Страница 14 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Найдите корни уравнений (27–29):

27.1) $2(2,6x-4)=-30+5,09x;$

2) $20,1x-1,1=4(10-5,25x);$

3) $3(17-22,1x)=-7-63,4x;$

4) $19x-0,4=2(32x-5)+0,6.$

1) $2(2,6x - 4) = -30 + 5,09x$
Раскроем скобки в левой части уравнения, умножив 2 на каждый член в скобках:
$2 \cdot 2,6x - 2 \cdot 4 = -30 + 5,09x$
$5,2x - 8 = -30 + 5,09x$
Теперь сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в одной части уравнения, а свободные члены — в другой. Перенесем $5,09x$ в левую часть, а $-8$ — в правую, изменив их знаки:
$5,2x - 5,09x = -30 + 8$
Приведем подобные слагаемые в обеих частях уравнения:
$0,11x = -22$
Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на 0,11:
$x = \frac{-22}{0,11}$
Для удобства вычислений умножим числитель и знаменатель на 100, чтобы избавиться от десятичной дроби в знаменателе:
$x = \frac{-2200}{11}$
$x = -200$
Ответ: $-200$

2) $20,1x - 1,1 = 4(10 - 5,25x)$
Раскроем скобки в правой части уравнения:
$20,1x - 1,1 = 4 \cdot 10 - 4 \cdot 5,25x$
$20,1x - 1,1 = 40 - 21x$
Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:
$20,1x + 21x = 40 + 1,1$
Приведем подобные слагаемые:
$41,1x = 41,1$
Разделим обе части уравнения на 41,1:
$x = \frac{41,1}{41,1}$
$x = 1$
Ответ: $1$

3) $3(17 - 22,1x) = -7 - 63,4x$
Раскроем скобки в левой части уравнения:
$3 \cdot 17 - 3 \cdot 22,1x = -7 - 63,4x$
$51 - 66,3x = -7 - 63,4x$
Перенесем слагаемые с переменной $x$ в правую часть, а свободные члены — в левую, чтобы коэффициент при $x$ был положительным:
$51 + 7 = -63,4x + 66,3x$
Приведем подобные слагаемые:
$58 = 2,9x$
Чтобы найти $x$, поменяем местами части уравнения и разделим на 2,9:
$x = \frac{58}{2,9}$
Умножим числитель и знаменатель на 10:
$x = \frac{580}{29}$
$x = 20$
Ответ: $20$

4) $19x - 0,4 = 2(32x - 5) + 0,6$
Раскроем скобки в правой части уравнения:
$19x - 0,4 = 2 \cdot 32x - 2 \cdot 5 + 0,6$
$19x - 0,4 = 64x - 10 + 0,6$
Приведем подобные слагаемые в правой части:
$19x - 0,4 = 64x - 9,4$
Перенесем слагаемые с переменной $x$ в правую часть, а свободные члены — в левую:
$-0,4 + 9,4 = 64x - 19x$
Приведем подобные слагаемые:
$9 = 45x$
Разделим обе части на 45:
$x = \frac{9}{45}$
Сократим дробь на 9:
$x = \frac{1}{5}$
Представим дробь в виде десятичного числа:
$x = 0,2$
Ответ: $0,2$

28. 1) $6\frac{1}{3}y + 6,5 = 2,5 - \frac{2}{3}y;$

2) $3\frac{4}{9}y - 6,73 = 4\frac{4}{9}y + 9,27;$

3) $\frac{1}{5} - \left(\frac{1}{3}x + 4,63\right) = \frac{2}{3}x - \frac{1}{3} + 1,37;$

4) $\frac{4}{9}x + 1,64 - \frac{6}{11} = 1 - \left(0,36 + \frac{5}{9}x\right).$

1)

