Страница 19 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

55. Узнайте температуру воздуха на различных высотах, решив уравнения:

1) $3x + (x + 2) = 2 (3x + 12)$,

$x^\circ C$ — температура воздуха на высоте 4000 м;

2) $-3(2,5 - y) = 28,5 + 4,5y$,

$y^\circ C$ — температура воздуха на высоте 6000 м;

3) $25,8z - 4,3(6z + 300) = 25,8z$,

$z^\circ C$ — температура воздуха на высоте 10 000 м.

1) Решим уравнение $3x + (x + 2) = 2(3x + 12)$, где $x$ — температура воздуха на высоте 4000 м.

Сначала упростим обе части уравнения, раскрыв скобки.

Левая часть: $3x + x + 2 = 4x + 2$.

Правая часть: $2(3x + 12) = 2 \cdot 3x + 2 \cdot 12 = 6x + 24$.

Получаем уравнение: $4x + 2 = 6x + 24$.

Теперь перенесем все слагаемые с $x$ в одну сторону, а свободные члены — в другую.

$2 - 24 = 6x - 4x$

$-22 = 2x$

Чтобы найти $x$, разделим обе части на 2:

$x = \frac{-22}{2}$

$x = -11$

Таким образом, температура на высоте 4000 м составляет -11°C.

Ответ: $x = -11$.

2) Решим уравнение $-3(2,5 - y) = 28,5 + 4,5y$, где $y$ — температура воздуха на высоте 6000 м.

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$-3 \cdot 2,5 - 3 \cdot (-y) = 28,5 + 4,5y$

$-7,5 + 3y = 28,5 + 4,5y$

Перенесем слагаемые с $y$ в правую часть, а числовые слагаемые — в левую:

$-7,5 - 28,5 = 4,5y - 3y$

$-36 = 1,5y$

Чтобы найти $y$, разделим обе части на 1,5:

$y = \frac{-36}{1,5}$

$y = -24$

Таким образом, температура на высоте 6000 м составляет -24°C.

Ответ: $y = -24$.

3) Решим уравнение $25,8z - 4,3(6z + 300) = 25,8z$, где $z$ — температура воздуха на высоте 10 000 м.

Вычтем $25,8z$ из обеих частей уравнения:

$25,8z - 4,3(6z + 300) - 25,8z = 25,8z - 25,8z$

$-4,3(6z + 300) = 0$

Поскольку произведение равно нулю, а первый множитель $(-4,3)$ не равен нулю, то второй множитель должен быть равен нулю:

$6z + 300 = 0$

Перенесем 300 в правую часть:

$6z = -300$

Чтобы найти $z$, разделим обе части на 6:

$z = \frac{-300}{6}$

$z = -50$

Таким образом, температура на высоте 10 000 м составляет -50°C.

Ответ: $z = -50$.

56. Узнайте наибольшую продолжительность жизни насекомого, пресмыкающегося и зверька, решив уравнения:

1) $12,5 - (16x - 28,3) = -71,2$

$x$ лет — наибольшая продолжительность жизни муравья;

2) $31,8 - \left(\frac{1}{7} + \frac{4}{7}y\right) = 1\frac{2}{3}y + 4,8$

$y$ лет — наибольшая продолжительность жизни ящерицы;

3) $\frac{13}{15}z - \left(\frac{7}{9} + \frac{1}{3}z\right) = 7\frac{2}{9}$

$z$ лет — наибольшая продолжительность жизни белки.

1) Решим уравнение, чтобы найти наибольшую продолжительность жизни муравья ($x$ лет):

$12,5 - (16x - 28,3) = -71,2$

В этом уравнении $(16x - 28,3)$ является вычитаемым. Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого $(12,5)$ вычесть разность $(-71,2)$.

$16x - 28,3 = 12,5 - (-71,2)$

$16x - 28,3 = 12,5 + 71,2$

$16x - 28,3 = 83,7$

Теперь $16x$ является неизвестным уменьшаемым. Чтобы найти его, нужно к разности $(83,7)$ прибавить вычитаемое $(28,3)$.

$16x = 83,7 + 28,3$

$16x = 112$

Чтобы найти неизвестный множитель $x$, нужно произведение $(112)$ разделить на известный множитель $(16)$.

$x = 112 : 16$

$x = 7$

Таким образом, наибольшая продолжительность жизни муравья составляет 7 лет.

Ответ: 7.

