Страница 23 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

79. Решите систему неравенств:

1) $\begin{cases} 4x+7,8>45x-4,2, \\ 18+1,1x\le4,1x+13,5, \\ 5,5-3,4x<40,5-8,4x; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 17,3-29x\ge-35x-6,7, \\ 1,5x+13,1<\frac{1}{2}x-18,1, \\ 6\frac{1}{3}x-27,8\le21,2-\frac{2}{3}x. \end{cases}$

1)

Решим каждое неравенство системы по отдельности.

Первое неравенство:

$4x+7,8 > 45x-4,2$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в одну сторону, а числовые слагаемые — в другую:

$7,8+4,2 > 45x-4x$

$12 > 41x$

Разделим обе части на 41:

$\frac{12}{41} > x$ или $x < \frac{12}{41}$

Второе неравенство:

$18+1,1x \le 4,1x+13,5$

$18-13,5 \le 4,1x-1,1x$

$4,5 \le 3x$

Разделим обе части на 3:

$1,5 \le x$ или $x \ge 1,5$

Третье неравенство:

$5,5-3,4x < 40,5-8,4x$

$8,4x-3,4x < 40,5-5,5$

$5x < 35$

Разделим обе части на 5:

$x < 7$

Теперь найдем пересечение полученных решений: $x < \frac{12}{41}$, $x \ge 1,5$ и $x < 7$.

Сравним значения $\frac{12}{41}$ и $1,5$. Так как $\frac{12}{41} < 1$, а $1,5 > 1$, очевидно, что $\frac{12}{41} < 1,5$.

Система требует, чтобы переменная $x$ была одновременно меньше $\frac{12}{41}$ и больше или равна $1,5$. На числовой прямой эти два множества не пересекаются.

Следовательно, система не имеет решений.

Ответ: решений нет.

2)

Решим каждое неравенство системы по отдельности.

Первое неравенство:

$17,3-29x \ge -35x-6,7$

$35x-29x \ge -6,7-17,3$

$6x \ge -24$

$x \ge -4$

Второе неравенство:

$1,5x+13,1 < \frac{1}{2}x-18,1$

Представим $\frac{1}{2}x$ как $0,5x$:

$1,5x+13,1 < 0,5x-18,1$

$1,5x-0,5x < -18,1-13,1$

$x < -31,2$

Третье неравенство:

$6\frac{1}{3}x - 27,8 \le 21,2 - \frac{2}{3}x$

Переведем $6\frac{1}{3}$ в неправильную дробь $\frac{19}{3}$:

$\frac{19}{3}x - 27,8 \le 21,2 - \frac{2}{3}x$

$\frac{19}{3}x + \frac{2}{3}x \le 21,2 + 27,8$

$\frac{21}{3}x \le 49$

$7x \le 49$

$x \le 7$

Теперь найдем пересечение полученных решений: $x \ge -4$, $x < -31,2$ и $x \le 7$.

Рассмотрим первые два условия: $x \ge -4$ и $x < -31,2$.

Так как $-4 > -31,2$, не существует такого числа $x$, которое было бы одновременно больше или равно $-4$ и меньше $-31,2$. Множества решений этих двух неравенств не пересекаются.

Следовательно, система не имеет решений.

Ответ: решений нет.

80. Запишите в виде неравенства с модулем числовые промежутки, изображенные на рисунке 5.

1) $ |x| < 8 $

2) $ |x| \ge \frac{1}{11} $

3) $ |x| \le 3,9 $

4) $ |x| > 24 $

Рис. 5

1)

На рисунке изображен числовой промежуток, который представляет собой открытый интервал от $-8$ до $8$. Этот интервал можно записать в виде двойного неравенства: $-8 < x < 8$.

Данное множество точек симметрично относительно нуля. Центр интервала находится в точке $c = \frac{-8 + 8}{2} = 0$. Расстояние от центра до любого из концов интервала равно $r = \frac{8 - (-8)}{2} = \frac{16}{2} = 8$. Неравенство вида $|x-c| < r$ описывает интервал $(c-r, c+r)$. Подставив наши значения, получаем $|x - 0| < 8$, что упрощается до $|x| < 8$. Это неравенство означает, что расстояние от точки $x$ до нуля меньше $8$.

