Страница 20 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

60. При каких значениях $a$ уравнение $|10 - x| = a$:

1) имеет решения;

2) не имеет решений;

3) решение равно нулю;

4) решение равно 10?

Для решения задачи рассмотрим уравнение $|10 - x| = a$. Мы можем проанализировать его как алгебраически, так и графически.

Графический метод заключается в том, чтобы найти точки пересечения графиков двух функций: $y = |10 - x|$ и $y = a$.

• График $y = |10 - x|$ — это "галочка", полученная из графика $y = |x|$ смещением на 10 единиц вправо. Её вершина находится в точке $(10, 0)$.
• График $y = a$ — это горизонтальная прямая, параллельная оси абсцисс.

Количество решений уравнения соответствует количеству точек пересечения этих двух графиков.

1) имеет решения

Алгебраически: левая часть уравнения, $|10 - x|$, по определению модуля, всегда неотрицательна, то есть $|10 - x| \ge 0$. Чтобы равенство было возможным, правая часть, $a$, также должна быть неотрицательной. Следовательно, уравнение имеет решения при $a \ge 0$.
Графически: как видно на рисунке, горизонтальная прямая $y = a$ пересекает график $y = |10 - x|$ в одной точке (при $a=0$) или в двух точках (при $a>0$), если она расположена на уровне вершины "галочки" или выше. Вершина находится в точке $(10, 0)$, поэтому пересечение есть при $a \ge 0$.

Ответ: $a \ge 0$.

2) не имеет решений

Алгебраически: если $a$ — отрицательное число ($a < 0$), то уравнение $|10 - x| = a$ не может иметь решений, так как неотрицательное значение модуля не может быть равно отрицательному числу.
Графически: если $a < 0$, прямая $y = a$ проходит ниже оси абсцисс и, следовательно, ниже всего графика $y = |10 - x|$, который целиком лежит в верхней полуплоскости. Точек пересечения нет.

Ответ: $a < 0$.

3) решение равно нулю

Чтобы одним из решений было $x = 0$, подставим это значение в исходное уравнение:
$|10 - 0| = a$
$|10| = a$
$a = 10$
При $a = 10$ уравнение $|10 - x| = 10$ имеет два решения: $x=0$ и $x=20$. Так как $x=0$ является решением, это значение $a$ нам подходит.
Графически: нам нужно найти такое $a$, чтобы прямая $y = a$ пересекала график $y = |10 - x|$ в точке с абсциссой $x=0$. Ордината этой точки равна $y = |10 - 0| = 10$. Значит, прямая должна быть $y = 10$, откуда $a=10$.

Ответ: $a = 10$.

4) решение равно 10

Чтобы решением было $x = 10$, подставим это значение в исходное уравнение:
$|10 - 10| = a$
$|0| = a$
$a = 0$
При $a = 0$ уравнение $|10 - x| = 0$ имеет единственное решение $x=10$.
Графически: нам нужно найти такое $a$, чтобы прямая $y = a$ пересекала график $y = |10 - x|$ в точке с абсциссой $x=10$. Ордината этой точки равна $y = |10 - 10| = 0$. Это вершина графика. Значит, прямая должна быть $y = 0$, откуда $a=0$.

Ответ: $a = 0$.

61. Изобразите на одной координатной прямой:

1) числовой интервал и числовой луч;

2) числовой отрезок и открытый числовой луч.

Рассмотрите все возможные случаи и для каждого случая найдите объединение и пересечение числовых промежутков.

1) Числовой интервал и числовой луч

Пусть дан числовой интервал $I = (a, b)$ и числовой луч $R$. Числовой луч может быть двух видов: $R_1 = [c, +\infty)$ или $R_2 = (-\infty, c]$. Рассмотрим все возможные случаи взаимного расположения этих промежутков.

Случай А: Интервал $(a, b)$ и луч $[c, +\infty)$

1. Промежутки не пересекаются ($b \le c$).

Интервал $(a, b)$ полностью лежит левее луча $[c, +\infty)$.

Пересечение: $(a, b) \cap [c, +\infty) = \emptyset$.

Объединение: $(a, b) \cup [c, +\infty)$.

Ответ: Пересечение: $\emptyset$, объединение: $(a, b) \cup [c, +\infty)$.

