Номер 60, страница 20 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

60. При каких значениях $a$ уравнение $|10 - x| = a$:

1) имеет решения;

2) не имеет решений;

3) решение равно нулю;

4) решение равно 10?

Для решения задачи рассмотрим уравнение $|10 - x| = a$. Мы можем проанализировать его как алгебраически, так и графически.

Графический метод заключается в том, чтобы найти точки пересечения графиков двух функций: $y = |10 - x|$ и $y = a$.

• График $y = |10 - x|$ — это "галочка", полученная из графика $y = |x|$ смещением на 10 единиц вправо. Её вершина находится в точке $(10, 0)$.
• График $y = a$ — это горизонтальная прямая, параллельная оси абсцисс.

Количество решений уравнения соответствует количеству точек пересечения этих двух графиков.

1) имеет решения

Алгебраически: левая часть уравнения, $|10 - x|$, по определению модуля, всегда неотрицательна, то есть $|10 - x| \ge 0$. Чтобы равенство было возможным, правая часть, $a$, также должна быть неотрицательной. Следовательно, уравнение имеет решения при $a \ge 0$.
Графически: как видно на рисунке, горизонтальная прямая $y = a$ пересекает график $y = |10 - x|$ в одной точке (при $a=0$) или в двух точках (при $a>0$), если она расположена на уровне вершины "галочки" или выше. Вершина находится в точке $(10, 0)$, поэтому пересечение есть при $a \ge 0$.

Ответ: $a \ge 0$.

2) не имеет решений

Алгебраически: если $a$ — отрицательное число ($a < 0$), то уравнение $|10 - x| = a$ не может иметь решений, так как неотрицательное значение модуля не может быть равно отрицательному числу.
Графически: если $a < 0$, прямая $y = a$ проходит ниже оси абсцисс и, следовательно, ниже всего графика $y = |10 - x|$, который целиком лежит в верхней полуплоскости. Точек пересечения нет.

Ответ: $a < 0$.

3) решение равно нулю

Чтобы одним из решений было $x = 0$, подставим это значение в исходное уравнение:
$|10 - 0| = a$
$|10| = a$
$a = 10$
При $a = 10$ уравнение $|10 - x| = 10$ имеет два решения: $x=0$ и $x=20$. Так как $x=0$ является решением, это значение $a$ нам подходит.
Графически: нам нужно найти такое $a$, чтобы прямая $y = a$ пересекала график $y = |10 - x|$ в точке с абсциссой $x=0$. Ордината этой точки равна $y = |10 - 0| = 10$. Значит, прямая должна быть $y = 10$, откуда $a=10$.

Ответ: $a = 10$.

4) решение равно 10

Чтобы решением было $x = 10$, подставим это значение в исходное уравнение:
$|10 - 10| = a$
$|0| = a$
$a = 0$
При $a = 0$ уравнение $|10 - x| = 0$ имеет единственное решение $x=10$.
Графически: нам нужно найти такое $a$, чтобы прямая $y = a$ пересекала график $y = |10 - x|$ в точке с абсциссой $x=10$. Ордината этой точки равна $y = |10 - 10| = 0$. Это вершина графика. Значит, прямая должна быть $y = 0$, откуда $a=0$.

Ответ: $a = 0$.