Дано уравнение: $6\frac{1}{3}y + 6,5 = 2,5 - \frac{2}{3}y$.
Для решения преобразуем все числа в один формат. Удобнее всего перевести их в обыкновенные дроби, так как $\frac{1}{3}$ и $\frac{2}{3}$ являются бесконечными периодическими десятичными дробями.
$6\frac{1}{3} = \frac{6 \times 3 + 1}{3} = \frac{19}{3}$
$6,5 = 6\frac{5}{10} = 6\frac{1}{2} = \frac{13}{2}$
$2,5 = 2\frac{5}{10} = 2\frac{1}{2} = \frac{5}{2}$
Подставим полученные дроби в исходное уравнение:
$\frac{19}{3}y + \frac{13}{2} = \frac{5}{2} - \frac{2}{3}y$
Теперь перенесем все слагаемые с переменной $y$ в левую часть уравнения, а числовые слагаемые — в правую. При переносе через знак равенства знак слагаемого меняется на противоположный.
$\frac{19}{3}y + \frac{2}{3}y = \frac{5}{2} - \frac{13}{2}$
Сложим и вычтем дроби в обеих частях уравнения:
$(\frac{19+2}{3})y = \frac{5-13}{2}$
$\frac{21}{3}y = \frac{-8}{2}$
$7y = -4$
Разделим обе части на 7, чтобы найти $y$:
$y = -\frac{4}{7}$
Ответ: $y = -\frac{4}{7}$

2)

Дано уравнение: $3\frac{4}{9}y - 6,73 = 4\frac{4}{9}y + 9,27$.
Сгруппируем слагаемые с переменной $y$ в одной части уравнения, а числовые слагаемые — в другой. Перенесем $3\frac{4}{9}y$ вправо, а $9,27$ влево.
$-6,73 - 9,27 = 4\frac{4}{9}y - 3\frac{4}{9}y$
Выполним вычисления в обеих частях уравнения.
В левой части: $-6,73 - 9,27 = -16$.
В правой части: $4\frac{4}{9}y - 3\frac{4}{9}y = (4\frac{4}{9} - 3\frac{4}{9})y = ( (4-3) + (\frac{4}{9} - \frac{4}{9}) )y = (1+0)y = y$.
Получаем уравнение:
$-16 = y$
Ответ: $y = -16$

3)

Дано уравнение: $\frac{1}{5} - (\frac{1}{3}x + 4,63) = \frac{2}{3}x - \frac{1}{3} + 1,37$.
Раскроем скобки в левой части уравнения. Так как перед скобкой стоит знак "минус", знаки всех слагаемых внутри скобок меняются на противоположные.
$\frac{1}{5} - \frac{1}{3}x - 4,63 = \frac{2}{3}x - \frac{1}{3} + 1,37$
Перенесем слагаемые с переменной $x$ в правую часть, а числовые слагаемые — в левую.
$\frac{1}{5} - 4,63 + \frac{1}{3} - 1,37 = \frac{2}{3}x + \frac{1}{3}x$
Сгруппируем и упростим подобные слагаемые в обеих частях.
В левой части сгруппируем дроби и десятичные числа: $(\frac{1}{5} + \frac{1}{3}) + (-4,63 - 1,37)$.
$\frac{1}{5} + \frac{1}{3} = \frac{3}{15} + \frac{5}{15} = \frac{8}{15}$
$-4,63 - 1,37 = -6$
Левая часть равна: $\frac{8}{15} - 6$.
В правой части: $\frac{2}{3}x + \frac{1}{3}x = (\frac{2+1}{3})x = \frac{3}{3}x = x$.
Получаем уравнение:
$\frac{8}{15} - 6 = x$
Вычислим значение в левой части:
$x = \frac{8}{15} - \frac{6 \times 15}{15} = \frac{8}{15} - \frac{90}{15} = \frac{8 - 90}{15} = -\frac{82}{15}$
Можно представить ответ в виде смешанной дроби: $-\frac{82}{15} = -5\frac{7}{15}$.
Ответ: $x = -5\frac{7}{15}$

4)