2. Промежутки частично пересекаются ($a < c < b$).

Луч $[c, +\infty)$ начинается внутри интервала $(a, b)$.

Пересечение: $(a, b) \cap [c, +\infty) = [c, b)$.

Объединение: $(a, b) \cup [c, +\infty) = (a, +\infty)$.

Ответ: Пересечение: $[c, b)$, объединение: $(a, +\infty)$.

3. Интервал является подмножеством луча ($c \le a$).

Луч $[c, +\infty)$ начинается до или в той же точке, что и интервал $(a, b)$.

Пересечение: $(a, b) \cap [c, +\infty) = (a, b)$.

Объединение: $(a, b) \cup [c, +\infty) = [c, +\infty)$.

Ответ: Пересечение: $(a, b)$, объединение: $[c, +\infty)$.

Случай Б: Интервал $(a, b)$ и луч $(-\infty, c]$

1. Промежутки не пересекаются ($c \le a$).

Интервал $(a, b)$ полностью лежит правее луча $(-\infty, c]$.

Пересечение: $(a, b) \cap (-\infty, c] = \emptyset$.

Объединение: $(a, b) \cup (-\infty, c]$.

Ответ: Пересечение: $\emptyset$, объединение: $(-\infty, c] \cup (a, b)$.

2. Промежутки частично пересекаются ($a < c < b$).

Луч $(-\infty, c]$ заканчивается внутри интервала $(a, b)$.

Пересечение: $(a, b) \cap (-\infty, c] = (a, c]$.

Объединение: $(a, b) \cup (-\infty, c] = (-\infty, b)$.

Ответ: Пересечение: $(a, c]$, объединение: $(-\infty, b)$.

3. Интервал является подмножеством луча ($b \le c$).

Луч $(-\infty, c]$ заканчивается после или в той же точке, что и интервал $(a, b)$.

Пересечение: $(a, b) \cap (-\infty, c] = (a, b)$.

Объединение: $(a, b) \cup (-\infty, c] = (-\infty, c]$.

Ответ: Пересечение: $(a, b)$, объединение: $(-\infty, c]$.

2) Числовой отрезок и открытый числовой луч

Пусть дан числовой отрезок $S = [a, b]$ и открытый числовой луч $R_o$. Открытый числовой луч может быть двух видов: $R_{o1} = (c, +\infty)$ или $R_{o2} = (-\infty, c)$. Рассмотрим все возможные случаи.

Случай А: Отрезок $[a, b]$ и открытый луч $(c, +\infty)$

1. Промежутки не пересекаются ($b \le c$).

Отрезок $[a, b]$ полностью лежит левее открытого луча $(c, +\infty)$.

Пересечение: $[a, b] \cap (c, +\infty) = \emptyset$.

Объединение: $[a, b] \cup (c, +\infty)$.

Ответ: Пересечение: $\emptyset$, объединение: $[a, b] \cup (c, +\infty)$.

2. Промежутки частично пересекаются ($a \le c < b$).

Открытый луч $(c, +\infty)$ начинается внутри отрезка $[a, b]$.

Пересечение: $[a, b] \cap (c, +\infty) = (c, b]$.

Объединение: $[a, b] \cup (c, +\infty) = [a, +\infty)$.

Ответ: Пересечение: $(c, b]$, объединение: $[a, +\infty)$.

3. Отрезок является подмножеством луча ($c < a$).

Открытый луч $(c, +\infty)$ начинается до отрезка $[a, b]$.

Пересечение: $[a, b] \cap (c, +\infty) = [a, b]$.

Объединение: $[a, b] \cup (c, +\infty) = (c, +\infty)$.

Ответ: Пересечение: $[a, b]$, объединение: $(c, +\infty)$.

Случай Б: Отрезок $[a, b]$ и открытый луч $(-\infty, c)$

1. Промежутки не пересекаются ($c \le a$).

Отрезок $[a, b]$ полностью лежит правее открытого луча $(-\infty, c)$.

Пересечение: $[a, b] \cap (-\infty, c) = \emptyset$.

Объединение: $[a, b] \cup (-\infty, c)$.

Ответ: Пересечение: $\emptyset$, объединение: $(-\infty, c) \cup [a, b]$.

