Номер 61, страница 20 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

61. Изобразите на одной координатной прямой:

1) числовой интервал и числовой луч;

2) числовой отрезок и открытый числовой луч.

Рассмотрите все возможные случаи и для каждого случая найдите объединение и пересечение числовых промежутков.

1) Числовой интервал и числовой луч

Пусть дан числовой интервал $I = (a, b)$ и числовой луч $R$. Числовой луч может быть двух видов: $R_1 = [c, +\infty)$ или $R_2 = (-\infty, c]$. Рассмотрим все возможные случаи взаимного расположения этих промежутков.

Случай А: Интервал $(a, b)$ и луч $[c, +\infty)$

1. Промежутки не пересекаются ($b \le c$).

Интервал $(a, b)$ полностью лежит левее луча $[c, +\infty)$.

Пересечение: $(a, b) \cap [c, +\infty) = \emptyset$.

Объединение: $(a, b) \cup [c, +\infty)$.

Ответ: Пересечение: $\emptyset$, объединение: $(a, b) \cup [c, +\infty)$.

2. Промежутки частично пересекаются ($a < c < b$).

Луч $[c, +\infty)$ начинается внутри интервала $(a, b)$.

Пересечение: $(a, b) \cap [c, +\infty) = [c, b)$.

Объединение: $(a, b) \cup [c, +\infty) = (a, +\infty)$.

Ответ: Пересечение: $[c, b)$, объединение: $(a, +\infty)$.

3. Интервал является подмножеством луча ($c \le a$).

Луч $[c, +\infty)$ начинается до или в той же точке, что и интервал $(a, b)$.

Пересечение: $(a, b) \cap [c, +\infty) = (a, b)$.

Объединение: $(a, b) \cup [c, +\infty) = [c, +\infty)$.

Ответ: Пересечение: $(a, b)$, объединение: $[c, +\infty)$.

Случай Б: Интервал $(a, b)$ и луч $(-\infty, c]$

1. Промежутки не пересекаются ($c \le a$).

Интервал $(a, b)$ полностью лежит правее луча $(-\infty, c]$.

Пересечение: $(a, b) \cap (-\infty, c] = \emptyset$.

Объединение: $(a, b) \cup (-\infty, c]$.

Ответ: Пересечение: $\emptyset$, объединение: $(-\infty, c] \cup (a, b)$.

2. Промежутки частично пересекаются ($a < c < b$).

Луч $(-\infty, c]$ заканчивается внутри интервала $(a, b)$.

Пересечение: $(a, b) \cap (-\infty, c] = (a, c]$.

Объединение: $(a, b) \cup (-\infty, c] = (-\infty, b)$.

Ответ: Пересечение: $(a, c]$, объединение: $(-\infty, b)$.

3. Интервал является подмножеством луча ($b \le c$).

Луч $(-\infty, c]$ заканчивается после или в той же точке, что и интервал $(a, b)$.

Пересечение: $(a, b) \cap (-\infty, c] = (a, b)$.

Объединение: $(a, b) \cup (-\infty, c] = (-\infty, c]$.

Ответ: Пересечение: $(a, b)$, объединение: $(-\infty, c]$.

2) Числовой отрезок и открытый числовой луч

Пусть дан числовой отрезок $S = [a, b]$ и открытый числовой луч $R_o$. Открытый числовой луч может быть двух видов: $R_{o1} = (c, +\infty)$ или $R_{o2} = (-\infty, c)$. Рассмотрим все возможные случаи.

Случай А: Отрезок $[a, b]$ и открытый луч $(c, +\infty)$

1. Промежутки не пересекаются ($b \le c$).

Отрезок $[a, b]$ полностью лежит левее открытого луча $(c, +\infty)$.

Пересечение: $[a, b] \cap (c, +\infty) = \emptyset$.

Объединение: $[a, b] \cup (c, +\infty)$.

Ответ: Пересечение: $\emptyset$, объединение: $[a, b] \cup (c, +\infty)$.

2. Промежутки частично пересекаются ($a \le c < b$).

Открытый луч $(c, +\infty)$ начинается внутри отрезка $[a, b]$.

Пересечение: $[a, b] \cap (c, +\infty) = (c, b]$.

Объединение: $[a, b] \cup (c, +\infty) = [a, +\infty)$.

Ответ: Пересечение: $(c, b]$, объединение: $[a, +\infty)$.

3. Отрезок является подмножеством луча ($c < a$).

Открытый луч $(c, +\infty)$ начинается до отрезка $[a, b]$.

Пересечение: $[a, b] \cap (c, +\infty) = [a, b]$.

Объединение: $[a, b] \cup (c, +\infty) = (c, +\infty)$.

Ответ: Пересечение: $[a, b]$, объединение: $(c, +\infty)$.

Случай Б: Отрезок $[a, b]$ и открытый луч $(-\infty, c)$

1. Промежутки не пересекаются ($c \le a$).

Отрезок $[a, b]$ полностью лежит правее открытого луча $(-\infty, c)$.

Пересечение: $[a, b] \cap (-\infty, c) = \emptyset$.

Объединение: $[a, b] \cup (-\infty, c)$.

Ответ: Пересечение: $\emptyset$, объединение: $(-\infty, c) \cup [a, b]$.

2. Промежутки частично пересекаются ($a < c \le b$).

Открытый луч $(-\infty, c)$ заканчивается внутри отрезка $[a, b]$.

Пересечение: $[a, b] \cap (-\infty, c) = [a, c)$.

Объединение: $[a, b] \cup (-\infty, c) = (-\infty, b]$.

Ответ: Пересечение: $[a, c)$, объединение: $(-\infty, b]$.

3. Отрезок является подмножеством луча ($b < c$).

Открытый луч $(-\infty, c)$ заканчивается после отрезка $[a, b]$.

Пересечение: $[a, b] \cap (-\infty, c) = [a, b]$.

Объединение: $[a, b] \cup (-\infty, c) = (-\infty, c)$.

Ответ: Пересечение: $[a, b]$, объединение: $(-\infty, c)$.