Страница 15 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

35. Круг разделили на три сектора так, что первый угол в два раза больше, а второй в три раза больше третьего угла. Сколько градусов содержит угол каждого сектора?

Для решения задачи введем переменную. Пусть угол третьего сектора равен $x$ градусов. Тогда, согласно условиям задачи, мы можем выразить углы двух других секторов через $x$.

Угол первого сектора в два раза больше третьего, значит, его величина составляет $2x$ градусов.

Угол второго сектора в три раза больше третьего, значит, его величина составляет $3x$ градусов.

Сумма центральных углов всех секторов, на которые разделен круг, всегда равна $360^\circ$. Исходя из этого, мы можем составить уравнение:

$2x + 3x + x = 360^\circ$

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

$6x = 360^\circ$

Теперь найдем значение $x$, разделив обе части уравнения на 6:

$x = \frac{360^\circ}{6}$

$x = 60^\circ$

Мы нашли величину угла третьего сектора. Теперь можем вычислить углы первого и второго секторов:

Угол первого сектора: $2x = 2 \cdot 60^\circ = 120^\circ$

Угол второго сектора: $3x = 3 \cdot 60^\circ = 180^\circ$

Угол третьего сектора: $x = 60^\circ$

Для проверки сложим полученные значения: $120^\circ + 180^\circ + 60^\circ = 360^\circ$. Сумма верна.

Ответ: Углы секторов равны $120^\circ$, $180^\circ$ и $60^\circ$.

36. Если задуманное число умножить на $2,6$, затем найти $25\%$ от полученного числа и прибавить к результату $0,35$, то получим $1$. Какое число было задумано?

Пусть $x$ — это задуманное число. Для того чтобы найти его, составим и решим уравнение, последовательно выполняя действия, описанные в условии задачи.

1. Сначала задуманное число умножается на 2,6. Получается выражение: $x \cdot 2,6$.

2. Затем от полученного числа находится 25%. Чтобы найти процент от числа, нужно представить проценты в виде десятичной дроби и умножить на это число. Так как $25\% = 0,25$, то получаем: $(x \cdot 2,6) \cdot 0,25$.

3. К этому результату прибавляется 0,35, и в итоге получается 1. Это позволяет нам составить полное уравнение:

$(x \cdot 2,6) \cdot 0,25 + 0,35 = 1$

Теперь решим это уравнение.

Сначала перенесем 0,35 из левой части в правую, изменив знак на противоположный:

$(x \cdot 2,6) \cdot 0,25 = 1 - 0,35$

$(x \cdot 2,6) \cdot 0,25 = 0,65$

Теперь упростим левую часть, перемножив числовые коэффициенты:

$x \cdot (2,6 \cdot 0,25) = 0,65$

$x \cdot 0,65 = 0,65$

Чтобы найти $x$, нужно разделить обе части уравнения на 0,65:

$x = \frac{0,65}{0,65}$

$x = 1$

Таким образом, задуманное число — это 1.

Проверим правильность решения, подставив 1 в исходные условия:

1. Умножаем задуманное число на 2,6: $1 \cdot 2,6 = 2,6$.

2. Находим 25% от 2,6: $2,6 \cdot 0,25 = 0,65$.

3. Прибавляем 0,35: $0,65 + 0,35 = 1$.

Результат совпадает с условием, значит, задача решена верно.

Ответ: 1.

37. Из некоторого пункта вниз по течению реки вышла лодка, скорость которой по течению реки 14 км/ч. Через 1 ч из этого же пункта в том же направлении вышел катер, собственная скорость которого 31 км/ч. Через сколько часов после своего выхода катер догонит лодку, если скорость течения реки 3 км/ч?

Для решения этой задачи необходимо определить скорости движущихся объектов и использовать их для нахождения времени, через которое катер догонит лодку.