Ответ: $|x| < 8$

2)

На рисунке показано объединение двух числовых лучей: $(-\infty, -\frac{1}{11}]$ и $[\frac{1}{11}, \infty)$. Это множество всех чисел $x$, удовлетворяющих условиям $x \le -\frac{1}{11}$ или $x \ge \frac{1}{11}$.

Данное множество также симметрично относительно нуля. Центр симметрии $c = \frac{-\frac{1}{11} + \frac{1}{11}}{2} = 0$. Расстояние от центра до граничных точек равно $r = \frac{1}{11} - 0 = \frac{1}{11}$. Неравенство вида $|x-c| \ge r$ описывает объединение лучей $(-\infty, c-r] \cup [c+r, \infty)$. Подставив наши значения, получаем $|x - 0| \ge \frac{1}{11}$, то есть $|x| \ge \frac{1}{11}$. Это неравенство означает, что расстояние от точки $x$ до нуля больше или равно $\frac{1}{11}$.

Ответ: $|x| \ge \frac{1}{11}$

3)

На рисунке изображено объединение двух числовых лучей: $(-\infty, -3.9]$ и $[3.9, \infty)$. Это соответствует множеству всех чисел $x$, для которых выполняется $x \le -3.9$ или $x \ge 3.9$.

Множество симметрично относительно нуля. Центр симметрии $c = \frac{-3.9 + 3.9}{2} = 0$. Расстояние от центра до граничных точек равно $r = 3.9 - 0 = 3.9$. Используя формулу для объединения лучей $|x-c| \ge r$, получаем $|x-0| \ge 3.9$, или $|x| \ge 3.9$. Это неравенство описывает все точки, расстояние от которых до нуля не меньше $3.9$.

Ответ: $|x| \ge 3.9$

4)

На рисунке показано объединение двух открытых лучей: $(-\infty, -24)$ и $(24, \infty)$. Это множество всех чисел $x$, таких что $x < -24$ или $x > 24$.

Это множество симметрично относительно нуля. Центр $c = \frac{-24 + 24}{2} = 0$. Расстояние от центра до граничных точек равно $r = 24 - 0 = 24$. Неравенство вида $|x-c| > r$ описывает объединение открытых лучей $(-\infty, c-r) \cup (c+r, \infty)$. Подставляя наши значения, получаем $|x-0| > 24$, то есть $|x| > 24$. Это неравенство означает, что расстояние от точки $x$ до нуля строго больше $24$.

Ответ: $|x| > 24$

81. Изобразите на координатной прямой решение неравенства:

1)

$|x| \le 5,6;$

2)

$|x| < 17;$

3)

$|x| > 4\frac{3}{16};$

4)

$|x| \ge 9;$

5)

$|x| > 10;$

6)

$|x| \le 8,14;$

7)

$|x| < 3\frac{5}{6};$

8)

$|x| \ge 20.$

1) Неравенство $|x| \le 5,6$ означает, что расстояние от точки $x$ до нуля на координатной прямой не превышает 5,6. Это равносильно двойному неравенству: $$-5,6 \le x \le 5,6$$ Решением является отрезок, включая концы.

Ответ: $x \in [-5,6; 5,6]$

2) Неравенство $|x| < 17$ означает, что расстояние от точки $x$ до нуля строго меньше 17. Это равносильно двойному неравенству: $$-17 < x < 17$$ Решением является интервал, не включая концы.

Ответ: $x \in (-17; 17)$

3) Неравенство $|x| > 4\frac{3}{16}$ означает, что расстояние от точки $x$ до нуля строго больше $4\frac{3}{16}$. Это равносильно совокупности двух неравенств: $$x > 4\frac{3}{16} \quad \text{или} \quad x < -4\frac{3}{16}$$ Решением является объединение двух открытых лучей.

Ответ: $x \in (-\infty; -4\frac{3}{16}) \cup (4\frac{3}{16}; +\infty)$

4) Неравенство $|x| \ge 9$ означает, что расстояние от точки $x$ до нуля больше или равно 9. Это равносильно совокупности двух неравенств: $$x \ge 9 \quad \text{или} \quad x \le -9$$ Решением является объединение двух замкнутых лучей.