Дано уравнение: $\frac{4}{9}x + 1,64 - \frac{6}{11} = 1 - (0,36 + \frac{5}{9}x)$.
Раскроем скобки в правой части уравнения.
$\frac{4}{9}x + 1,64 - \frac{6}{11} = 1 - 0,36 - \frac{5}{9}x$
Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числовые слагаемые — в правую.
$\frac{4}{9}x + \frac{5}{9}x = 1 - 0,36 - 1,64 + \frac{6}{11}$
Упростим обе части.
В левой части: $\frac{4}{9}x + \frac{5}{9}x = (\frac{4+5}{9})x = \frac{9}{9}x = x$.
В правой части: $1 - 0,36 - 1,64 + \frac{6}{11} = 1 - (0,36+1,64) + \frac{6}{11} = 1 - 2 + \frac{6}{11} = -1 + \frac{6}{11}$.
Получаем уравнение:
$x = -1 + \frac{6}{11}$
Вычислим правую часть:
$x = -\frac{11}{11} + \frac{6}{11} = \frac{-11+6}{11} = -\frac{5}{11}$
Ответ: $x = -\frac{5}{11}$

29. 1) $20 (x - 4) - 17 (3 - 2x) = 58 + 3^3x;$

2) $-4.5 (3x + 2) + 1.6 (5 - 4x) = 3.1x + 1.3;$

3) $\frac{5}{21} (7 - 3x) - \frac{4}{35} (5x + 7) = \frac{2}{15} - \frac{2}{7};$

4) $\frac{3^2}{4^2} (2^5 + x) + \frac{7}{12} (36 - x) = \frac{5}{4^2}x - 7.$

1) $20(x-4)-17(3-2x) = 58+3^3x$

Сначала вычислим степень: $3^3 = 27$.

Уравнение принимает вид: $20(x-4)-17(3-2x) = 58+27x$.

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$20x - 20 \cdot 4 - 17 \cdot 3 - 17 \cdot (-2x) = 58+27x$

$20x - 80 - 51 + 34x = 58+27x$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$(20x + 34x) + (-80 - 51) = 54x - 131$

Получаем уравнение: $54x - 131 = 58+27x$.

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числовые слагаемые — в правую, меняя знаки:

$54x - 27x = 58 + 131$

$27x = 189$

Найдем $x$:

$x = \frac{189}{27}$

$x = 7$

Ответ: $7$.

2) $-4,5(3x+2)+1,6(5-4x)=3,1x+1,3$

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$-4,5 \cdot 3x - 4,5 \cdot 2 + 1,6 \cdot 5 + 1,6 \cdot (-4x) = 3,1x+1,3$

$-13,5x - 9 + 8 - 6,4x = 3,1x+1,3$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$(-13,5x - 6,4x) + (-9 + 8) = -19,9x - 1$

Получаем уравнение: $-19,9x - 1 = 3,1x+1,3$.

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в правую часть, а числовые слагаемые — в левую:

$-1 - 1,3 = 3,1x + 19,9x$

$-2,3 = 23x$

Найдем $x$:

$x = \frac{-2,3}{23}$

$x = -0,1$

Ответ: $-0,1$.

3) $\frac{5}{21}(7-3x)-\frac{4}{35}(5x+7)=\frac{2}{15}-\frac{2}{7}$

Сначала упростим правую часть, приведя дроби к общему знаменателю $105$:

$\frac{2}{15}-\frac{2}{7} = \frac{2 \cdot 7}{105} - \frac{2 \cdot 15}{105} = \frac{14 - 30}{105} = -\frac{16}{105}$

Уравнение принимает вид: $\frac{5}{21}(7-3x)-\frac{4}{35}(5x+7)=-\frac{16}{105}$.

Найдем наименьшее общее кратное знаменателей $21$, $35$ и $105$. $НОК(21, 35, 105) = 105$. Умножим обе части уравнения на $105$, чтобы избавиться от дробей:

$105 \cdot \frac{5}{21}(7-3x) - 105 \cdot \frac{4}{35}(5x+7) = 105 \cdot (-\frac{16}{105})$

$5 \cdot 5(7-3x) - 3 \cdot 4(5x+7) = -16$

$25(7-3x) - 12(5x+7) = -16$

Раскроем скобки:

$175 - 75x - 60x - 84 = -16$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$(-75x - 60x) + (175 - 84) = -135x + 91$

Получаем уравнение: $-135x + 91 = -16$.

