Страница 22 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

74. 1) $ \begin{cases} 3x+5(x-2) \le 3-2x; \\ 4(5x-1)-21x \ge 1-3x; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} 7-11x < 9x-2(5x+7), \\ 6-x \ge 2(1-4x)-3(1-3x). \end{cases} $

3) $ \begin{cases} 5(6x-5) < 3(4x+3)+2, \\ 2(6x-1)-12+9x > 5(8x+1); \end{cases} $

4) $ \begin{cases} 3(2x+13)-2(x+2) > 10x-4, \\ 3(4x+9)-2(x-1) < 16x+2. \end{cases} $

1) Решим систему неравенств $ \begin{cases} 3x + 5(x-2) \le 3-2x \\ 4(5x-1) - 21x \ge 1-3x \end{cases} $. Сначала решим первое неравенство. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: $3x + 5x - 10 \le 3-2x$ $8x - 10 \le 3-2x$ Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую: $8x + 2x \le 3 + 10$ $10x \le 13$ $x \le 1.3$ Теперь решим второе неравенство: $4(5x-1) - 21x \ge 1-3x$ $20x - 4 - 21x \ge 1-3x$ $-x - 4 \ge 1-3x$ Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую: $-x + 3x \ge 1 + 4$ $2x \ge 5$ $x \ge 2.5$ Мы получили систему $ \begin{cases} x \le 1.3 \\ x \ge 2.5 \end{cases} $. Пересечение множеств решений этих неравенств пусто, так как не существует такого значения $x$, которое было бы одновременно меньше или равно $1.3$ и больше или равно $2.5$. Ответ: решений нет.

2) Решим систему неравенств $ \begin{cases} 7-11x < 9x-2(5x+7) \\ 6-x \ge 2(1-4x)-3(1-3x) \end{cases} $. Решим первое неравенство: $7-11x < 9x-10x-14$ $7-11x < -x-14$ $-11x + x < -14-7$ $-10x < -21$ При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный: $x > 2.1$ Решим второе неравенство: $6-x \ge 2-8x-3+9x$ $6-x \ge x-1$ $-x-x \ge -1-6$ $-2x \ge -7$ $x \le 3.5$ Мы получили систему $ \begin{cases} x > 2.1 \\ x \le 3.5 \end{cases} $. Решением системы является пересечение этих промежутков. Ответ: $(2.1; 3.5]$.

3) Решим систему неравенств $ \begin{cases} 5(6x-5) < 3(4x+3)+2 \\ 2(6x-1)-12+9x > 5(8x+1) \end{cases} $. Решим первое неравенство: $30x - 25 < 12x + 9 + 2$ $30x - 25 < 12x + 11$ $30x - 12x < 11 + 25$ $18x < 36$ $x < 2$ Решим второе неравенство: $12x - 2 - 12 + 9x > 40x + 5$ $21x - 14 > 40x + 5$ $21x - 40x > 5 + 14$ $-19x > 19$ При делении на -19 знак неравенства меняется: $x < -1$ Мы получили систему $ \begin{cases} x < 2 \\ x < -1 \end{cases} $. Пересечением этих двух множеств является множество $x < -1$. Ответ: $(-\infty; -1)$.

4) Решим систему неравенств $ \begin{cases} 3(2x+13)-2(x+2) > 10x-4 \\ 3(4x+9)-2(x-1) < 16x+2 \end{cases} $. Решим первое неравенство: $6x + 39 - 2x - 4 > 10x - 4$ $4x + 35 > 10x - 4$ $35 + 4 > 10x - 4x$ $39 > 6x$ $x < \frac{39}{6}$ $x < 6.5$ Решим второе неравенство: $12x + 27 - 2x + 2 < 16x + 2$ $10x + 29 < 16x + 2$ $29 - 2 < 16x - 10x$ $27 < 6x$ $x > \frac{27}{6}$ $x > 4.5$ Мы получили систему $ \begin{cases} x < 6.5 \\ x > 4.5 \end{cases} $. Решением является интервал, где оба неравенства выполняются. Ответ: $(4.5; 6.5)$.