2) Решим уравнение, чтобы найти наибольшую продолжительность жизни ящерицы ($y$ лет):

$31,8 - (\frac{1}{7} + \frac{4}{7}y) = 1\frac{2}{3}y + 4,8$

Сначала раскроем скобки в левой части уравнения.

$31,8 - \frac{1}{7} - \frac{4}{7}y = 1\frac{2}{3}y + 4,8$

Перенесем слагаемые, содержащие переменную $y$, в правую часть уравнения, а числовые значения — в левую, меняя знаки при переносе.

$31,8 - 4,8 - \frac{1}{7} = 1\frac{2}{3}y + \frac{4}{7}y$

Выполним вычисления в левой части:

$27 - \frac{1}{7} = 26\frac{7}{7} - \frac{1}{7} = 26\frac{6}{7}$

Теперь упростим правую часть. Для этого приведем коэффициенты при $y$ к общему знаменателю. Сначала представим смешанное число в виде неправильной дроби: $1\frac{2}{3} = \frac{5}{3}$.

$(\frac{5}{3} + \frac{4}{7})y = (\frac{5 \cdot 7}{3 \cdot 7} + \frac{4 \cdot 3}{7 \cdot 3})y = (\frac{35}{21} + \frac{12}{21})y = \frac{47}{21}y$

Наше уравнение приобретает вид:

$26\frac{6}{7} = \frac{47}{21}y$

Переведем смешанное число в левой части в неправильную дробь: $26\frac{6}{7} = \frac{26 \cdot 7 + 6}{7} = \frac{182 + 6}{7} = \frac{188}{7}$.

$\frac{188}{7} = \frac{47}{21}y$

Чтобы найти $y$, разделим левую часть на коэффициент при $y$:

$y = \frac{188}{7} : \frac{47}{21} = \frac{188}{7} \cdot \frac{21}{47}$

Сократим дробь: $188$ и $47$ делятся на $47$, а $21$ и $7$ делятся на $7$.

$y = \frac{4 \cdot 3}{1 \cdot 1} = 12$

Таким образом, наибольшая продолжительность жизни ящерицы составляет 12 лет.

Ответ: 12.

3) Решим уравнение, чтобы найти наибольшую продолжительность жизни белки ($z$ лет):

$\frac{13}{15}z - (\frac{7}{9} + \frac{1}{3}z) = 7\frac{2}{9}$

Раскроем скобки.

$\frac{13}{15}z - \frac{7}{9} - \frac{1}{3}z = 7\frac{2}{9}$

Сгруппируем слагаемые с переменной $z$ в левой части, а числовые значения перенесем в правую.

$\frac{13}{15}z - \frac{1}{3}z = 7\frac{2}{9} + \frac{7}{9}$

Вычислим правую часть:

$7\frac{2}{9} + \frac{7}{9} = 7 + (\frac{2}{9} + \frac{7}{9}) = 7 + \frac{9}{9} = 7 + 1 = 8$

Вычислим левую часть, приведя дроби к общему знаменателю 15:

$(\frac{13}{15} - \frac{1 \cdot 5}{3 \cdot 5})z = (\frac{13}{15} - \frac{5}{15})z = \frac{8}{15}z$

Уравнение принимает вид:

$\frac{8}{15}z = 8$

Чтобы найти $z$, разделим правую часть на коэффициент при $z$:

$z = 8 : \frac{8}{15} = 8 \cdot \frac{15}{8}$

$z = 15$

Таким образом, наибольшая продолжительность жизни белки составляет 15 лет.

Ответ: 15.

Найдите корни уравнений (57–58):

57. 1) $|x| + 20,9 = 22;$

2) $315 - |x| = 288;$

3) $|x| - 74,6 = 9,4;$

4) $15\frac{2}{15} - |x| = 7\frac{1}{12};$

5) $|x| - 21,9 = 6\frac{2}{3};$

6) $100,3 + |x| = 101\frac{8}{9}.$

1) $|x| + 20,9 = 22$. Чтобы найти неизвестное слагаемое $|x|$, нужно из суммы $22$ вычесть известное слагаемое $20,9$. Получаем: $|x| = 22 - 20,9$. Вычисляем разность: $|x| = 1,1$. Уравнение $|x| = a$ при $a > 0$ имеет два корня: $x = a$ и $x = -a$. Следовательно, корни уравнения: $x_1 = 1,1$ и $x_2 = -1,1$. Ответ: 1,1; -1,1.