2. Промежутки частично пересекаются ($a < c \le b$).

Открытый луч $(-\infty, c)$ заканчивается внутри отрезка $[a, b]$.

Пересечение: $[a, b] \cap (-\infty, c) = [a, c)$.

Объединение: $[a, b] \cup (-\infty, c) = (-\infty, b]$.

Ответ: Пересечение: $[a, c)$, объединение: $(-\infty, b]$.

3. Отрезок является подмножеством луча ($b < c$).

Открытый луч $(-\infty, c)$ заканчивается после отрезка $[a, b]$.

Пересечение: $[a, b] \cap (-\infty, c) = [a, b]$.

Объединение: $[a, b] \cup (-\infty, c) = (-\infty, c)$.

Ответ: Пересечение: $[a, b]$, объединение: $(-\infty, c)$.

62. Перечислите все натуральные числа, принадлежащие пересечению числовых промежутков:

1) $(1; 8)$ и $(-5; 7]$;

2) $[-2; 3]$ и $(-1; 5)$;

3) $(-\infty; 6]$ и $[4; +\infty)$;

4) $(-10; -2]$ и $[-7; 1)$.

Для решения задачи необходимо для каждой пары числовых промежутков найти их пересечение, а затем из полученного промежутка-пересечения выбрать все натуральные числа. Натуральные числа — это целые положительные числа $ (1, 2, 3, \dots) $.

1) (1; 8) и (-5; 7]

Найдём пересечение данных промежутков: $ (1; 8) \cap (-5; 7] $.
Первый промежуток $ (1; 8) $ включает все числа, строго большие 1 и строго меньшие 8.
Второй промежуток $ (-5; 7] $ включает все числа, строго большие -5 и меньшие или равные 7.
Пересечением будет промежуток, левая граница которого равна максимуму из левых границ $ (\max(1, -5) = 1) $, а правая — минимуму из правых границ $ (\min(8, 7) = 7) $.
Так как 1 не входит в первый промежуток, а 7 входит во второй, итоговый промежуток будет $ (1; 7] $.
Изобразим это на числовой оси:

Натуральные числа, принадлежащие промежутку $ (1; 7] $, — это целые положительные числа, которые строго больше 1 и меньше либо равны 7. Это числа: 2, 3, 4, 5, 6, 7.
Ответ: 2, 3, 4, 5, 6, 7.

2) [-2; 3] и (-1; 5)

Найдём пересечение промежутков: $ [-2; 3] \cap (-1; 5) $.
Первый промежуток $ [-2; 3] $ включает все числа от -2 до 3 включительно.
Второй промежуток $ (-1; 5) $ включает все числа строго между -1 и 5.
Пересечение: левая граница $ \max(-2, -1) = -1 $, правая граница $ \min(3, 5) = 3 $.
Так как -1 не входит во второй промежуток, а 3 входит в первый, итоговый промежуток будет $ (-1; 3] $.
Изобразим это на числовой оси:

Натуральные числа, принадлежащие промежутку $ (-1; 3] $, — это целые положительные числа, которые строго больше -1 и меньше либо равны 3. Это числа: 1, 2, 3.
Ответ: 1, 2, 3.

3) (-∞; 6] и [4; +∞)

Найдём пересечение промежутков: $ (-\infty; 6] \cap [4; +\infty) $.
Первый промежуток $ (-\infty; 6] $ включает все числа, меньшие или равные 6.
Второй промежуток $ [4; +\infty) $ включает все числа, большие или равные 4.
Пересечением будут числа, которые одновременно $ \le 6 $ и $ \ge 4 $. Итоговый промежуток: $ [4; 6] $.
Изобразим это на числовой оси:

Натуральные числа, принадлежащие промежутку $ [4; 6] $, — это целые положительные числа от 4 до 6 включительно. Это числа: 4, 5, 6.
Ответ: 4, 5, 6.