1. Найдем скорость катера по течению реки. Известно, что собственная скорость катера $V_{соб.катера} = 31$ км/ч, а скорость течения реки $V_{течения} = 3$ км/ч. Так как катер движется вниз по течению, его скорость относительно берега будет суммой этих скоростей:

$V_{катера\ по\ течению} = V_{соб.катера} + V_{течения} = 31 + 3 = 34$ км/ч.

2. Определим, на какое расстояние лодка опередила катер. Лодка вышла на 1 час раньше. Скорость лодки по течению, согласно условию, составляет $V_{лодки\ по\ течению} = 14$ км/ч. За 1 час она прошла расстояние:

$S_{фора} = V_{лодки\ по\ течению} \times t = 14 \text{ км/ч} \times 1 \text{ ч} = 14$ км.

3. Найдем скорость сближения катера и лодки. Оба движутся в одном направлении, поэтому скорость, с которой катер догоняет лодку, равна разности их скоростей:

$V_{сближения} = V_{катера\ по\ течению} - V_{лодки\ по\ течению} = 34 - 14 = 20$ км/ч.

4. Теперь можно вычислить время, которое потребуется катеру, чтобы догнать лодку. Для этого нужно разделить расстояние, которое было между ними вначале (фору), на скорость сближения:

$t_{встречи} = \frac{S_{фора}}{V_{сближения}} = \frac{14 \text{ км}}{20 \text{ км/ч}} = 0,7$ часа.

Это и есть время, которое пройдет с момента выхода катера до момента, когда он догонит лодку.

Ответ: 0,7 часа.

38. Из некоторого пункта вниз по течению реки вышла лодка, скорость которой по течению реки 15 км/ч. Через 1 ч из этого же пункта в противоположном направлении вышел катер, собственная скорость которого 33 км/ч. Через сколько часов после начала движения катера расстояние между ними будет 114 км, если скорость течения реки 3 км/ч?

Для решения этой задачи разобьем ее на несколько логических шагов.

1. Определение скоростей объектов относительно берега.

Скорость лодки по течению реки дана в условии: $V_{лодки\ по\ теч.} = 15$ км/ч.

Катер движется в противоположном направлении, то есть против течения реки. Чтобы найти его скорость относительно берега, нужно из его собственной скорости вычесть скорость течения.

Собственная скорость катера: $V_{собств.\ катера} = 33$ км/ч.

Скорость течения: $V_{теч.} = 3$ км/ч.

Скорость катера против течения: $V_{катера\ против\ теч.} = V_{собств.\ катера} - V_{теч.} = 33 - 3 = 30$ км/ч.

2. Расчет расстояния, которое прошла лодка до начала движения катера.

Лодка вышла на 1 час раньше катера. За это время она успела отплыть от начального пункта на некоторое расстояние. Рассчитаем его:

$S_{1} = V_{лодки\ по\ теч.} \times 1\text{ч} = 15 \text{ км/ч} \times 1 \text{ ч} = 15$ км.

Таким образом, в момент, когда катер начал движение, расстояние между ним и лодкой уже составляло 15 км.

3. Расчет времени совместного движения.

Общее расстояние между лодкой и катером должно составить 114 км. Из них 15 км лодка уже прошла. Значит, двигаясь одновременно, им нужно преодолеть оставшееся расстояние:

$S_{ост.} = S_{общ} - S_{1} = 114 \text{ км} - 15 \text{ км} = 99$ км.

Поскольку лодка и катер движутся в противоположных направлениях, расстояние между ними увеличивается со скоростью, равной сумме их скоростей. Эта скорость называется скоростью удаления.

$V_{удал.} = V_{лодки\ по\ теч.} + V_{катера\ против\ теч.} = 15 \text{ км/ч} + 30 \text{ км/ч} = 45$ км/ч.

Теперь найдем время $t$, за которое они совместно преодолеют оставшиеся 99 км. Это и будет время, прошедшее с момента начала движения катера.

