Страница 16 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

41. Найдите координаты точек, изображенных на рисунке 1. С помощью рисунка ответьте на вопросы:

1) какие точки лежат левее начала координат;

2) какие точки лежат правее начала координат;

3) какая точка лежит ближе к началу координат?

Рис. 1

Сначала определим цену одного деления (одной клетки) на координатной оси. Начало координат находится в точке O, которой соответствует число 0. Числу 1 соответствует точка, отстоящая от O на 2 деления (клетки) вправо. Следовательно, длина единичного отрезка равна двум делениям, а цена одного деления составляет $1 \div 2 = 0.5$.

Теперь найдем координаты всех отмеченных точек, используя рисунок:

Точка A находится на 8 делений левее точки O. Ее координата: $0 - 8 \cdot 0.5 = -4$. Таким образом, A(-4).
Точка B находится на 4 деления левее точки O. Ее координата: $0 - 4 \cdot 0.5 = -2$. Таким образом, B(-2).
Точка C находится на 2 деления левее точки O. Ее координата: $0 - 2 \cdot 0.5 = -1$. Таким образом, C(-1).
Точка O — начало координат, ее координата 0. O(0).
Точка D находится на 4 деления правее точки O. Ее координата: $0 + 4 \cdot 0.5 = 2$. Таким образом, D(2).
Точка E находится на 8 делений правее точки O. Ее координата: $0 + 8 \cdot 0.5 = 4$. Таким образом, E(4).

Теперь ответим на вопросы задачи.

1) какие точки лежат левее начала координат;

Левее начала координат (точки О с координатой 0) лежат точки, имеющие отрицательные координаты. Из найденных координат видно, что это точки A(-4), B(-2) и C(-1).

Ответ: A, B, C.

2) какие точки лежат правее начала координат;

Правее начала координат лежат точки, имеющие положительные координаты. Это точки D(2) и E(4).

Ответ: D, E.

3) какая точка лежит ближе к началу координат?

Чтобы определить, какая точка лежит ближе к началу координат, нужно найти расстояния от этих точек до точки O(0). Расстояние от точки с координатой $x$ до начала координат равно модулю ее координаты, то есть $|x|$.
Найдем модули координат для каждой точки (кроме O):
Расстояние для точки A: $|-4| = 4$
Расстояние для точки B: $|-2| = 2$
Расстояние для точки C: $|-1| = 1$
Расстояние для точки D: $|2| = 2$
Расстояние для точки E: $|4| = 4$
Сравнивая полученные расстояния ($1 < 2 < 4$), видим, что наименьшее расстояние до начала координат у точки C. Оно равно 1.

Ответ: C.

42. Найдите координаты точек, отмеченных на рисунке 2.

Отметьте на координатной прямой:

1) точки, координаты которых противоположны координатам данных точек;

2) две точки, расположенные между точками C и D, запишите их координаты;

3) точку, которая лежит правее (левее) от всех изображенных точек, и запишите ее координату.

Рис. 2

Сначала определим координаты точек, отмеченных на рисунке. Примем за единичный отрезок длину одной клетки. Точка O — начало отсчета, ее координата равна 0. Двигаясь от точки O, находим координаты остальных точек:

Точка F находится на 5 клеток левее O, ее координата $F(-5)$.

Точка A находится на 3 клетки левее O, ее координата $A(-3)$.

Точка B находится на 2 клетки левее O, ее координата $B(-2)$.

Точка C находится на 4 клетки правее O, ее координата $C(4)$.

Точка D находится на 6 клеток правее O, ее координата $D(6)$.

Теперь решим задачи по пунктам.

1) точки, координаты которых противоположны координатам данных точек;

Противоположными называются числа, которые равны по модулю, но имеют разные знаки. Чтобы найти координату точки, противоположной данной, нужно изменить знак ее координаты на противоположный.

Для точки $F(-5)$ противоположной будет точка с координатой 5. Назовем ее $F'(5)$.

Для точки $A(-3)$ противоположной будет точка с координатой 3. Назовем ее $A'(3)$.

