Номер 64, страница 20 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

64. Найдите наибольшее (наименьшее) целое число, принадлежащее пересечению числовых промежутков:

1) $[3,5; 7,1]$ и $(1; +4,9)$

2) $(-\infty; $\frac{3}{7}$]$ и $[$-\frac{8}{9}$; +\infty)$

3) $(-\infty; +\infty)$ и $[$-7\frac{1}{3}$; 8\frac{1}{3}$]$

4) $(-5,1; 9,1)$ и $(-\infty; +\infty)$

1) Найдём пересечение числовых промежутков $[3,5; 7,1]$ и $(1; 4,9)$. Пересечение — это множество чисел, которые принадлежат обоим промежуткам. Левая граница пересечения равна наибольшей из левых границ: $\max(3,5; 1) = 3,5$. Правая граница равна наименьшей из правых границ: $\min(7,1; 4,9) = 4,9$. С учётом вида скобок (включающая у $3,5$ и исключающая у $4,9$), получаем промежуток $[3,5; 4,9)$. Подразумевается, что для нечётных номеров пунктов требуется найти наибольшее целое число. Ищем целые числа $x$, удовлетворяющие неравенству $3,5 \le x < 4,9$. Единственное такое целое число — 4. Оно и является наибольшим. Ответ: 4

2) Найдём пересечение числовых промежутков $(-\infty; \frac{3}{7}]$ и $[-\frac{8}{9}; +\infty)$. Пересечение этих промежутков — это множество чисел $x$, для которых одновременно выполняются неравенства $x \le \frac{3}{7}$ и $x \ge -\frac{8}{9}$. Это равносильно отрезку $[-\frac{8}{9}; \frac{3}{7}]$. Подразумевается, что для чётных номеров пунктов требуется найти наименьшее целое число. Для этого оценим границы в виде десятичных дробей: $-\frac{8}{9} \approx -0,88...$ и $\frac{3}{7} \approx 0,42...$. Ищем целые числа $x$, удовлетворяющие неравенству $-\frac{8}{9} \le x \le \frac{3}{7}$. Единственное такое целое число — 0. Оно является наименьшим. Ответ: 0

3) Найдём пересечение числовых промежутков $(-\infty; +\infty)$ и $[-7\frac{1}{3}; 8\frac{1}{3}]$. Пересечение любого множества с множеством всех действительных чисел $(-\infty; +\infty)$ равно самому этому множеству. Таким образом, пересечение есть отрезок $[-7\frac{1}{3}; 8\frac{1}{3}]$. Для нечётного номера пункта требуется найти наибольшее целое число. Оценим границы: $-7\frac{1}{3} \approx -7,33...$ и $8\frac{1}{3} \approx 8,33...$. Ищем целые числа $x$, удовлетворяющие неравенству $-7\frac{1}{3} \le x \le 8\frac{1}{3}$. Целыми числами в этом промежутке являются: -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Наибольшее среди них — 8. Ответ: 8

4) Найдём пересечение числовых промежутков $(-5,1; 9,1)$ и $(-\infty; +\infty)$. Пересечение равно первому промежутку, то есть $(-5,1; 9,1)$, так как второй промежуток — это вся числовая прямая. Для чётного номера пункта требуется найти наименьшее целое число. Ищем целые числа $x$, удовлетворяющие строгому неравенству $-5,1 < x < 9,1$. Целыми числами в этом промежутке являются: -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Наименьшее среди них — -5. Ответ: -5