Перенесем числовое слагаемое в правую часть:

$-135x = -16 - 91$

$-135x = -107$

$x = \frac{-107}{-135} = \frac{107}{135}$

Ответ: $\frac{107}{135}$.

4) $\frac{3^2}{4^2}(2^5+x)+\frac{7}{12}(36-x)=\frac{5}{4^2}x-7$

Сначала вычислим степени: $3^2=9$, $4^2=16$, $2^5=32$.

Уравнение принимает вид: $\frac{9}{16}(32+x)+\frac{7}{12}(36-x)=\frac{5}{16}x-7$.

Найдем наименьшее общее кратное знаменателей $16$ и $12$. $НОК(16, 12) = 48$. Умножим обе части уравнения на $48$:

$48 \cdot \frac{9}{16}(32+x) + 48 \cdot \frac{7}{12}(36-x) = 48 \cdot \frac{5}{16}x - 48 \cdot 7$

$3 \cdot 9(32+x) + 4 \cdot 7(36-x) = 3 \cdot 5x - 336$

$27(32+x) + 28(36-x) = 15x - 336$

Раскроем скобки:

$27 \cdot 32 + 27x + 28 \cdot 36 - 28x = 15x - 336$

$864 + 27x + 1008 - 28x = 15x - 336$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$(864 + 1008) + (27x - 28x) = 1872 - x$

Получаем уравнение: $1872 - x = 15x - 336$.

Перенесем слагаемые с $x$ в правую часть, а числовые — в левую:

$1872 + 336 = 15x + x$

$2208 = 16x$

Найдем $x$:

$x = \frac{2208}{16}$

$x = 138$

Ответ: $138$.

30. Заполните таблицу 1.

Таблица 1

Собственная скорость движения катера (в км/ч): 30, , 35, 40, ,

Скорость течения реки (в км/ч): 3, , , , 3, 4

Скорость движения катера по течению (в км/ч): , 33, 39, , 45,

Скорость движения катера против течения (в км/ч): , 29, , 38, , 34

Для решения задачи воспользуемся следующими формулами, связывающими собственную скорость катера ($v_{соб}$), скорость течения реки ($v_{теч}$), скорость катера по течению ($v_{по}$) и скорость катера против течения ($v_{против}$):

Скорость по течению: $v_{по} = v_{соб} + v_{теч}$

Скорость против течения: $v_{против} = v_{соб} - v_{теч}$

Из этих формул можно выразить собственную скорость и скорость течения:

Собственная скорость катера: $v_{соб} = \frac{v_{по} + v_{против}}{2}$

Скорость течения реки: $v_{теч} = \frac{v_{по} - v_{против}}{2}$

Будем заполнять таблицу, рассчитывая недостающие значения для каждого столбца.

Первый столбец

Дано: собственная скорость катера $v_{соб} = 30$ км/ч, скорость течения реки $v_{теч} = 3$ км/ч.

Находим скорость по течению: $v_{по} = 30 + 3 = 33$ км/ч.

Находим скорость против течения: $v_{против} = 30 - 3 = 27$ км/ч.

Ответ: Скорость по течению – 33 км/ч, скорость против течения – 27 км/ч.

Второй столбец

Дано: скорость по течению $v_{по} = 33$ км/ч, скорость против течения $v_{против} = 29$ км/ч.

Находим собственную скорость катера: $v_{соб} = \frac{33 + 29}{2} = \frac{62}{2} = 31$ км/ч.

Находим скорость течения реки: $v_{теч} = \frac{33 - 29}{2} = \frac{4}{2} = 2$ км/ч.

Ответ: Собственная скорость – 31 км/ч, скорость течения – 2 км/ч.

Третий столбец

Дано: собственная скорость катера $v_{соб} = 35$ км/ч, скорость по течению $v_{по} = 39$ км/ч.