Для точки $B(-2)$ противоположной будет точка с координатой 2. Назовем ее $B'(2)$.

Для точки $O(0)$ противоположное число — это 0, так что точка остается на месте.

Для точки $C(4)$ противоположной будет точка с координатой -4. Назовем ее $C'(-4)$.

Для точки $D(6)$ противоположной будет точка с координатой -6. Назовем ее $D'(-6)$.

Отметим найденные точки (обозначены синим цветом и штрихом) на координатной прямой вместе с исходными:

Ответ: Координаты точек, противоположных данным: 5 (для F), 3 (для A), 2 (для B), -4 (для C), -6 (для D).

2) две точки, расположенные между точками C и D, запишите их координаты;

Точка $C(4)$ и точка $D(6)$ ограничивают интервал на координатной прямой. Нам нужно найти две точки, координаты которых больше 4, но меньше 6. Внутри интервала $(4, 6)$ находится бесконечно много чисел.

В качестве первого примера можно взять точку с целой координатой. Между 4 и 6 находится целое число 5. Пусть это будет точка $M(5)$.

В качестве второго примера можно взять точку с дробной координатой, например, 4,5. Пусть это будет точка $N(4,5)$.

Ответ: Например, точки с координатами 5 и 4,5.

3) точку, которая лежит правее (левее) от всех изображенных точек, и запишите ее координату.

Координаты всех изображенных на рисунке точек: -5, -3, -2, 0, 4, 6.

Точка, которая лежит правее от всех изображенных точек. Самая правая из данных точек — это $D(6)$, так как у нее наибольшая координата. Чтобы точка лежала правее всех, ее координата должна быть строго больше 6. Например, можно взять точку с координатой 7.

Точка, которая лежит левее от всех изображенных точек. Самая левая из данных точек — это $F(-5)$, так как у нее наименьшая координата. Чтобы точка лежала левее всех, ее координата должна быть строго меньше -5. Например, можно взять точку с координатой -6.

Ответ: Точка с координатой 7 лежит правее всех изображенных точек. Точка с координатой -6 лежит левее всех изображенных точек. (Возможны и другие ответы, например 8, 10, -7, -100 и т.д.)

43. 1) Назовите целые числа, расположенные на координатной прямой между числами: а) $-4$ и $3$; б) $-3.5$ и $0$; в) $-7.3$ и $-2$; г) $-0.99$ и $2.1$.

2) Между какими соседними целыми числами координатной прямой заключено число: а) $4.7$; б) $-3.2$; в) $0.6$; г) $-9.99$?

1) Чтобы найти целые числа, расположенные на координатной прямой между двумя данными числами, необходимо определить все целые числа, которые находятся в интервале, заданном этими двумя числами, не включая сами эти числа.

а) Для чисел -4 и 3 требуется найти все целые числа $x$, для которых выполняется двойное неравенство: $-4 < x < 3$.
Начиная с целого числа, которое непосредственно больше $-4$ (это $-3$), и двигаясь в сторону увеличения, перечислим все целые числа до тех пор, пока они остаются меньше $3$.

Это числа: -3, -2, -1, 0, 1, 2.
Ответ: -3, -2, -1, 0, 1, 2.

б) Для чисел -3,5 и 0 ищем целые числа $x$, удовлетворяющие неравенству $-3,5 < x < 0$.
Ближайшее целое число, которое больше $-3,5$, это $-3$. Следующее целое число - это $-2$, затем $-1$. Следующее целое число, $0$, уже не входит в интервал.
Таким образом, искомые числа: -3, -2, -1.
Ответ: -3, -2, -1.

в) Для чисел -7,3 и -2 ищем целые числа $x$, удовлетворяющие неравенству $-7,3 < x < -2$.
Ближайшее целое число, которое больше $-7,3$, это $-7$. Перечисляем целые числа в порядке возрастания: -7, -6, -5, -4, -3. Следующее целое число, $-2$, не входит в интервал.
Искомые числа: -7, -6, -5, -4, -3.
Ответ: -7, -6, -5, -4, -3.

