Номер 48, страница 17 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

48. Постройте точки $A(0; 1,5)$ и $B(2; 6)$.

1) Проведите отрезки $AB$ и $BO$ и измерьте их длины с точностью до 1 мм.

2) Найдите координаты точки $F$, симметричной точке $B$ относительно оси ординат и координаты точек $E, D, C$, симметричные соответственно точкам $F, A$ и $B$ относительно оси абсцисс.

3) Проведите ломаную $ABCDEFA$ и найдите ее длину с точностью до 1 мм.

Для решения задачи построим все точки в декартовой системе координат. Заданные точки: $A(0; 1,5)$ и $B(2; 6)$. Точка $O$ является началом координат, ее координаты $O(0; 0)$. На рисунке ниже показаны все точки и искомая ломаная.

1) Проведите отрезки AB и BO и измерьте их длины с точностью до 1 мм.

Для нахождения длины отрезка между двумя точками с координатами $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$ используется формула расстояния: $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$.

Найдем длину отрезка AB, где $A(0; 1,5)$ и $B(2; 6)$:$AB = \sqrt{(2-0)^2 + (6-1,5)^2} = \sqrt{2^2 + 4,5^2} = \sqrt{4 + 20,25} = \sqrt{24,25}$.Если принять, что 1 единица координатной плоскости равна 1 см, то длина отрезка $AB \approx 4,924$ см. С точностью до 1 мм (т.е. до 0,1 см) это будет 4,9 см.

Найдем длину отрезка BO, где $B(2; 6)$ и $O(0; 0)$:$BO = \sqrt{(2-0)^2 + (6-0)^2} = \sqrt{2^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40}$.Длина отрезка $BO \approx 6,325$ см. С точностью до 1 мм это будет 6,3 см.

Ответ: Длина отрезка AB ≈ 49 мм, длина отрезка BO ≈ 63 мм.

2) Найдите координаты точки F, симметричной точке B относительно оси ординат и координаты точек E, D, C, симметричные соответственно точкам F, A и B относительно оси абсцисс.

При симметрии относительно оси ординат (оси OY) координата $x$ меняет знак, а $y$ остается неизменной. Точка $B$ имеет координаты $(2; 6)$.Следовательно, точка $F$, симметричная точке $B$ относительно оси ординат, имеет координаты $F(-2; 6)$.

При симметрии относительно оси абсцисс (оси OX) координата $y$ меняет знак, а $x$ остается неизменной.

• Точка $E$, симметричная точке $F(-2; 6)$ относительно оси абсцисс, имеет координаты $E(-2; -6)$.
• Точка $D$, симметричная точке $A(0; 1,5)$ относительно оси абсцисс, имеет координаты $D(0; -1,5)$.
• Точка $C$, симметричная точке $B(2; 6)$ относительно оси абсцисс, имеет координаты $C(2; -6)$.

Ответ: Координаты точек: F(-2; 6), E(-2; -6), D(0; -1,5), C(2; -6).

3) Проведите ломаную ABOCDEFA и найдите ее длину с точностью до 1 мм.

Длина ломаной ABOCDEFA равна сумме длин составляющих ее отрезков: $L = AB + BO + OC + CD + DE + EF + FA$.Длины отрезков $AB$ и $BO$ уже найдены. Вычислим длины остальных отрезков:

• $OC$: $O(0;0)$, $C(2; -6)$. $OC = \sqrt{(2-0)^2 + (-6-0)^2} = \sqrt{4+36} = \sqrt{40} \approx 6,325$ см.
• $CD$: $C(2; -6)$, $D(0; -1,5)$. $CD = \sqrt{(0-2)^2 + (-1,5 - (-6))^2} = \sqrt{(-2)^2 + 4,5^2} = \sqrt{24,25} \approx 4,924$ см.
• $DE$: $D(0; -1,5)$, $E(-2; -6)$. $DE = \sqrt{(-2-0)^2 + (-6 - (-1,5))^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-4,5)^2} = \sqrt{24,25} \approx 4,924$ см.
• $EF$: $E(-2; -6)$, $F(-2; 6)$. $EF = \sqrt{(-2 - (-2))^2 + (6 - (-6))^2} = \sqrt{0^2 + 12^2} = \sqrt{144} = 12$ см.
• $FA$: $F(-2; 6)$, $A(0; 1,5)$. $FA = \sqrt{(0 - (-2))^2 + (1,5 - 6)^2} = \sqrt{2^2 + (-4,5)^2} = \sqrt{24,25} \approx 4,924$ см.

Теперь сложим длины всех отрезков:$L = (AB+CD+DE+FA) + (BO+OC) + EF = 4 \times \sqrt{24,25} + 2 \times \sqrt{40} + 12$.$L \approx 4 \times 4,924 + 2 \times 6,325 + 12 = 19,696 + 12,650 + 12 = 44,346$ см.

С точностью до 1 мм (0,1 см) длина ломаной составляет 44,3 см.

Ответ: Длина ломаной ABOCDEFA ≈ 443 мм.