0)$ симметричной будет точка $H(-(-3); -0)$, то есть $H(3; 0)$.

Для точки $C(0; 8)$ симметричной будет точка $K(-0; -8)$, то есть $K(0; -8)$.

Ответ: $M(-5; -6)$, $H(3; 0)$, $K(0; -8)$.

47. Запишите координаты точек A, B, C, E, D, M, H, K, F, T, P, изображенных на рисунке 4.

1) Запишите координаты точек $A_1$, $B_1$, $C_1$, $E_1$, $D_1$, $M_1$, $H_1$, $K_1$, $F_1$, $T_1$, $P_1$, которые симметричны соответственно точкам A, B, C, E, D, M, H, K, F, T, P относительно оси ординат.

2) Постройте точки $A_1$, $B_1$, $C_1$, $E_1$, $D_1$, $M_1$, $H_1$, $K_1$, $F_1$, $T_1$, $P_1$ и проведите отрезки $AC_1$, $BC_1$, $C_1E_1$, $D_1M_1$, $D_1H_1$, $P_1K_1$, $P_1F_1$, $D_1T_1$.

Для решения задачи сначала определим координаты точек, изображенных на исходном рисунке. Предполагается, что на рисунке 4 изображена фигура лебедя, для которой характерны следующие координаты точек:

A(3, 0), B(4, 1), C(4, 2), E(1, 5), D(1, 3), M(0, 7), H(-3, 6), K(-4, 5), F(-4, 4), T(-3, 3), P(-1, 3).

Симметрия точки относительно оси ординат (оси OY) означает, что для точки с координатами $(x, y)$ симметричная ей точка будет иметь координаты $(-x, y)$. Таким образом, абсцисса (координата $x$) меняет свой знак на противоположный, а ордината (координата $y$) остается неизменной.

Применим это правило для нахождения координат симметричных точек:

• Для точки A(3, 0) симметричная точка $A₁$ будет иметь координаты $(-3, 0)$.
• Для точки B(4, 1) симметричная точка $B₁$ будет иметь координаты $(-4, 1)$.
• Для точки C(4, 2) симметричная точка $C₁$ будет иметь координаты $(-4, 2)$.
• Для точки E(1, 5) симметричная точка $E₁$ будет иметь координаты $(-1, 5)$.
• Для точки D(1, 3) симметричная точка $D₁$ будет иметь координаты $(-1, 3)$.
• Для точки M(0, 7) симметричная точка $M₁$ будет иметь координаты $(0, 7)$, так как точка лежит на оси симметрии (ее координата $x=0$).
• Для точки H(-3, 6) симметричная точка $H₁$ будет иметь координаты $(3, 6)$.
• Для точки K(-4, 5) симметричная точка $K₁$ будет иметь координаты $(4, 5)$.
• Для точки F(-4, 4) симметричная точка $F₁$ будет иметь координаты $(4, 4)$.
• Для точки T(-3, 3) симметричная точка $T₁$ будет иметь координаты $(3, 3)$.
• Для точки P(-1, 3) симметричная точка $P₁$ будет иметь координаты $(1, 3)$.

Можно заметить, что координаты точки $D₁$ совпадают с координатами точки $P$, а координаты точки $P₁$ совпадают с координатами точки $D$.

Ответ: $A₁(-3, 0)$, $B₁(-4, 1)$, $C₁(-4, 2)$, $E₁(-1, 5)$, $D₁(-1, 3)$, $M₁(0, 7)$, $H₁(3, 6)$, $K₁(4, 5)$, $F₁(4, 4)$, $T₁(3, 3)$, $P₁(1, 3)$.

Построим координатную плоскость. Нанесем на нее исходные точки (обозначены черным цветом) и симметричные им точки (обозначены синим цветом). Затем проведем отрезки, указанные в задании (они выделены красным цветом). На графике также отмечены совпадающие точки: $M = M₁(0, 7)$, $D = P₁(1, 3)$ и $P = D₁(-1, 3)$.

Ответ: Графическое построение представлено на рисунке выше.

48. Постройте точки $A(0; 1,5)$ и $B(2; 6)$.

1) Проведите отрезки $AB$ и $BO$ и измерьте их длины с точностью до 1 мм.

2) Найдите координаты точки $F$, симметричной точке $B$ относительно оси ординат и координаты точек $E, D, C$, симметричные соответственно точкам $F, A$ и $B$ относительно оси абсцисс.

3) Проведите ломаную $ABCDEFA$ и найдите ее длину с точностью до 1 мм.

Для решения задачи построим все точки в декартовой системе координат. Заданные точки: $A(0; 1,5)$ и $B(2; 6)$. Точка $O$ является началом координат, ее координаты $O(0; 0)$. На рисунке ниже показаны все точки и искомая ломаная.

1) Проведите отрезки AB и BO и измерьте их длины с точностью до 1 мм.

Для нахождения длины отрезка между двумя точками с координатами $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$ используется формула расстояния: $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$.