4) (-10; -2] и [-7; 1)

Найдём пересечение промежутков: $ (-10; -2] \cap [-7; 1) $.
Первый промежуток $ (-10; -2] $ включает все числа строго больше -10 и меньше или равные -2.
Второй промежуток $ [-7; 1) $ включает все числа большие или равные -7 и строго меньшие 1.
Пересечение: левая граница $ \max(-10, -7) = -7 $, правая граница $ \min(-2, 1) = -2 $.
Так как -7 входит во второй промежуток, а -2 входит в первый, итоговый промежуток будет $ [-7; -2] $.
Изобразим это на числовой оси:

Промежуток-пересечение $ [-7; -2] $ состоит из отрицательных чисел. Натуральные числа являются положительными, поэтому в данном промежутке нет натуральных чисел.
Ответ: нет натуральных чисел.

63. Найдите наибольшее (наименьшее) натуральное число, принадлежащее пересечению числовых промежутков:

1) $(-10; 6)$ и $(1; +\infty)$;

2) $[5; 29]$ и $[20; +\infty)$;

3) $(-3; 13]$ и $[-4; +\infty)$;

4) $(21; +\infty)$ и $(-20; 21]$.

1) $(-10; 6)$ и $(1; +\infty)$

Для нахождения пересечения промежутков $(-10; 6)$ и $(1; +\infty)$, нужно найти множество всех чисел $x$, удовлетворяющих одновременно двум условиям: $-10 < x < 6$ и $x > 1$. Объединив эти неравенства, получаем $1 < x < 6$. Таким образом, пересечением является интервал $(1; 6)$.

Натуральные числа — это целые положительные числа $\{1, 2, 3, \ldots\}$. Натуральные числа, принадлежащие интервалу $(1; 6)$, — это $\{2, 3, 4, 5\}$. В этом множестве есть как наименьшее значение (2), так и наибольшее (5). Согласно формулировке "найдите наибольшее (наименьшее)", мы отдаем приоритет нахождению наибольшего числа, если оно существует.

Ответ: Наибольшее натуральное число — 5.

2) $[5; 29]$ и $[20; +\infty)$

Найдем пересечение промежутков $[5; 29]$ и $[20; +\infty)$. Это множество всех чисел $x$, для которых выполняются условия $5 \le x \le 29$ и $x \ge 20$. Объединяя неравенства, получаем $20 \le x \le 29$. Пересечением является отрезок $[20; 29]$.

Натуральные числа, принадлежащие отрезку $[20; 29]$, — это все целые числа от 20 до 29 включительно: $\{20, 21, \ldots, 29\}$. В этом множестве наименьшее число — 20, а наибольшее — 29. Так как наибольшее число существует, мы находим его.

Ответ: Наибольшее натуральное число — 29.

3) $(-3; 13]$ и $[-4; +\infty)$

Найдем пересечение промежутков $(-3; 13]$ и $[-4; +\infty)$. Искомые числа $x$ должны удовлетворять условиям $-3 < x \le 13$ и $x \ge -4$. Общее решение этих неравенств: $-3 < x \le 13$. Пересечением является полуинтервал $(-3; 13]$.

Натуральные числа, принадлежащие полуинтервалу $(-3; 13]$, — это $\{1, 2, 3, \ldots, 13\}$. В этом множестве наименьшее число — 1, а наибольшее — 13. Находим наибольшее.

Ответ: Наибольшее натуральное число — 13.

4) $(21; +\infty)$ и $(-20; 21]$

Найдем пересечение промежутков $(21; +\infty)$ и $(-20; 21]$. Пересечение состоит из чисел $x$, для которых одновременно верны неравенства $x > 21$ и $-20 < x \le 21$. Не существует числа, которое одновременно строго больше 21 и меньше либо равно 21. Следовательно, пересечение этих промежутков является пустым множеством ($ \emptyset $).

Поскольку пересечение не содержит ни одного элемента, в нем нет и натуральных чисел.

Ответ: В пересечении нет натуральных чисел.

