Номер 45, страница 16 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

45. В прямоугольной системе координат отметьте точки $A(-3; 2)$; $B(0; -2)$; $C(1.5; -1)$; $D(-4; 0)$; $E(2.5; -3.5)$. В каких координатных четвертях лежат данные точки? Отметьте точки в других четвертях и напишите их координаты.

Рис. 3

Рис. 4

Расположение заданных точек в координатной системе

Сначала определим расположение каждой точки в прямоугольной системе координат. Координатные четверти нумеруются против часовой стрелки, начиная с верхней правой (I четверть: $x > 0, y > 0$).

Точка A(-3; 2) имеет отрицательную абсциссу ($x < 0$) и положительную ординату ($y > 0$), следовательно, она лежит во II координатной четверти.

Точка B(0; -2) имеет абсциссу, равную нулю ($x = 0$), следовательно, она лежит на оси ординат (оси Oy).

Точка C(1,5; -1) имеет положительную абсциссу ($x > 0$) и отрицательную ординату ($y < 0$), следовательно, она лежит в IV координатной четверти.

Точка D(-4; 0) имеет ординату, равную нулю ($y = 0$), следовательно, она лежит на оси абсцисс (оси Ox).

Точка E(2,5; -3,5) имеет положительную абсциссу ($x > 0$) и отрицательную ординату ($y < 0$), следовательно, она лежит в IV координатной четверти.

Ответ: Точка A(-3; 2) лежит во II четверти. Точка B(0; -2) лежит на оси ординат Oy. Точка C(1,5; -1) лежит в IV четверти. Точка D(-4; 0) лежит на оси абсцисс Ox. Точка E(2,5; -3,5) лежит в IV четверти.

Координаты симметричных точек и их построение

Далее найдем координаты точек, симметричных данным, которые будут расположены в других четвертях или на осях. Для точки P(x; y) существуют следующие виды симметрии:

- Точка, симметричная относительно оси абсцисс (Ox), имеет координаты $(x; -y)$.

- Точка, симметричная относительно оси ординат (Oy), имеет координаты $(-x; y)$.

- Точка, симметричная относительно начала координат O(0;0), имеет координаты $(-x; -y)$.

Выполним расчеты для каждой из заданных точек:

Точка A(-3; 2) (II четверть):
Симметричные ей точки: $A_1(-3; -2)$ (в III четверти, симметрия относительно Ox), $A_2(3; 2)$ (в I четверти, симметрия относительно Oy) и $A_3(3; -2)$ (в IV четверти, симметрия относительно O).

Точка B(0; -2) (на оси Oy):
Симметричная ей точка относительно оси Ox и начала координат: $B_1(0; 2)$ (также на оси Oy). Симметрия относительно оси Oy оставляет точку на месте, так как она лежит на этой оси.

Точка C(1,5; -1) (IV четверть):
Симметричные ей точки: $C_1(1,5; 1)$ (в I четверти, симметрия относительно Ox), $C_2(-1,5; -1)$ (в III четверти, симметрия относительно Oy) и $C_3(-1,5; 1)$ (в II четверти, симметрия относительно O).

Точка D(-4; 0) (на оси Ox):
Симметричная ей точка относительно оси Oy и начала координат: $D_1(4; 0)$ (также на оси Ox). Симметрия относительно оси Ox оставляет точку на месте, так как она лежит на этой оси.

Точка E(2,5; -3,5) (IV четверть):
Симметричные ей точки: $E_1(2,5; 3,5)$ (в I четверти, симметрия относительно Ox), $E_2(-2,5; -3,5)$ (в III четверти, симметрия относительно Oy) и $E_3(-2,5; 3,5)$ (в II четверти, симметрия относительно O).

Нанесем исходные точки (A, B, C, D, E) и симметричные им точки на координатную плоскость:

Ответ: Координаты симметричных точек:
Для A(-3; 2): (-3; -2), (3; 2), (3; -2).
Для B(0; -2): (0; 2).
Для C(1,5; -1): (1,5; 1), (-1,5; -1), (-1,5; 1).
Для D(-4; 0): (4; 0).
Для E(2,5; -3,5): (2,5; 3,5), (-2,5; -3,5), (-2,5; 3,5).
Графическое представление всех точек показано на рисунке выше.