Ответ: $x \in (-\infty; -9] \cup [9; +\infty)$

5) Неравенство $|x| > 10$ означает, что расстояние от точки $x$ до нуля строго больше 10. Это равносильно совокупности двух неравенств: $$x > 10 \quad \text{или} \quad x < -10$$ Решением является объединение двух открытых лучей.

Ответ: $x \in (-\infty; -10) \cup (10; +\infty)$

6) Неравенство $|x| \le 8,14$ означает, что расстояние от точки $x$ до нуля не превышает 8,14. Это равносильно двойному неравенству: $$-8,14 \le x \le 8,14$$ Решением является отрезок, включая концы.

Ответ: $x \in [-8,14; 8,14]$

7) Неравенство $|x| < 3\frac{5}{6}$ означает, что расстояние от точки $x$ до нуля строго меньше $3\frac{5}{6}$. Это равносильно двойному неравенству: $$-3\frac{5}{6} < x < 3\frac{5}{6}$$ Решением является интервал, не включая концы.

Ответ: $x \in (-3\frac{5}{6}; 3\frac{5}{6})$

8) Неравенство $|x| \ge 20$ означает, что расстояние от точки $x$ до нуля больше или равно 20. Это равносильно совокупности двух неравенств: $$x \ge 20 \quad \text{или} \quad x \le -20$$ Решением является объединение двух замкнутых лучей.

Ответ: $x \in (-\infty; -20] \cup [20; +\infty)$

82. Решите неравенство:

1) $|1 + 2x| < 9;

2) $|3 + 2x| \le 5;

3) $|1 - 2x| \ge 7;

4) $|2 - 5x| > 22.$

5) $|3x + 5| \ge 20;

6) $|4 + 3x| \le 5;

7) $|7 - 4x| \le 11.$

8) $|6x - 5| \ge 1.$

9) $|1 - 2x| < 4;

10) $|0.8 - \frac{1}{3}x| > 0.2;

11) $|2.5x + 1| < 1.5;

12) $|-4x + \frac{1}{9}| \le \frac{5}{9}.$

1) Неравенство $|1 + 2x| < 9$ равносильно двойному неравенству:

$-9 < 1 + 2x < 9$

Вычтем 1 из всех частей неравенства:

$-9 - 1 < 2x < 9 - 1$

$-10 < 2x < 8$

Разделим все части на 2:

$-5 < x < 4$

Ответ: $(-5; 4)$.

2) Неравенство $|3 + 2x| \le 5$ равносильно двойному неравенству:

$-5 \le 3 + 2x \le 5$

Вычтем 3 из всех частей неравенства:

$-5 - 3 \le 2x \le 5 - 3$

$-8 \le 2x \le 2$

Разделим все части на 2:

$-4 \le x \le 1$

Ответ: $[-4; 1]$.

3) Неравенство $|1 - 2x| \ge 7$ равносильно совокупности двух неравенств:

$\left[ \begin{gathered} 1 - 2x \ge 7, \\ 1 - 2x \le -7. \end{gathered} \right.$

Решаем первое неравенство: $1 - 2x \ge 7 \implies -2x \ge 6 \implies x \le -3$.

Решаем второе неравенство: $1 - 2x \le -7 \implies -2x \le -8 \implies x \ge 4$.

Объединение решений дает интервал:

Ответ: $(-\infty; -3] \cup [4; +\infty)$.

4) Неравенство $|2 - 5x| > 22$ равносильно совокупности двух неравенств:

$\left[ \begin{gathered} 2 - 5x > 22, \\ 2 - 5x < -22. \end{gathered} \right.$

Решаем первое неравенство: $2 - 5x > 22 \implies -5x > 20 \implies x < -4$.

Решаем второе неравенство: $2 - 5x < -22 \implies -5x < -24 \implies x > \frac{24}{5} \implies x > 4.8$.

Объединение решений дает интервал:

Ответ: $(-\infty; -4) \cup (4.8; +\infty)$.

5) Неравенство $|3x + 5| \ge 20$ равносильно совокупности двух неравенств:

$\left[ \begin{gathered} 3x + 5 \ge 20, \\ 3x + 5 \le -20. \end{gathered} \right.$

Решаем первое неравенство: $3x + 5 \ge 20 \implies 3x \ge 15 \implies x \ge 5$.