64. Найдите наибольшее (наименьшее) целое число, принадлежащее пересечению числовых промежутков:

1) $[3,5; 7,1]$ и $(1; +4,9)$

2) $(-\infty; $\frac{3}{7}$]$ и $[$-\frac{8}{9}$; +\infty)$

3) $(-\infty; +\infty)$ и $[$-7\frac{1}{3}$; 8\frac{1}{3}$]$

4) $(-5,1; 9,1)$ и $(-\infty; +\infty)$

1) Найдём пересечение числовых промежутков $[3,5; 7,1]$ и $(1; 4,9)$. Пересечение — это множество чисел, которые принадлежат обоим промежуткам. Левая граница пересечения равна наибольшей из левых границ: $\max(3,5; 1) = 3,5$. Правая граница равна наименьшей из правых границ: $\min(7,1; 4,9) = 4,9$. С учётом вида скобок (включающая у $3,5$ и исключающая у $4,9$), получаем промежуток $[3,5; 4,9)$. Подразумевается, что для нечётных номеров пунктов требуется найти наибольшее целое число. Ищем целые числа $x$, удовлетворяющие неравенству $3,5 \le x < 4,9$. Единственное такое целое число — 4. Оно и является наибольшим. Ответ: 4

2) Найдём пересечение числовых промежутков $(-\infty; \frac{3}{7}]$ и $[-\frac{8}{9}; +\infty)$. Пересечение этих промежутков — это множество чисел $x$, для которых одновременно выполняются неравенства $x \le \frac{3}{7}$ и $x \ge -\frac{8}{9}$. Это равносильно отрезку $[-\frac{8}{9}; \frac{3}{7}]$. Подразумевается, что для чётных номеров пунктов требуется найти наименьшее целое число. Для этого оценим границы в виде десятичных дробей: $-\frac{8}{9} \approx -0,88...$ и $\frac{3}{7} \approx 0,42...$. Ищем целые числа $x$, удовлетворяющие неравенству $-\frac{8}{9} \le x \le \frac{3}{7}$. Единственное такое целое число — 0. Оно является наименьшим. Ответ: 0

3) Найдём пересечение числовых промежутков $(-\infty; +\infty)$ и $[-7\frac{1}{3}; 8\frac{1}{3}]$. Пересечение любого множества с множеством всех действительных чисел $(-\infty; +\infty)$ равно самому этому множеству. Таким образом, пересечение есть отрезок $[-7\frac{1}{3}; 8\frac{1}{3}]$. Для нечётного номера пункта требуется найти наибольшее целое число. Оценим границы: $-7\frac{1}{3} \approx -7,33...$ и $8\frac{1}{3} \approx 8,33...$. Ищем целые числа $x$, удовлетворяющие неравенству $-7\frac{1}{3} \le x \le 8\frac{1}{3}$. Целыми числами в этом промежутке являются: -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Наибольшее среди них — 8. Ответ: 8

4) Найдём пересечение числовых промежутков $(-5,1; 9,1)$ и $(-\infty; +\infty)$. Пересечение равно первому промежутку, то есть $(-5,1; 9,1)$, так как второй промежуток — это вся числовая прямая. Для чётного номера пункта требуется найти наименьшее целое число. Ищем целые числа $x$, удовлетворяющие строгому неравенству $-5,1 < x < 9,1$. Целыми числами в этом промежутке являются: -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Наименьшее среди них — -5. Ответ: -5

65. Найдите наименьшее натуральное число, являющееся решением неравенства:

1) $10 + 7x > 24;$

2) $19 - 6x < -5;$

3) $-43x + 2 \le 45;$

4) $60 + 17x > -19;$

5) $83 + x < 84x;$

6) $-7 - 30x \le 5x.$

1) Решим неравенство $10 + 7x > 24$. Перенесем 10 в правую часть, изменив знак: $7x > 24 - 10$. Упростим правую часть: $7x > 14$. Разделим обе части неравенства на 7: $x > \frac{14}{7}$, откуда получаем $x > 2$. Наименьшее натуральное число, которое больше 2, это 3.
Ответ: 3

2) Решим неравенство $19 - 6x < -5$. Перенесем 19 в правую часть: $-6x < -5 - 19$. Упростим: $-6x < -24$. Разделим обе части на -6. Важно помнить, что при делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный: $x > \frac{-24}{-6}$, откуда $x > 4$. Наименьшее натуральное число, которое больше 4, это 5.
Ответ: 5

3) Решим неравенство $-43x + 2 \le 45$. Перенесем 2 в правую часть: $-43x \le 45 - 2$. Упростим: $-43x \le 43$. Разделим обе части на -43, изменив знак неравенства на противоположный: $x \ge \frac{43}{-43}$, откуда $x \ge -1$. Натуральные числа — это 1, 2, 3, ... . Наименьшее натуральное число, удовлетворяющее условию $x \ge -1$, это 1.
Ответ: 1