2) $315 - |x| = 288$. Чтобы найти неизвестное вычитаемое $|x|$, нужно из уменьшаемого $315$ вычесть разность $288$. Получаем: $|x| = 315 - 288$. Вычисляем разность: $|x| = 27$. Так как $|x| = 27$, уравнение имеет два корня: $x_1 = 27$ и $x_2 = -27$. Ответ: 27; -27.

3) $|x| - 74,6 = 9,4$. Чтобы найти неизвестное уменьшаемое $|x|$, нужно к разности $9,4$ прибавить вычитаемое $74,6$. Получаем: $|x| = 9,4 + 74,6$. Вычисляем сумму: $|x| = 84$. Так как $|x| = 84$, уравнение имеет два корня: $x_1 = 84$ и $x_2 = -84$. Ответ: 84; -84.

4) $15\frac{2}{15} - |x| = 7\frac{1}{12}$. Чтобы найти неизвестное вычитаемое $|x|$, нужно из уменьшаемого $15\frac{2}{15}$ вычесть разность $7\frac{1}{12}$. Получаем: $|x| = 15\frac{2}{15} - 7\frac{1}{12}$. Для вычитания смешанных чисел приведем их дробные части к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для $15$ и $12$ равен $60$. $|x| = 15\frac{2 \cdot 4}{15 \cdot 4} - 7\frac{1 \cdot 5}{12 \cdot 5} = 15\frac{8}{60} - 7\frac{5}{60}$. Выполняем вычитание целых и дробных частей отдельно: $|x| = (15-7) + (\frac{8}{60} - \frac{5}{60}) = 8\frac{3}{60}$. Сокращаем дробную часть: $|x| = 8\frac{1}{20}$. Уравнение имеет два корня: $x_1 = 8\frac{1}{20}$ и $x_2 = -8\frac{1}{20}$. Ответ: $8\frac{1}{20}$; $-8\frac{1}{20}$.

5) $|x| - 21,9 = 6\frac{2}{3}$. Чтобы найти неизвестное уменьшаемое $|x|$, нужно к разности $6\frac{2}{3}$ прибавить вычитаемое $21,9$. Получаем: $|x| = 6\frac{2}{3} + 21,9$. Для удобства сложения представим десятичную дробь в виде смешанного числа: $21,9 = 21\frac{9}{10}$. Тогда $|x| = 6\frac{2}{3} + 21\frac{9}{10}$. Приведем дробные части к общему знаменателю $30$: $|x| = 6\frac{2 \cdot 10}{3 \cdot 10} + 21\frac{9 \cdot 3}{10 \cdot 3} = 6\frac{20}{30} + 21\frac{27}{30}$. Складываем целые и дробные части: $|x| = (6+21) + (\frac{20}{30} + \frac{27}{30}) = 27\frac{47}{30}$. Так как дробная часть является неправильной дробью, выделим из нее целую часть: $\frac{47}{30} = 1\frac{17}{30}$. Тогда $|x| = 27 + 1\frac{17}{30} = 28\frac{17}{30}$. Уравнение имеет два корня: $x_1 = 28\frac{17}{30}$ и $x_2 = -28\frac{17}{30}$. Ответ: $28\frac{17}{30}$; $-28\frac{17}{30}$.

6) $100,3 + |x| = 101\frac{8}{9}$. Чтобы найти неизвестное слагаемое $|x|$, нужно из суммы $101\frac{8}{9}$ вычесть известное слагаемое $100,3$. Получаем: $|x| = 101\frac{8}{9} - 100,3$. Представим десятичную дробь в виде смешанного числа: $100,3 = 100\frac{3}{10}$. Тогда $|x| = 101\frac{8}{9} - 100\frac{3}{10}$. Приведем дробные части к общему знаменателю $90$: $|x| = 101\frac{8 \cdot 10}{9 \cdot 10} - 100\frac{3 \cdot 9}{10 \cdot 9} = 101\frac{80}{90} - 100\frac{27}{90}$. Выполняем вычитание: $|x| = (101 - 100) + (\frac{80}{90} - \frac{27}{90}) = 1\frac{53}{90}$. Уравнение имеет два корня: $x_1 = 1\frac{53}{90}$ и $x_2 = -1\frac{53}{90}$. Ответ: $1\frac{53}{90}$; $-1\frac{53}{90}$.