г) Для чисел -0,99 и 2,1 ищем целые числа $x$, удовлетворяющие неравенству $-0,99 < x < 2,1$.
Ближайшее целое число, которое больше $-0,99$, это $0$. Перечисляем целые числа в порядке возрастания: 0, 1, 2. Следующее целое число, $3$, уже больше $2,1$.
Искомые числа: 0, 1, 2.
Ответ: 0, 1, 2.

2) Чтобы найти, между какими соседними целыми числами заключено данное число, нужно найти ближайшее к нему целое число слева (меньшее) и ближайшее целое число справа (большее) на координатной прямой.

а) Для числа 4,7. Оно является дробным. Ближайшее целое число, меньшее 4,7, это 4. Ближайшее целое число, большее 4,7, это 5. Таким образом, число 4,7 находится между 4 и 5.
Это можно записать в виде неравенства: $4 < 4,7 < 5$.
Ответ: 4 и 5.

б) Для числа -3,2. Оно находится на координатной прямой между целыми числами -4 и -3. Ближайшее меньшее целое - это -4, а ближайшее большее целое - это -3.
Неравенство: $-4 < -3,2 < -3$.
Ответ: -4 и -3.

в) Для числа 0,6. Оно больше 0 и меньше 1. Это ближайшие к нему целые числа.
Неравенство: $0 < 0,6 < 1$.
Ответ: 0 и 1.

г) Для числа -9,99. Оно находится на координатной прямой между -10 и -9. Ближайшее меньшее целое - это -10, а ближайшее большее целое - это -9.
Неравенство: $-10 < -9,99 < -9$.
Ответ: -10 и -9.

44. Найдите координаты точек, отмеченных на координатной плоскости (рис. 3). Какие из этих точек лежат:

1) на оси $Ox$;

2) на оси $Oy$;

3) в I четверти;

4) во II четверти;

5) в III четверти;

6) в IV четверти?

Сначала определим координаты всех точек, отмеченных на координатной плоскости, представленной на рисунке 3.

Координаты точек следующие:

$A(2; 3)$

$B(-4; 2)$

$C(-3; -2)$

$D(4; -3)$

$E(5; 0)$

$F(0; 4)$

$G(-2; 0)$

$H(0; -5)$

$O(0; 0)$

1) на оси OxТочка лежит на оси абсцисс (оси Ox), если её вторая координата (ордината) равна нулю. Этому условию соответствуют точки $E(5; 0)$, $G(-2; 0)$ и начало координат $O(0; 0)$.Ответ: точки E, G, O.

2) на оси OyТочка лежит на оси ординат (оси Oy), если её первая координата (абсцисса) равна нулю. Этому условию соответствуют точки $F(0; 4)$, $H(0; -5)$ и начало координат $O(0; 0)$.Ответ: точки F, H, O.

3) в I четвертиТочка лежит в I (первой) координатной четверти, если обе её координаты положительны ($x>0, y>0$). Этому условию соответствует точка $A(2; 3)$.Ответ: точка A.

4) во II четвертиТочка лежит во II (второй) координатной четверти, если её абсцисса отрицательна, а ордината положительна ($x<0, y>0$). Этому условию соответствует точка $B(-4; 2)$.Ответ: точка B.

5) в III четвертиТочка лежит в III (третьей) координатной четверти, если обе её координаты отрицательны ($x<0, y<0$). Этому условию соответствует точка $C(-3; -2)$.Ответ: точка C.

6) в IV четвертиТочка лежит в IV (четвёртой) координатной четверти, если её абсцисса положительна, а ордината отрицательна ($x>0, y<0$). Этому условию соответствует точка $D(4; -3)$.Ответ: точка D.

45. В прямоугольной системе координат отметьте точки $A(-3; 2)$; $B(0; -2)$; $C(1.5; -1)$; $D(-4; 0)$; $E(2.5; -3.5)$. В каких координатных четвертях лежат данные точки? Отметьте точки в других четвертях и напишите их координаты.