4) Решим неравенство $60 + 17x > -19$. Перенесем 60 в правую часть: $17x > -19 - 60$. Упростим: $17x > -79$. Разделим обе части на 17: $x > -\frac{79}{17}$. Поскольку $-\frac{79}{17} \approx -4.647$, то $x$ должен быть больше этого числа. Наименьшее натуральное число, которое удовлетворяет этому условию, это 1.
Ответ: 1

5) Решим неравенство $83 + x < 84x$. Перенесем слагаемые с переменной $x$ в одну часть, а свободные члены в другую: $83 < 84x - x$. Упростим правую часть: $83 < 83x$. Разделим обе части неравенства на 83: $\frac{83}{83} < x$, откуда $1 < x$. Наименьшее натуральное число, которое строго больше 1, это 2.
Ответ: 2

6) Решим неравенство $-7 - 30x \le 5x$. Перенесем $-30x$ в правую часть: $-7 \le 5x + 30x$. Упростим: $-7 \le 35x$. Разделим обе части на 35: $\frac{-7}{35} \le x$. Сократим дробь: $-\frac{1}{5} \le x$, или $x \ge -0.2$. Наименьшее натуральное число, которое больше или равно -0.2, это 1.
Ответ: 1

Найдите наибольшее целое число, являющееся решением неравенства (66–68):

66. 1) $0.5x + 41.5 \le 42;$

2) $90 - \frac{1}{3}x > 91;$

3) $\frac{2}{3}x - 15 < 20;$

4) $18\frac{1}{9} \ge 0.2x + 18;$

5) $31 - 4\frac{1}{7}x > 2;$

6) $30.08 < -\frac{8}{9}x - 1.92.$

1) Решим неравенство $0,5x + 41,5 \le 42$.
Вычтем 41,5 из обеих частей неравенства:
$0,5x \le 42 - 41,5$
$0,5x \le 0,5$
Разделим обе части на 0,5 (знак неравенства не меняется, так как 0,5 > 0):
$x \le 1$
Решением являются все числа, не превышающие 1. Наибольшее целое число из этого множества — это 1.
Ответ: 1

2) Решим неравенство $90 - \frac{1}{3}x > 91$.
Вычтем 90 из обеих частей:
$-\frac{1}{3}x > 91 - 90$
$-\frac{1}{3}x > 1$
Умножим обе части на -3 и сменим знак неравенства на противоположный (так как умножаем на отрицательное число):
$x < 1 \cdot (-3)$
$x < -3$
Решением являются все числа, строго меньшие -3. Наибольшее целое число, удовлетворяющее этому условию, — это -4.
Ответ: -4

3) Решим неравенство $\frac{2}{3}x - 15 < 20$.
Прибавим 15 к обеим частям:
$\frac{2}{3}x < 20 + 15$
$\frac{2}{3}x < 35$
Умножим обе части на $\frac{3}{2}$ (знак неравенства не меняется):
$x < 35 \cdot \frac{3}{2}$
$x < \frac{105}{2}$
$x < 52,5$
Решением являются все числа, меньшие 52,5. Наибольшее целое число, удовлетворяющее этому условию, — это 52.
Ответ: 52

4) Решим неравенство $18\frac{1}{9} \ge 0,2x + 18$.
Вычтем 18 из обеих частей:
$18\frac{1}{9} - 18 \ge 0,2x$
$\frac{1}{9} \ge 0,2x$
Представим 0,2 в виде дроби: $0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.
$\frac{1}{9} \ge \frac{1}{5}x$
Умножим обе части на 5 (знак неравенства не меняется):
$5 \cdot \frac{1}{9} \ge x$
$x \le \frac{5}{9}$
Так как $0 < \frac{5}{9} < 1$, наибольшим целым числом, удовлетворяющим этому условию, является 0.
Ответ: 0

