Номер 49, страница 17 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

49. Постройте точку $A(3; 4)$ и точку B, у которой абсцисса такая же, как у точки A, а ордината составляет 50 % от ординаты точки B. Постройте точку C, у которой ордината такая же, как у точки B, а абсцисса в 2 раза больше абсциссы точки B. Постройте точку T, у которой ордината равна нулю, а абсцисса такая же, как у точки C. Постройте точки D, M, K, F, симметричные относительно оси ординат соответственно точкам A, B, C, T. Найдите периметр и площадь фигуры ABCTFKMDA, если длина единичного отрезка равна 5 мм.

1. Определение координат точек

В соответствии с условием задачи, найдем координаты всех точек на декартовой плоскости.

• Точка A задана по условию: $A(3; 4)$.

• Точка B: Абсцисса (координата x) точки $B$ такая же, как у точки $A$, то есть $x_B = 3$. Ордината точки $A$ ($y_A=4$) составляет 50% от ординаты точки $B$ ($y_B$). Это можно записать как уравнение: $4 = 0.5 \cdot y_B$. Решая уравнение, находим $y_B = \frac{4}{0.5} = 8$. Таким образом, координаты точки $B(3; 8)$.

• Точка C: Ордината (координата y) точки $C$ такая же, как у точки $B$, то есть $y_C = 8$. Абсцисса точки $C$ в 2 раза больше абсциссы точки $B$ ($x_B=3$). Находим $x_C = 2 \cdot 3 = 6$. Таким образом, координаты точки $C(6; 8)$.

• Точка T: Ордината точки $T$ равна нулю, $y_T = 0$. Абсцисса точки $T$ такая же, как у точки $C$, то есть $x_T = 6$. Таким образом, координаты точки $T(6; 0)$.

• Точки D, M, K, F: Эти точки симметричны точкам $A, B, C, T$ соответственно относительно оси ординат (оси OY). При симметрии относительно оси OY координата $x$ меняет свой знак на противоположный, а координата $y$ остается без изменений. То есть, точка с координатами $(x; y)$ отображается в точку $(-x; y)$.

  • Точка $D$ симметрична точке $A(3; 4)$, следовательно, $D(-3; 4)$.

  • Точка $M$ симметрична точке $B(3; 8)$, следовательно, $M(-3; 8)$.

  • Точка $K$ симметрична точке $C(6; 8)$, следовательно, $K(-6; 8)$.

  • Точка $F$ симметрична точке $T(6; 0)$, следовательно, $F(-6; 0)$.

2. Построение фигуры

Соединив точки в последовательности $A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow T \rightarrow F \rightarrow K \rightarrow M \rightarrow D \rightarrow A$, получим многоугольник $ABCTFKMD A$.

3. Нахождение периметра и площади фигуры

Периметр

Периметр фигуры $P$ равен сумме длин всех ее сторон. Вычислим длину каждой стороны в единичных отрезках (ед.). Все стороны параллельны осям координат.

• $AB = |y_B - y_A| = |8 - 4| = 4$ ед.

• $BC = |x_C - x_B| = |6 - 3| = 3$ ед.

• $CT = |y_C - y_T| = |8 - 0| = 8$ ед.

• $TF = |x_T - x_F| = |6 - (-6)| = 12$ ед.

• $FK = |y_K - y_F| = |8 - 0| = 8$ ед. (симметричен $CT$)

• $KM = |x_M - x_K| = |-3 - (-6)| = 3$ ед. (симметричен $BC$)

• $MD = |y_M - y_D| = |8 - 4| = 4$ ед. (симметричен $AB$)

• $DA = |x_A - x_D| = |3 - (-3)| = 6$ ед.

Сложим длины всех сторон: $P = 4 + 3 + 8 + 12 + 8 + 3 + 4 + 6 = 48$ ед.

По условию, длина единичного отрезка равна 5 мм. Тогда периметр в миллиметрах:

$P = 48 \text{ ед.} \cdot 5 \text{ мм/ед.} = 240$ мм.

Площадь

Площадь фигуры $S$ найдем, разбив ее на три прямоугольника.

1. Правый прямоугольник (с вершинами $B, C, T$ и точкой $(3;0)$): стороны равны $BC=3$ ед. и $CT-MD=8-4=4$ плюс еще одна часть... Проще разбить на другие прямоугольники: правый прямоугольник с вершинами в точках $(3;0)$, $(6;0)$, $(6;8)$, $(3;8)$. Его стороны $6-3=3$ ед. и $8-0=8$ ед. Площадь $S_1 = 3 \cdot 8 = 24$ кв. ед.

2. Левый прямоугольник (с вершинами $(-6;0)$, $(-3;0)$, $(-3;8)$, $(-6;8)$): симметричен правому, его стороны также равны 3 ед. и 8 ед. Площадь $S_2 = 3 \cdot 8 = 24$ кв. ед.

3. Центральный прямоугольник (с вершинами $D, A$ и точками $(-3;0), (3;0)$): его стороны равны $DA=6$ ед. и $|y_D - 0| = 4$ ед. Площадь $S_3 = 6 \cdot 4 = 24$ кв. ед.

Общая площадь фигуры равна сумме площадей этих трех прямоугольников:

$S = S_1 + S_2 + S_3 = 24 + 24 + 24 = 72$ кв. ед.

Площадь единичного квадрата равна $5 \text{ мм} \times 5 \text{ мм} = 25 \text{ мм}^2$. Переведем площадь фигуры в квадратные миллиметры:

$S = 72 \text{ кв. ед.} \cdot 25 \text{ мм}^2\text{/кв. ед.} = 1800 \text{ мм}^2$.

Ответ: Периметр фигуры $ABCTFKMD A$ равен $240$ мм, а ее площадь равна $1800 \text{ мм}^2$.