Найдем длину отрезка AB, где $A(0; 1,5)$ и $B(2; 6)$:$AB = \sqrt{(2-0)^2 + (6-1,5)^2} = \sqrt{2^2 + 4,5^2} = \sqrt{4 + 20,25} = \sqrt{24,25}$.Если принять, что 1 единица координатной плоскости равна 1 см, то длина отрезка $AB \approx 4,924$ см. С точностью до 1 мм (т.е. до 0,1 см) это будет 4,9 см.

Найдем длину отрезка BO, где $B(2; 6)$ и $O(0; 0)$:$BO = \sqrt{(2-0)^2 + (6-0)^2} = \sqrt{2^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40}$.Длина отрезка $BO \approx 6,325$ см. С точностью до 1 мм это будет 6,3 см.

Ответ: Длина отрезка AB ≈ 49 мм, длина отрезка BO ≈ 63 мм.

2) Найдите координаты точки F, симметричной точке B относительно оси ординат и координаты точек E, D, C, симметричные соответственно точкам F, A и B относительно оси абсцисс.

При симметрии относительно оси ординат (оси OY) координата $x$ меняет знак, а $y$ остается неизменной. Точка $B$ имеет координаты $(2; 6)$.Следовательно, точка $F$, симметричная точке $B$ относительно оси ординат, имеет координаты $F(-2; 6)$.

При симметрии относительно оси абсцисс (оси OX) координата $y$ меняет знак, а $x$ остается неизменной.

• Точка $E$, симметричная точке $F(-2; 6)$ относительно оси абсцисс, имеет координаты $E(-2; -6)$.
• Точка $D$, симметричная точке $A(0; 1,5)$ относительно оси абсцисс, имеет координаты $D(0; -1,5)$.
• Точка $C$, симметричная точке $B(2; 6)$ относительно оси абсцисс, имеет координаты $C(2; -6)$.

Ответ: Координаты точек: F(-2; 6), E(-2; -6), D(0; -1,5), C(2; -6).

3) Проведите ломаную ABOCDEFA и найдите ее длину с точностью до 1 мм.

Длина ломаной ABOCDEFA равна сумме длин составляющих ее отрезков: $L = AB + BO + OC + CD + DE + EF + FA$.Длины отрезков $AB$ и $BO$ уже найдены. Вычислим длины остальных отрезков:

• $OC$: $O(0;0)$, $C(2; -6)$. $OC = \sqrt{(2-0)^2 + (-6-0)^2} = \sqrt{4+36} = \sqrt{40} \approx 6,325$ см.
• $CD$: $C(2; -6)$, $D(0; -1,5)$. $CD = \sqrt{(0-2)^2 + (-1,5 - (-6))^2} = \sqrt{(-2)^2 + 4,5^2} = \sqrt{24,25} \approx 4,924$ см.
• $DE$: $D(0; -1,5)$, $E(-2; -6)$. $DE = \sqrt{(-2-0)^2 + (-6 - (-1,5))^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-4,5)^2} = \sqrt{24,25} \approx 4,924$ см.
• $EF$: $E(-2; -6)$, $F(-2; 6)$. $EF = \sqrt{(-2 - (-2))^2 + (6 - (-6))^2} = \sqrt{0^2 + 12^2} = \sqrt{144} = 12$ см.
• $FA$: $F(-2; 6)$, $A(0; 1,5)$. $FA = \sqrt{(0 - (-2))^2 + (1,5 - 6)^2} = \sqrt{2^2 + (-4,5)^2} = \sqrt{24,25} \approx 4,924$ см.

Теперь сложим длины всех отрезков:$L = (AB+CD+DE+FA) + (BO+OC) + EF = 4 \times \sqrt{24,25} + 2 \times \sqrt{40} + 12$.$L \approx 4 \times 4,924 + 2 \times 6,325 + 12 = 19,696 + 12,650 + 12 = 44,346$ см.

С точностью до 1 мм (0,1 см) длина ломаной составляет 44,3 см.

Ответ: Длина ломаной ABOCDEFA ≈ 443 мм.

49. Постройте точку $A(3; 4)$ и точку B, у которой абсцисса такая же, как у точки A, а ордината составляет 50 % от ординаты точки B. Постройте точку C, у которой ордината такая же, как у точки B, а абсцисса в 2 раза больше абсциссы точки B. Постройте точку T, у которой ордината равна нулю, а абсцисса такая же, как у точки C. Постройте точки D, M, K, F, симметричные относительно оси ординат соответственно точкам A, B, C, T. Найдите периметр и площадь фигуры ABCTFKMDA, если длина единичного отрезка равна 5 мм.

1. Определение координат точек

В соответствии с условием задачи, найдем координаты всех точек на декартовой плоскости.

• Точка A задана по условию: $A(3; 4)$.