Находим скорость течения реки: $v_{теч} = v_{по} - v_{соб} = 39 - 35 = 4$ км/ч.

Находим скорость против течения: $v_{против} = v_{соб} - v_{теч} = 35 - 4 = 31$ км/ч.

Ответ: Скорость течения – 4 км/ч, скорость против течения – 31 км/ч.

Четвертый столбец

В данном столбце приведены три значения: $v_{соб} = 40$ км/ч, $v_{теч} = 3$ км/ч, и $v_{против} = 38$ км/ч. Эти данные противоречат друг другу, так как при $v_{соб} = 40$ км/ч и $v_{теч} = 3$ км/ч, скорость против течения должна быть $40 - 3 = 37$ км/ч, а не 38 км/ч. Предположим, что значение скорости против течения в таблице указано неверно, и будем исходить из данных о собственной скорости и скорости течения.

Дано: $v_{соб} = 40$ км/ч, $v_{теч} = 3$ км/ч.

Находим скорость по течению: $v_{по} = 40 + 3 = 43$ км/ч.

Находим (корректную) скорость против течения: $v_{против} = 40 - 3 = 37$ км/ч.

Ответ: Скорость по течению – 43 км/ч, скорость против течения – 37 км/ч.

Пятый столбец

В данном столбце также приведены три противоречивых значения: $v_{теч} = 4$ км/ч, $v_{по} = 45$ км/ч, и $v_{против} = 34$ км/ч. Данные являются взаимоисключающими. Например, если исходить из скорости по течению и против течения, то скорость течения должна быть $v_{теч} = \frac{45-34}{2} = 5.5$ км/ч, что не равно 4 км/ч. Предположим, что верными являются значения скорости по течению и против течения (аналогично второму столбцу), а значение скорости течения в исходных данных указано неверно.

Дано: $v_{по} = 45$ км/ч, $v_{против} = 34$ км/ч.

Находим собственную скорость катера: $v_{соб} = \frac{45 + 34}{2} = \frac{79}{2} = 39.5$ км/ч.

Находим (корректную) скорость течения реки: $v_{теч} = \frac{45 - 34}{2} = \frac{11}{2} = 5.5$ км/ч.

Ответ: Собственная скорость – 39.5 км/ч, скорость течения – 5.5 км/ч.

Итоговая заполненная таблица (вычисленные значения выделены жирным шрифтом):

Решите задачи, составьте обратные задачи и решите их (31–32):

31. Одна мастерская может выполнить некоторую работу за 6 ч, а другая за 4 ч. Сколько потребуется времени для выполнения этой работы, если они будут работать совместно?

31. Это задача на совместную работу. Для ее решения необходимо найти производительность каждой мастерской и их общую производительность.

1. Примем всю работу за 1 (единицу).
2. Найдем производительность первой мастерской. Если она выполняет всю работу за 6 часов, то ее производительность $P_1$ равна:
$P_1 = 1 / 6$ (часть работы в час).
3. Найдем производительность второй мастерской. Если она выполняет всю работу за 4 часа, то ее производительность $P_2$ равна:
$P_2 = 1 / 4$ (часть работы в час).
4. Найдем общую производительность $P_{общ}$ при совместной работе, сложив их производительности:
$P_{общ} = P_1 + P_2 = 1/6 + 1/4$.
Приведем дроби к общему знаменателю 12:
$P_{общ} = 2/12 + 3/12 = 5/12$ (часть работы в час).
5. Теперь найдем время $T$, которое потребуется для выполнения всей работы совместно. Для этого нужно всю работу (1) разделить на общую производительность:
$T = 1 / P_{общ} = 1 / (5/12) = 12/5$ часа.
6. Переведем $12/5$ часа в более привычный формат:
$12/5 \text{ ч} = 2 \frac{2}{5} \text{ ч} = 2 \text{ часа и } \frac{2}{5} \cdot 60 \text{ минут} = 2 \text{ часа } 24 \text{ минуты}$.