75. Найдите все целые числа, являющиеся решениями системы неравенств:

1)

$$\begin{cases} x - 1 > \frac{2x - 0,5}{3}, \\ \frac{7x + 12}{8} \ge x + 1; \end{cases}$$

2)

$$\begin{cases} \frac{9x - 13}{8} > x - 2, \\ 1 + x > \frac{10x + 6}{9}. \end{cases}$$

1) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} x - 1 > \frac{2x - 0.5}{3} \\ \frac{7x + 12}{8} \ge x + 1 \end{cases} $

Сначала решим первое неравенство:

$x - 1 > \frac{2x - 0.5}{3}$

Умножим обе части неравенства на 3, чтобы избавиться от знаменателя:

$3(x - 1) > 2x - 0.5$

$3x - 3 > 2x - 0.5$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числовые значения в правую:

$3x - 2x > 3 - 0.5$

$x > 2.5$

Теперь решим второе неравенство:

$\frac{7x + 12}{8} \ge x + 1$

Умножим обе части неравенства на 8:

$7x + 12 \ge 8(x + 1)$

$7x + 12 \ge 8x + 8$

Перенесем слагаемые с $x$ в правую часть, а числовые значения в левую:

$12 - 8 \ge 8x - 7x$

$4 \ge x$, что равносильно $x \le 4$

Мы получили два условия для $x$: $x > 2.5$ и $x \le 4$. Решением системы является пересечение этих двух множеств, то есть интервал $x \in (2.5; 4]$.

Изобразим решение на числовой оси:

Нам нужно найти все целые числа, которые удовлетворяют этому условию. Это числа, которые больше 2.5 и меньше или равны 4. Такими числами являются 3 и 4.

Ответ: 3; 4.

2) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} \frac{9x - 13}{8} > x - 2 \\ 1 + x > \frac{10x + 6}{9} \end{cases} $

Сначала решим первое неравенство:

$\frac{9x - 13}{8} > x - 2$

Умножим обе части на 8:

$9x - 13 > 8(x - 2)$

$9x - 13 > 8x - 16$

$9x - 8x > 13 - 16$

$x > -3$

Теперь решим второе неравенство:

$1 + x > \frac{10x + 6}{9}$

Умножим обе части на 9:

$9(1 + x) > 10x + 6$

$9 + 9x > 10x + 6$

$9 - 6 > 10x - 9x$

$3 > x$, что равносильно $x < 3$

Мы получили два условия для $x$: $x > -3$ и $x < 3$. Решением системы является пересечение этих множеств, то есть интервал $x \in (-3; 3)$.

Изобразим решение на числовой оси:

Нам нужно найти все целые числа, которые удовлетворяют этому условию. Это числа, которые строго больше -3 и строго меньше 3. Такими числами являются -2, -1, 0, 1, 2.

Ответ: -2; -1; 0; 1; 2.

76. Найдите все натуральные числа, являющиеся решениями системы неравенств:

1) $\begin{cases} \frac{7,4x + 23}{21} \le 1 + 0,4x \\ 3x - 5 < \frac{20x - 31}{7} \end{cases}$

2) $\begin{cases} 1 - 2x \le \frac{28 - 53x}{27} \\ 0,1x + 3 < \frac{13 - 0,7x}{3} \end{cases}$

1) Решим систему неравенств, найдя решения для каждого неравенства по отдельности, а затем найдем их пересечение.

Первое неравенство:
$\frac{7,4x + 23}{21} \le 1 + 0,4x$
Чтобы избавиться от знаменателя, умножим обе части неравенства на 21:
$7,4x + 23 \le 21(1 + 0,4x)$
$7,4x + 23 \le 21 + 8,4x$
Теперь перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а константы — в другую:
$23 - 21 \le 8,4x - 7,4x$
$2 \le x$, или $x \ge 2$.