Рис. 3

Рис. 4

Расположение заданных точек в координатной системе

Сначала определим расположение каждой точки в прямоугольной системе координат. Координатные четверти нумеруются против часовой стрелки, начиная с верхней правой (I четверть: $x > 0, y > 0$).

Точка A(-3; 2) имеет отрицательную абсциссу ($x < 0$) и положительную ординату ($y > 0$), следовательно, она лежит во II координатной четверти.

Точка B(0; -2) имеет абсциссу, равную нулю ($x = 0$), следовательно, она лежит на оси ординат (оси Oy).

Точка C(1,5; -1) имеет положительную абсциссу ($x > 0$) и отрицательную ординату ($y < 0$), следовательно, она лежит в IV координатной четверти.

Точка D(-4; 0) имеет ординату, равную нулю ($y = 0$), следовательно, она лежит на оси абсцисс (оси Ox).

Точка E(2,5; -3,5) имеет положительную абсциссу ($x > 0$) и отрицательную ординату ($y < 0$), следовательно, она лежит в IV координатной четверти.

Ответ: Точка A(-3; 2) лежит во II четверти. Точка B(0; -2) лежит на оси ординат Oy. Точка C(1,5; -1) лежит в IV четверти. Точка D(-4; 0) лежит на оси абсцисс Ox. Точка E(2,5; -3,5) лежит в IV четверти.

Координаты симметричных точек и их построение

Далее найдем координаты точек, симметричных данным, которые будут расположены в других четвертях или на осях. Для точки P(x; y) существуют следующие виды симметрии:

- Точка, симметричная относительно оси абсцисс (Ox), имеет координаты $(x; -y)$.

- Точка, симметричная относительно оси ординат (Oy), имеет координаты $(-x; y)$.

- Точка, симметричная относительно начала координат O(0;0), имеет координаты $(-x; -y)$.

Выполним расчеты для каждой из заданных точек:

Точка A(-3; 2) (II четверть):
Симметричные ей точки: $A_1(-3; -2)$ (в III четверти, симметрия относительно Ox), $A_2(3; 2)$ (в I четверти, симметрия относительно Oy) и $A_3(3; -2)$ (в IV четверти, симметрия относительно O).

Точка B(0; -2) (на оси Oy):
Симметричная ей точка относительно оси Ox и начала координат: $B_1(0; 2)$ (также на оси Oy). Симметрия относительно оси Oy оставляет точку на месте, так как она лежит на этой оси.

Точка C(1,5; -1) (IV четверть):
Симметричные ей точки: $C_1(1,5; 1)$ (в I четверти, симметрия относительно Ox), $C_2(-1,5; -1)$ (в III четверти, симметрия относительно Oy) и $C_3(-1,5; 1)$ (в II четверти, симметрия относительно O).

Точка D(-4; 0) (на оси Ox):
Симметричная ей точка относительно оси Oy и начала координат: $D_1(4; 0)$ (также на оси Ox). Симметрия относительно оси Ox оставляет точку на месте, так как она лежит на этой оси.

Точка E(2,5; -3,5) (IV четверть):
Симметричные ей точки: $E_1(2,5; 3,5)$ (в I четверти, симметрия относительно Ox), $E_2(-2,5; -3,5)$ (в III четверти, симметрия относительно Oy) и $E_3(-2,5; 3,5)$ (в II четверти, симметрия относительно O).

Нанесем исходные точки (A, B, C, D, E) и симметричные им точки на координатную плоскость:

Ответ: Координаты симметричных точек:
Для A(-3; 2): (-3; -2), (3; 2), (3; -2).
Для B(0; -2): (0; 2).
Для C(1,5; -1): (1,5; 1), (-1,5; -1), (-1,5; 1).
Для D(-4; 0): (4; 0).
Для E(2,5; -3,5): (2,5; 3,5), (-2,5; -3,5), (-2,5; 3,5).
Графическое представление всех точек показано на рисунке выше.