Ответ: для выполнения работы совместно потребуется 2 часа 24 минуты.

Обратная задача 1

Условие: Две мастерские, работая совместно, выполняют некоторую работу за 2 часа 24 минуты ($12/5$ часа). Вторая мастерская, работая в одиночку, может выполнить эту же работу за 4 часа. За сколько часов выполнит всю работу первая мастерская, работая одна?

Решение:
1. Примем всю работу за 1 (единицу).
2. Найдем общую производительность двух мастерских $P_{общ}$.
$P_{общ} = 1 / T = 1 / (12/5) = 5/12$ (часть работы в час).
3. Найдем производительность второй мастерской $P_2$.
$P_2 = 1 / 4$ (часть работы в час).
4. Чтобы найти производительность первой мастерской $P_1$, вычтем из общей производительности производительность второй:
$P_1 = P_{общ} - P_2 = 5/12 - 1/4 = 5/12 - 3/12 = 2/12 = 1/6$ (часть работы в час).
5. Теперь найдем время $T_1$, за которое первая мастерская выполнит всю работу в одиночку:
$T_1 = 1 / P_1 = 1 / (1/6) = 6$ часов.

Ответ: первая мастерская выполнит работу за 6 часов.

Обратная задача 2

Условие: Две мастерские, работая совместно, выполняют некоторую работу за 2 часа 24 минуты ($12/5$ часа). Первая мастерская, работая в одиночку, может выполнить эту же работу за 6 часов. За сколько часов выполнит всю работу вторая мастерская, работая одна?

Решение:
1. Примем всю работу за 1 (единицу).
2. Найдем общую производительность двух мастерских $P_{общ}$.
$P_{общ} = 1 / T = 1 / (12/5) = 5/12$ (часть работы в час).
3. Найдем производительность первой мастерской $P_1$.
$P_1 = 1 / 6$ (часть работы в час).
4. Чтобы найти производительность второй мастерской $P_2$, вычтем из общей производительности производительность первой:
$P_2 = P_{общ} - P_1 = 5/12 - 1/6 = 5/12 - 2/12 = 3/12 = 1/4$ (часть работы в час).
5. Теперь найдем время $T_2$, за которое вторая мастерская выполнит всю работу в одиночку:
$T_2 = 1 / P_2 = 1 / (1/4) = 4$ часа.

Ответ: вторая мастерская выполнит работу за 4 часа.

32. На прохождение некоторого пути грузовой машине требуется 7 ч, а легковой 3 ч. Через сколько часов произойдет встреча грузовой и легковой машин, если они выедут навстречу друг другу по этой дороге одновременно?

Для решения этой задачи, примем весь путь за 1 условную единицу. В таком случае скорость каждой машины можно выразить как долю пути, которую она проходит за 1 час.

1. Скорость грузовой машины ($v_{груз}$) проходит весь путь (1) за 7 часов, следовательно, её скорость составляет $v_{груз} = \frac{1}{7}$ пути/час.

2. Скорость легковой машины ($v_{легк}$) проходит тот же путь за 3 часа, значит, её скорость составляет $v_{легк} = \frac{1}{3}$ пути/час.

3. Поскольку машины движутся навстречу друг другу, их скорости складываются. Найдем их общую скорость сближения ($v_{сближ}$):

$v_{сближ} = v_{груз} + v_{легк} = \frac{1}{7} + \frac{1}{3}$

Для сложения дробей приведем их к общему знаменателю (21):

$\frac{1}{7} + \frac{1}{3} = \frac{3}{21} + \frac{7}{21} = \frac{10}{21}$ пути/час.

4. Время ($t_{встр}$), через которое машины встретятся, можно найти, разделив весь путь (1) на скорость сближения:

$t_{встр} = \frac{1}{v_{сближ}} = \frac{1}{\frac{10}{21}} = 1 \cdot \frac{21}{10} = \frac{21}{10}$ часа.

5. Переведем результат в десятичную дробь:

$\frac{21}{10} = 2,1$ часа.