Второе неравенство:
$3x - 5 \le \frac{20x - 31}{7}$
Умножим обе части на 7:
$7(3x - 5) \le 20x - 31$
$21x - 35 \le 20x - 31$
Перенесем слагаемые с $x$ и константы:
$21x - 20x \le 35 - 31$
$x \le 4$.

Общим решением системы является пересечение промежутков $x \ge 2$ и $x \le 4$. Это дает нам промежуток $[2; 4]$.
Натуральные числа, входящие в этот промежуток: 2, 3, 4.
Ответ: 2, 3, 4.

2) Решим вторую систему неравенств.

Первое неравенство:
$1 - 2x \le \frac{28 - 53x}{27}$
Умножим обе части на 27:
$27(1 - 2x) \le 28 - 53x$
$27 - 54x \le 28 - 53x$
Сгруппируем переменные и константы:
$-54x + 53x \le 28 - 27$
$-x \le 1$
Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:
$x \ge -1$.

Второе неравенство:
$0,1x + 3 < \frac{13 - 0,7x}{3}$
Умножим обе части на 3:
$3(0,1x + 3) < 13 - 0,7x$
$0,3x + 9 < 13 - 0,7x$
Сгруппируем переменные и константы:
$0,3x + 0,7x < 13 - 9$
$x < 4$.

Общим решением системы является пересечение промежутков $x \ge -1$ и $x < 4$. Это дает нам промежуток $[-1; 4)$.
Натуральные числа (целые положительные) в этом промежутке: 1, 2, 3.
Ответ: 1, 2, 3.

77. 1) Если к удвоенному целому числу прибавить его половину, то получится число, которое больше 17, а если из утроенного этого же целого числа вычесть его половину, то получится число, которое меньше 18. Найдите это целое число.

2) Если к $\frac{3}{10}$ от целого числа прибавить $0.25$, то получится число, которое меньше 5, а если от $\frac{7}{9}$ этого же числа вычесть $\frac{1}{3}$, то получится число, которое больше 11. Найдите это целое число.

1) Пусть искомое целое число — это $x$.

Согласно первому условию, если к удвоенному числу ($2x$) прибавить его половину ($\frac{x}{2}$), то получится число больше 17. Составим неравенство:

$2x + \frac{x}{2} > 17$

Согласно второму условию, если из утроенного числа ($3x$) вычесть его половину ($\frac{x}{2}$), то получится число меньше 18. Составим второе неравенство:

$3x - \frac{x}{2} < 18$

Объединим эти два условия в систему неравенств:

$ \begin{cases} 2x + \frac{x}{2} > 17 \\ 3x - \frac{x}{2} < 18 \end{cases} $

Решим первое неравенство:

$\frac{4x}{2} + \frac{x}{2} > 17$

$\frac{5x}{2} > 17$

$5x > 34$

$x > \frac{34}{5}$

$x > 6.8$

Теперь решим второе неравенство:

$\frac{6x}{2} - \frac{x}{2} < 18$

$\frac{5x}{2} < 18$

$5x < 36$

$x < \frac{36}{5}$

$x < 7.2$

Мы получили, что искомое число $x$ должно удовлетворять двойному неравенству: $6.8 < x < 7.2$.

По условию задачи, $x$ является целым числом. Единственное целое число, которое находится в интервале от 6.8 до 7.2, это 7.

Ответ: 7.

2) Пусть искомое целое число — это $y$.