58. 1) $|x| + 5|x| - 40 = 4|x|$;

2) $100 - |x| = -49|x| + 124$;

3) $6|x| - 2|x| = 35 - 16|x|$;

4) $29|x| - |x| - 13 = -22|x|.$

1) Дано уравнение: $|x| + 5|x| - 40 = 4|x|$.
Это уравнение содержит переменную под знаком модуля. Для его решения сгруппируем все члены, содержащие $|x|$, в одной части уравнения, а постоянные члены — в другой.
Сначала приведем подобные слагаемые в левой части:
$(1+5)|x| - 40 = 4|x|$
$6|x| - 40 = 4|x|$
Теперь перенесем член $4|x|$ в левую часть, а член $-40$ — в правую часть, изменив их знаки:
$6|x| - 4|x| = 40$
Приведем подобные слагаемые:
$2|x| = 40$
Разделим обе части на 2, чтобы найти значение $|x|$:
$|x| = \frac{40}{2}$
$|x| = 20$
Уравнение вида $|x| = a$ (где $a \ge 0$) имеет два корня: $x = a$ и $x = -a$.
Следовательно, $x_1 = 20$ и $x_2 = -20$.
Ответ: $x = \pm 20$.

2) Дано уравнение: $100 - |x| = -49|x| + 124$.
Сгруппируем все члены, содержащие $|x|$, в левой части, а постоянные члены — в правой.
$-|x| + 49|x| = 124 - 100$
Приведем подобные слагаемые в обеих частях уравнения:
$(-1+49)|x| = 24$
$48|x| = 24$
Разделим обе части на 48:
$|x| = \frac{24}{48}$
Сократим дробь:
$|x| = \frac{1}{2}$
Уравнение $|x| = \frac{1}{2}$ имеет два корня:
$x_1 = \frac{1}{2}$ и $x_2 = -\frac{1}{2}$.
Ответ: $x = \pm \frac{1}{2}$.

3) Дано уравнение: $6|x| - 2|x| = 35 - 16|x|$.
Сначала упростим левую часть:
$4|x| = 35 - 16|x|$
Теперь перенесем член $-16|x|$ в левую часть с противоположным знаком:
$4|x| + 16|x| = 35$
Приведем подобные слагаемые:
$20|x| = 35$
Разделим обе части на 20:
$|x| = \frac{35}{20}$
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 5:
$|x| = \frac{7}{4}$
Уравнение $|x| = \frac{7}{4}$ имеет два корня:
$x_1 = \frac{7}{4}$ и $x_2 = -\frac{7}{4}$.
Ответ: $x = \pm \frac{7}{4}$.

4) Дано уравнение: $29|x| - |x| - 13 = -22|x|$.
Упростим левую часть:
$28|x| - 13 = -22|x|$
Перенесем все члены с $|x|$ в левую часть, а постоянные — в правую:
$28|x| + 22|x| = 13$
Приведем подобные слагаемые:
$50|x| = 13$
Разделим обе части на 50:
$|x| = \frac{13}{50}$
Уравнение $|x| = \frac{13}{50}$ имеет два корня:
$x_1 = \frac{13}{50}$ и $x_2 = -\frac{13}{50}$.
Ответ: $x = \pm \frac{13}{50}$.

59. При каких значениях переменной верно равенство:

1) $ \vert x+1 \vert = x+1 $;

2) $ \vert 2-x \vert = 2-x $?

1) Равенство вида $|A| = A$ верно тогда и только тогда, когда выражение, стоящее под знаком модуля, неотрицательно, то есть $A \ge 0$.
В данном случае $A = x + 1$. Следовательно, равенство $|x+1|=x+1$ будет верным при выполнении условия:
$x + 1 \ge 0$
Для решения этого неравенства вычтем 1 из обеих его частей:
$x \ge -1$
Это означает, что переменная $x$ может принимать любое значение из промежутка $[-1; +\infty)$.
Ответ: $x \in [-1; +\infty)$.

2) Аналогично первому случаю, равенство $|2-x|=2-x$ будет верным, если выражение под знаком модуля неотрицательно.
Составим и решим неравенство:
$2 - x \ge 0$
Для решения этого неравенства прибавим $x$ к обеим его частям:
$2 \ge x$
Это неравенство можно записать в более привычном виде:
$x \le 2$
Это означает, что переменная $x$ может принимать любое значение из промежутка $(-\infty; 2]$.
Ответ: $x \in (-\infty; 2]$.