Ответ: встреча грузовой и легковой машин произойдет через 2,1 часа.

33. Найдите площадь квадрата, который имеет такой же периметр, как шестиугольник, у которого длины всех его сторон равны по:

1) 36 см;

2) 2 см;

3) 0,2 см;

4) 0,5 см;

5) $\frac{1}{6}$ см;

6) $\frac{2}{3}$ см.

1)Найдем периметр шестиугольника со стороной $a_{ш} = 36$ см. Так как у шестиугольника 6 равных сторон, его периметр $P_{ш}$ равен:
$P_{ш} = 6 \cdot a_{ш} = 6 \cdot 36 = 216$ см.
По условию, периметр квадрата $P_{к}$ равен периметру шестиугольника: $P_{к} = P_{ш} = 216$ см.
Периметр квадрата вычисляется по формуле $P_{к} = 4 \cdot a_{к}$, где $a_{к}$ - сторона квадрата. Найдем сторону квадрата:
$a_{к} = \frac{P_{к}}{4} = \frac{216}{4} = 54$ см.
Площадь квадрата $S_{к}$ вычисляется по формуле $S_{к} = a_{к}^2$:
$S_{к} = 54^2 = 2916$ см$^2$.
Ответ: $2916$ см$^2$.

2)Найдем периметр шестиугольника со стороной $a_{ш} = 2$ см.
$P_{ш} = 6 \cdot a_{ш} = 6 \cdot 2 = 12$ см.
Периметр квадрата $P_{к} = 12$ см.
Найдем сторону квадрата $a_{к}$:
$a_{к} = \frac{P_{к}}{4} = \frac{12}{4} = 3$ см.
Найдем площадь квадрата $S_{к}$:
$S_{к} = a_{к}^2 = 3^2 = 9$ см$^2$.
Ответ: $9$ см$^2$.

3)Найдем периметр шестиугольника со стороной $a_{ш} = 0,2$ см.
$P_{ш} = 6 \cdot a_{ш} = 6 \cdot 0,2 = 1,2$ см.
Периметр квадрата $P_{к} = 1,2$ см.
Найдем сторону квадрата $a_{к}$:
$a_{к} = \frac{P_{к}}{4} = \frac{1,2}{4} = 0,3$ см.
Найдем площадь квадрата $S_{к}$:
$S_{к} = a_{к}^2 = 0,3^2 = 0,09$ см$^2$.
Ответ: $0,09$ см$^2$.

4)Найдем периметр шестиугольника со стороной $a_{ш} = 0,5$ см.
$P_{ш} = 6 \cdot a_{ш} = 6 \cdot 0,5 = 3$ см.
Периметр квадрата $P_{к} = 3$ см.
Найдем сторону квадрата $a_{к}$:
$a_{к} = \frac{P_{к}}{4} = \frac{3}{4} = 0,75$ см.
Найдем площадь квадрата $S_{к}$:
$S_{к} = a_{к}^2 = 0,75^2 = 0,5625$ см$^2$. Также можно представить в виде дроби: $S_{к} = \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{9}{16}$ см$^2$.
Ответ: $0,5625$ см$^2$ или $\frac{9}{16}$ см$^2$.

5)Найдем периметр шестиугольника со стороной $a_{ш} = \frac{1}{6}$ см.
$P_{ш} = 6 \cdot a_{ш} = 6 \cdot \frac{1}{6} = 1$ см.
Периметр квадрата $P_{к} = 1$ см.
Найдем сторону квадрата $a_{к}$:
$a_{к} = \frac{P_{к}}{4} = \frac{1}{4}$ см.
Найдем площадь квадрата $S_{к}$:
$S_{к} = a_{к}^2 = \left(\frac{1}{4}\right)^2 = \frac{1}{16}$ см$^2$.
Ответ: $\frac{1}{16}$ см$^2$.