Согласно первому условию, если к $\frac{3}{10}$ от числа прибавить 0,25, то получится число меньше 5. Составим неравенство:

$\frac{3}{10}y + 0.25 < 5$

Согласно второму условию, если от $\frac{7}{9}$ этого же числа вычесть $\frac{1}{3}$, то получится число больше 11. Составим второе неравенство:

$\frac{7}{9}y - \frac{1}{3} > 11$

Объединим эти два условия в систему неравенств:

$ \begin{cases} \frac{3}{10}y + 0.25 < 5 \\ \frac{7}{9}y - \frac{1}{3} > 11 \end{cases} $

Решим первое неравенство:

$\frac{3}{10}y < 5 - 0.25$

$\frac{3}{10}y < 4.75$

$y < 4.75 \cdot \frac{10}{3}$

$y < \frac{47.5}{3}$

$y < \frac{95}{6}$

$y < 15\frac{5}{6}$

Теперь решим второе неравенство:

$\frac{7}{9}y > 11 + \frac{1}{3}$

$\frac{7}{9}y > \frac{33}{3} + \frac{1}{3}$

$\frac{7}{9}y > \frac{34}{3}$

$y > \frac{34}{3} \cdot \frac{9}{7}$

$y > \frac{34 \cdot 3}{7}$

$y > \frac{102}{7}$

$y > 14\frac{4}{7}$

Мы получили, что искомое число $y$ должно удовлетворять двойному неравенству: $14\frac{4}{7} < y < 15\frac{5}{6}$.

По условию задачи, $y$ является целым числом. Единственное целое число, которое находится в этом интервале, это 15.

Ответ: 15.

78. 1) Если к целому числу прибавить 40% от этого же числа, то получится число, которое больше 47 ($x + 0.40x > 47$), а если из этого же числа вычесть 65% этого же числа, то получится число, которое меньше 12 ($x - 0.65x < 12$). Найдите это целое число.

2) Если от целого числа вычесть его 11%, то получится число, которое больше 88 ($x - 0.11x > 88$), а если к этому же целому числу прибавить 121% этого числа, то получится число, которое меньше 221 ($x + 1.21x < 221$). Найдите это целое число.

1)

Пусть искомое целое число — это $x$.

Согласно первому условию, если к числу прибавить 40% от него же, получится число больше 47. Это можно записать в виде неравенства: $x + 0.40x > 47$

Упростим выражение: $1.4x > 47$

Теперь найдем, каким должен быть $x$: $x > \frac{47}{1.4}$ $x > \frac{470}{14}$ $x > \frac{235}{7} \approx 33.57$

Согласно второму условию, если из этого же числа вычесть 65% от него, получится число меньше 12. Составим второе неравенство: $x - 0.65x < 12$

Упростим выражение: $0.35x < 12$

Найдем, каким должен быть $x$: $x < \frac{12}{0.35}$ $x < \frac{1200}{35}$ $x < \frac{240}{7} \approx 34.28$

Мы получили двойное неравенство для $x$: $33.57 < x < 34.28$.

Поскольку $x$ должно быть целым числом, единственное значение, которое удовлетворяет этому условию, — это 34.

Проверка:

1) $34 + 0.4 \cdot 34 = 34 + 13.6 = 47.6$. Это больше 47.

2) $34 - 0.65 \cdot 34 = 34 - 22.1 = 11.9$. Это меньше 12.

Оба условия выполняются.

Ответ: 34.

2)

Пусть искомое целое число — это $y$.

Согласно первому условию, если от числа вычесть 11%, получится число больше 88. Составим неравенство: $y - 0.11y > 88$

Упростим выражение: $0.89y > 88$

Теперь найдем, каким должен быть $y$: $y > \frac{88}{0.89}$ $y > \frac{8800}{89} \approx 98.87$

Согласно второму условию, если к этому же числу прибавить 121%, получится число меньше 221. Составим второе неравенство: $y + 1.21y < 221$

Упростим выражение: $2.21y < 221$

Найдем, каким должен быть $y$: $y < \frac{221}{2.21}$ $y < 100$

Мы получили двойное неравенство для $y$: $98.87 < y < 100$.

Поскольку $y$ должно быть целым числом, единственное значение, которое удовлетворяет этому условию, — это 99.

Проверка:

1) $99 - 0.11 \cdot 99 = 99 - 10.89 = 88.11$. Это больше 88.

2) $99 + 1.21 \cdot 99 = 99 + 119.79 = 218.79$. Это меньше 221.

Оба условия выполняются.

Ответ: 99.