Решаем второе неравенство: $3x + 5 \le -20 \implies 3x \le -25 \implies x \le -\frac{25}{3}$.

Объединение решений дает интервал:

Ответ: $(-\infty; -\frac{25}{3}] \cup [5; +\infty)$.

6) Неравенство $|4 + 3x| \le 5$ равносильно двойному неравенству:

$-5 \le 4 + 3x \le 5$

$-5 - 4 \le 3x \le 5 - 4$

$-9 \le 3x \le 1$

$-3 \le x \le \frac{1}{3}$

Ответ: $[-3; \frac{1}{3}]$.

7) Неравенство $|7 - 4x| \le 11$ равносильно двойному неравенству:

$-11 \le 7 - 4x \le 11$

$-11 - 7 \le -4x \le 11 - 7$

$-18 \le -4x \le 4$

Разделим на -4 и сменим знаки неравенства:

$\frac{-18}{-4} \ge x \ge \frac{4}{-4}$

$4.5 \ge x \ge -1$

Запишем в стандартном виде:

$-1 \le x \le 4.5$

Ответ: $[-1; 4.5]$.

8) Неравенство $|6x - 5| \ge 1$ равносильно совокупности двух неравенств:

$\left[ \begin{gathered} 6x - 5 \ge 1, \\ 6x - 5 \le -1. \end{gathered} \right.$

Решаем первое: $6x \ge 6 \implies x \ge 1$.

Решаем второе: $6x \le 4 \implies x \le \frac{4}{6} \implies x \le \frac{2}{3}$.

Объединение решений:

Ответ: $(-\infty; \frac{2}{3}] \cup [1; +\infty)$.

9) Неравенство $|1 - 2x| < 4$ равносильно двойному неравенству:

$-4 < 1 - 2x < 4$

$-4 - 1 < -2x < 4 - 1$

$-5 < -2x < 3$

Разделим на -2 и сменим знаки неравенства:

$\frac{-5}{-2} > x > \frac{3}{-2}$

$2.5 > x > -1.5$

$-1.5 < x < 2.5$

Ответ: $(-1.5; 2.5)$.

10) Неравенство $|0.8 - \frac{1}{3}x| > 0.2$ равносильно совокупности:

$\left[ \begin{gathered} 0.8 - \frac{1}{3}x > 0.2, \\ 0.8 - \frac{1}{3}x < -0.2. \end{gathered} \right.$

Решаем первое: $-\frac{1}{3}x > 0.2 - 0.8 \implies -\frac{1}{3}x > -0.6 \implies x < 1.8$.

Решаем второе: $-\frac{1}{3}x < -0.2 - 0.8 \implies -\frac{1}{3}x < -1 \implies x > 3$.

Объединение решений:

Ответ: $(-\infty; 1.8) \cup (3; +\infty)$.

11) Неравенство $|2.5x + 1| < 1.5$ равносильно двойному неравенству:

$-1.5 < 2.5x + 1 < 1.5$

$-1.5 - 1 < 2.5x < 1.5 - 1$

$-2.5 < 2.5x < 0.5$

$\frac{-2.5}{2.5} < x < \frac{0.5}{2.5}$

$-1 < x < 0.2$

Ответ: $(-1; 0.2)$.

12) Неравенство $|-4x + \frac{1}{9}| \le \frac{5}{9}$ равносильно двойному неравенству:

$-\frac{5}{9} \le -4x + \frac{1}{9} \le \frac{5}{9}$

$-\frac{5}{9} - \frac{1}{9} \le -4x \le \frac{5}{9} - \frac{1}{9}$

$-\frac{6}{9} \le -4x \le \frac{4}{9}$

$-\frac{2}{3} \le -4x \le \frac{4}{9}$

Разделим на -4 и сменим знаки неравенства:

$\frac{-2/3}{-4} \ge x \ge \frac{4/9}{-4}$

$\frac{2}{12} \ge x \ge -\frac{4}{36}$

$\frac{1}{6} \ge x \ge -\frac{1}{9}$

Запишем в стандартном виде:

$-\frac{1}{9} \le x \le \frac{1}{6}$

Ответ: $[-\frac{1}{9}; \frac{1}{6}]$.