6)Найдем периметр шестиугольника со стороной $a_{ш} = \frac{2}{3}$ см.
$P_{ш} = 6 \cdot a_{ш} = 6 \cdot \frac{2}{3} = \frac{12}{3} = 4$ см.
Периметр квадрата $P_{к} = 4$ см.
Найдем сторону квадрата $a_{к}$:
$a_{к} = \frac{P_{к}}{4} = \frac{4}{4} = 1$ см.
Найдем площадь квадрата $S_{к}$:
$S_{к} = a_{к}^2 = 1^2 = 1$ см$^2$.
Ответ: $1$ см$^2$.

34. Найдите длину стороны куба, объем которого равен объему прямоугольного параллелепипеда с измерениями:

1) 4 см, 6 см и 9 см;

2) 4 см, 10 см, 25 см;

3) 5 см, 8 см, 25 см;

4) 27 см, 8 см, 125 см;

5) 6,4 см, 2,7 см, 34,3 см;

6) 0,7 см, 4,9 см, 0,8 см.

Для решения задачи необходимо найти объем прямоугольного параллелепипеда ($V_p$) и приравнять его к объему куба ($V_к$). Объем параллелепипеда вычисляется по формуле $V_p = l \cdot w \cdot h$, где $l, w, h$ — его измерения. Объем куба со стороной $a$ равен $V_к = a^3$. Так как $V_к = V_p$, то сторону куба можно найти по формуле $a = \sqrt[3]{V_p}$.

1) Для параллелепипеда с измерениями 4 см, 6 см и 9 см найдем его объем: $V_p = 4 \cdot 6 \cdot 9 = 216$ см³. Тогда сторона куба $a$ равна кубическому корню из этого объема: $a = \sqrt[3]{216} = 6$ см.
Ответ: 6 см.

2) Для параллелепипеда с измерениями 4 см, 10 см и 25 см найдем его объем: $V_p = 4 \cdot 10 \cdot 25 = 1000$ см³. Тогда сторона куба $a = \sqrt[3]{1000} = 10$ см.
Ответ: 10 см.

3) Для параллелепипеда с измерениями 5 см, 8 см и 25 см найдем его объем: $V_p = 5 \cdot 8 \cdot 25 = 1000$ см³. Тогда сторона куба $a = \sqrt[3]{1000} = 10$ см.
Ответ: 10 см.

4) Для параллелепипеда с измерениями 27 см, 8 см и 125 см найдем его объем: $V_p = 27 \cdot 8 \cdot 125$. Сторону куба $a$ можно найти, извлекая корень из каждого множителя: $a = \sqrt[3]{27 \cdot 8 \cdot 125} = \sqrt[3]{27} \cdot \sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{125} = 3 \cdot 2 \cdot 5 = 30$ см.
Ответ: 30 см.

5) Для параллелепипеда с измерениями 6,4 см, 2,7 см и 34,3 см найдем сторону куба: $a = \sqrt[3]{6,4 \cdot 2,7 \cdot 34,3} = \sqrt[3]{(64 \cdot 0,1) \cdot (27 \cdot 0,1) \cdot (343 \cdot 0,1)} = \sqrt[3]{64 \cdot 27 \cdot 343 \cdot 0,001} = \sqrt[3]{4^3 \cdot 3^3 \cdot 7^3 \cdot (0,1)^3} = \sqrt[3]{(4 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 0,1)^3} = 4 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 0,1 = 8,4$ см.
Ответ: 8,4 см.

6) Для параллелепипеда с измерениями 0,7 см, 4,9 см и 0,8 см найдем сторону куба, представив десятичные дроби в виде обыкновенных: $a = \sqrt[3]{0,7 \cdot 4,9 \cdot 0,8} = \sqrt[3]{\frac{7}{10} \cdot \frac{49}{10} \cdot \frac{8}{10}} = \sqrt[3]{\frac{7 \cdot 49 \cdot 8}{1000}} = \sqrt[3]{\frac{7^3 \cdot 2^3}{10^3}} = \sqrt[3]{(\frac{7 \cdot 2}{10})^3} = \frac{14}{10} = 1,4$ см.
Ответ: 1,4 см.