Номер 31, страница 14 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Решите задачи, составьте обратные задачи и решите их (31–32):

31. Одна мастерская может выполнить некоторую работу за 6 ч, а другая за 4 ч. Сколько потребуется времени для выполнения этой работы, если они будут работать совместно?

31. Это задача на совместную работу. Для ее решения необходимо найти производительность каждой мастерской и их общую производительность.

1. Примем всю работу за 1 (единицу).
2. Найдем производительность первой мастерской. Если она выполняет всю работу за 6 часов, то ее производительность $P_1$ равна:
$P_1 = 1 / 6$ (часть работы в час).
3. Найдем производительность второй мастерской. Если она выполняет всю работу за 4 часа, то ее производительность $P_2$ равна:
$P_2 = 1 / 4$ (часть работы в час).
4. Найдем общую производительность $P_{общ}$ при совместной работе, сложив их производительности:
$P_{общ} = P_1 + P_2 = 1/6 + 1/4$.
Приведем дроби к общему знаменателю 12:
$P_{общ} = 2/12 + 3/12 = 5/12$ (часть работы в час).
5. Теперь найдем время $T$, которое потребуется для выполнения всей работы совместно. Для этого нужно всю работу (1) разделить на общую производительность:
$T = 1 / P_{общ} = 1 / (5/12) = 12/5$ часа.
6. Переведем $12/5$ часа в более привычный формат:
$12/5 \text{ ч} = 2 \frac{2}{5} \text{ ч} = 2 \text{ часа и } \frac{2}{5} \cdot 60 \text{ минут} = 2 \text{ часа } 24 \text{ минуты}$.

Ответ: для выполнения работы совместно потребуется 2 часа 24 минуты.

Обратная задача 1

Условие: Две мастерские, работая совместно, выполняют некоторую работу за 2 часа 24 минуты ($12/5$ часа). Вторая мастерская, работая в одиночку, может выполнить эту же работу за 4 часа. За сколько часов выполнит всю работу первая мастерская, работая одна?

Решение:
1. Примем всю работу за 1 (единицу).
2. Найдем общую производительность двух мастерских $P_{общ}$.
$P_{общ} = 1 / T = 1 / (12/5) = 5/12$ (часть работы в час).
3. Найдем производительность второй мастерской $P_2$.
$P_2 = 1 / 4$ (часть работы в час).
4. Чтобы найти производительность первой мастерской $P_1$, вычтем из общей производительности производительность второй:
$P_1 = P_{общ} - P_2 = 5/12 - 1/4 = 5/12 - 3/12 = 2/12 = 1/6$ (часть работы в час).
5. Теперь найдем время $T_1$, за которое первая мастерская выполнит всю работу в одиночку:
$T_1 = 1 / P_1 = 1 / (1/6) = 6$ часов.

Ответ: первая мастерская выполнит работу за 6 часов.

Обратная задача 2

Условие: Две мастерские, работая совместно, выполняют некоторую работу за 2 часа 24 минуты ($12/5$ часа). Первая мастерская, работая в одиночку, может выполнить эту же работу за 6 часов. За сколько часов выполнит всю работу вторая мастерская, работая одна?

Решение:
1. Примем всю работу за 1 (единицу).
2. Найдем общую производительность двух мастерских $P_{общ}$.
$P_{общ} = 1 / T = 1 / (12/5) = 5/12$ (часть работы в час).
3. Найдем производительность первой мастерской $P_1$.
$P_1 = 1 / 6$ (часть работы в час).
4. Чтобы найти производительность второй мастерской $P_2$, вычтем из общей производительности производительность первой:
$P_2 = P_{общ} - P_1 = 5/12 - 1/6 = 5/12 - 2/12 = 3/12 = 1/4$ (часть работы в час).
5. Теперь найдем время $T_2$, за которое вторая мастерская выполнит всю работу в одиночку:
$T_2 = 1 / P_2 = 1 / (1/4) = 4$ часа.

Ответ: вторая мастерская выполнит работу за 4 часа.