• Точка B: Абсцисса (координата x) точки $B$ такая же, как у точки $A$, то есть $x_B = 3$. Ордината точки $A$ ($y_A=4$) составляет 50% от ординаты точки $B$ ($y_B$). Это можно записать как уравнение: $4 = 0.5 \cdot y_B$. Решая уравнение, находим $y_B = \frac{4}{0.5} = 8$. Таким образом, координаты точки $B(3; 8)$.

• Точка C: Ордината (координата y) точки $C$ такая же, как у точки $B$, то есть $y_C = 8$. Абсцисса точки $C$ в 2 раза больше абсциссы точки $B$ ($x_B=3$). Находим $x_C = 2 \cdot 3 = 6$. Таким образом, координаты точки $C(6; 8)$.

• Точка T: Ордината точки $T$ равна нулю, $y_T = 0$. Абсцисса точки $T$ такая же, как у точки $C$, то есть $x_T = 6$. Таким образом, координаты точки $T(6; 0)$.

• Точки D, M, K, F: Эти точки симметричны точкам $A, B, C, T$ соответственно относительно оси ординат (оси OY). При симметрии относительно оси OY координата $x$ меняет свой знак на противоположный, а координата $y$ остается без изменений. То есть, точка с координатами $(x; y)$ отображается в точку $(-x; y)$.

  • Точка $D$ симметрична точке $A(3; 4)$, следовательно, $D(-3; 4)$.

  • Точка $M$ симметрична точке $B(3; 8)$, следовательно, $M(-3; 8)$.

  • Точка $K$ симметрична точке $C(6; 8)$, следовательно, $K(-6; 8)$.

  • Точка $F$ симметрична точке $T(6; 0)$, следовательно, $F(-6; 0)$.

2. Построение фигуры

Соединив точки в последовательности $A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow T \rightarrow F \rightarrow K \rightarrow M \rightarrow D \rightarrow A$, получим многоугольник $ABCTFKMD A$.

3. Нахождение периметра и площади фигуры

Периметр

Периметр фигуры $P$ равен сумме длин всех ее сторон. Вычислим длину каждой стороны в единичных отрезках (ед.). Все стороны параллельны осям координат.

• $AB = |y_B - y_A| = |8 - 4| = 4$ ед.

• $BC = |x_C - x_B| = |6 - 3| = 3$ ед.

• $CT = |y_C - y_T| = |8 - 0| = 8$ ед.

• $TF = |x_T - x_F| = |6 - (-6)| = 12$ ед.

• $FK = |y_K - y_F| = |8 - 0| = 8$ ед. (симметричен $CT$)

• $KM = |x_M - x_K| = |-3 - (-6)| = 3$ ед. (симметричен $BC$)

• $MD = |y_M - y_D| = |8 - 4| = 4$ ед. (симметричен $AB$)

• $DA = |x_A - x_D| = |3 - (-3)| = 6$ ед.

Сложим длины всех сторон: $P = 4 + 3 + 8 + 12 + 8 + 3 + 4 + 6 = 48$ ед.

По условию, длина единичного отрезка равна 5 мм. Тогда периметр в миллиметрах:

$P = 48 \text{ ед.} \cdot 5 \text{ мм/ед.} = 240$ мм.

Площадь

Площадь фигуры $S$ найдем, разбив ее на три прямоугольника.

1. Правый прямоугольник (с вершинами $B, C, T$ и точкой $(3;0)$): стороны равны $BC=3$ ед. и $CT-MD=8-4=4$ плюс еще одна часть... Проще разбить на другие прямоугольники: правый прямоугольник с вершинами в точках $(3;0)$, $(6;0)$, $(6;8)$, $(3;8)$. Его стороны $6-3=3$ ед. и $8-0=8$ ед. Площадь $S_1 = 3 \cdot 8 = 24$ кв. ед.

2. Левый прямоугольник (с вершинами $(-6;0)$, $(-3;0)$, $(-3;8)$, $(-6;8)$): симметричен правому, его стороны также равны 3 ед. и 8 ед. Площадь $S_2 = 3 \cdot 8 = 24$ кв. ед.

3. Центральный прямоугольник (с вершинами $D, A$ и точками $(-3;0), (3;0)$): его стороны равны $DA=6$ ед. и $|y_D - 0| = 4$ ед. Площадь $S_3 = 6 \cdot 4 = 24$ кв. ед.

Общая площадь фигуры равна сумме площадей этих трех прямоугольников:

$S = S_1 + S_2 + S_3 = 24 + 24 + 24 = 72$ кв. ед.

Площадь единичного квадрата равна $5 \text{ мм} \times 5 \text{ мм} = 25 \text{ мм}^2$. Переведем площадь фигуры в квадратные миллиметры:

$S = 72 \text{ кв. ед.} \cdot 25 \text{ мм}^2\text{/кв. ед.} = 1800 \text{ мм}^2$.

Ответ: Периметр фигуры $ABCTFKMD A$ равен $240$ мм, а ее площадь равна $1800 \text{ мм}^2$.