5) Решим неравенство $31 - 4\frac{1}{7}x > 2$.
Представим $4\frac{1}{7}$ в виде неправильной дроби: $4\frac{1}{7} = \frac{29}{7}$.
$31 - \frac{29}{7}x > 2$
Вычтем 31 из обеих частей:
$-\frac{29}{7}x > 2 - 31$
$-\frac{29}{7}x > -29$
Умножим обе части на $-\frac{7}{29}$ и сменим знак неравенства на противоположный:
$x < -29 \cdot (-\frac{7}{29})$
$x < 7$
Решением являются все числа, строго меньшие 7. Наибольшее целое число, удовлетворяющее этому условию, — это 6.
Ответ: 6

6) Решим неравенство $30,08 < -\frac{8}{9}x - 1,92$.
Прибавим 1,92 к обеим частям:
$30,08 + 1,92 < -\frac{8}{9}x$
$32 < -\frac{8}{9}x$
Умножим обе части на $-\frac{9}{8}$ и сменим знак неравенства на противоположный:
$32 \cdot (-\frac{9}{8}) > x$
$-36 > x$
$x < -36$
Решением являются все числа, строго меньшие -36. Наибольшее целое число, удовлетворяющее этому условию, — это -37.
Ответ: -37

67. 1) $-4y + 10 \ge 2(1-y) + 24;$

2) $49 - 3(3-2z) \le 1 - 4z;$

3) $7(6-5t) - 5 < 1 - 41t;$

4) $-0,5(8x + 9)-0,9>4x-3.$

1) $-4y + 10 \geq 2(1-y) + 24$
Сначала раскроем скобки в правой части неравенства:
$-4y + 10 \geq 2 \cdot 1 - 2 \cdot y + 24$
$-4y + 10 \geq 2 - 2y + 24$
Теперь приведем подобные слагаемые в правой части:
$-4y + 10 \geq 26 - 2y$
Перенесем все слагаемые с переменной $y$ в левую часть, а свободные члены — в правую. При переносе слагаемых из одной части в другую их знаки меняются на противоположные:
$-4y + 2y \geq 26 - 10$
Приведем подобные слагаемые в обеих частях:
$-2y \geq 16$
Разделим обе части неравенства на $-2$. Важно помнить, что при делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный ($\geq$ на $\leq$):
$y \leq \frac{16}{-2}$
$y \leq -8$
Ответ: $y \in (-\infty, -8]$

2) $49 - 3(3 - 2z) \leq 1 - 4z$
Раскроем скобки в левой части неравенства:
$49 - 3 \cdot 3 - 3 \cdot (-2z) \leq 1 - 4z$
$49 - 9 + 6z \leq 1 - 4z$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$40 + 6z \leq 1 - 4z$
Перенесем слагаемые с переменной $z$ в левую часть, а свободные члены — в правую:
$6z + 4z \leq 1 - 40$
Приведем подобные слагаемые:
$10z \leq -39$
Разделим обе части на $10$. Так как $10$ — положительное число, знак неравенства не меняется:
$z \leq -\frac{39}{10}$
$z \leq -3.9$
Ответ: $z \in (-\infty, -3.9]$

3) $7(6 - 5t) - 5 < 1 - 41t$
Раскроем скобки в левой части:
$7 \cdot 6 - 7 \cdot 5t - 5 < 1 - 41t$
$42 - 35t - 5 < 1 - 41t$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$37 - 35t < 1 - 41t$
Перенесем слагаемые с переменной $t$ в левую часть, а свободные члены — в правую:
$-35t + 41t < 1 - 37$
Приведем подобные слагаемые:
$6t < -36$
Разделим обе части на $6$. Знак неравенства не меняется:
$t < \frac{-36}{6}$
$t < -6$
Ответ: $t \in (-\infty, -6)$

4) $-0.5(8x + 9) - 0.9 > 4x - 3$
Раскроем скобки в левой части:
$-0.5 \cdot 8x - 0.5 \cdot 9 - 0.9 > 4x - 3$
$-4x - 4.5 - 0.9 > 4x - 3$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$-4x - 5.4 > 4x - 3$
Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:
$-4x - 4x > -3 + 5.4$
Приведем подобные слагаемые:
$-8x > 2.4$
Разделим обе части на $-8$. Так как мы делим на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный ($>$ на $<$):
$x < \frac{2.4}{-8}$
$x < -0.3$
Ответ: $x \in (-\infty, -0.3)$