$t = \frac{S_{ост.}}{V_{удал.}} = \frac{99 \text{ км}}{45 \text{ км/ч}}$

Сократим дробь на 9:

$t = \frac{11}{5} = 2,2$ часа.

Ответ: через 2,2 часа после начала движения катера расстояние между ними будет 114 км.

39. Составьте формулу для решения задачи: К концу рабочего дня в магазине остались нераспроданными $a$ кг яблок и еще завезли 5 коробок по $b$ кг яблок. Сколько килограммов яблок стало в магазине? Ответьте на вопрос задачи, если $a = 5,75$, $b = 4,25$.

Составление формулы для решения задачи
Пусть $M$ — это общее количество килограммов яблок, которое стало в магазине. Изначально в магазине было $a$ кг яблок. Затем привезли 5 коробок, в каждой из которых по $b$ кг яблок. Общий вес привезенных яблок составляет $5 \times b$ кг. Чтобы найти общее количество яблок в магазине, нужно сложить первоначальное количество с количеством привезенных яблок. Таким образом, формула для решения задачи будет выглядеть так:
$M = a + 5b$
Ответ: $M = a + 5b$.

Ответ на вопрос задачи, если $a = 5,75$, $b = 4,25$
Для ответа на вопрос подставим заданные значения $a = 5,75$ и $b = 4,25$ в полученную формулу.
$M = 5,75 + 5 \times 4,25$
Выполним вычисления по порядку действий:
1. Сначала вычислим вес яблок в привезенных коробках (умножение):
$5 \times 4,25 = 21,25$ (кг)
2. Затем сложим этот вес с первоначальным остатком яблок (сложение):
$5,75 + 21,25 = 27$ (кг)
Следовательно, в магазине стало 27 килограммов яблок.
Ответ: 27 кг.

40. Узнайте дату рождения по формуле $y = x + 37^2$, если:

1) $x = 25^2 - 101$, то $y$ — год рождения Магжана Жумабаева — поэта, одного из основоположников казахской литературы;

2) $x = 24^2 - 102$, то $y$ — год рождения Абая Кунанбаева — поэта-просветителя, основоположника казахского литературного языка;

3) $x = 22^2 - 2 \cdot 3^2$, то $y$ — год рождения Чокана Валиханова — просветителя, путешественника, исследователя истории и культуры народов Средней Азии, Казахстана и Восточного Туркестана;

4) $x = 21^2 + 2^2 \cdot 3^2$, то $y$ — год рождения Жамбыла Жабаева — поэта, продолжателя гуманистических традиций народной поэзии, для него характерным было откликаться на самые жизненно важные для народа события.

Для решения задачи используется общая формула $y = x + 37^2$, где $y$ – искомый год рождения. Вычислим постоянную часть формулы: $37^2 = 1369$. Таким образом, для каждого пункта мы будем использовать формулу $y = x + 1369$.

1) Найдем год рождения Магжана Жумабаева. Для него значение $x$ вычисляется по формуле $x = 25^2 - 101$.

Сначала вычисляем $x$: $x = 625 - 101 = 524$.

Теперь находим $y$: $y = 524 + 1369 = 1893$.

Ответ: 1893.

2) Найдем год рождения Абая Кунанбаева. Для него $x = 24^2 - 10^2$.

Вычисляем $x$, используя формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$: $x = (24-10)(24+10) = 14 \cdot 34 = 476$.

Теперь находим $y$: $y = 476 + 1369 = 1845$.

Ответ: 1845.

3) Найдем год рождения Чокана Валиханова. Для него $x = 22^2 - 2 \cdot 3^2$.

Вычисляем $x$ с соблюдением порядка действий: $x = 484 - 2 \cdot 9 = 484 - 18 = 466$.

Теперь находим $y$: $y = 466 + 1369 = 1835$.

Ответ: 1835.

4) Найдем год рождения Жамбыла Жабаева. Для него $x = 21^2 + 2^2 \cdot 3^2$.

Вычисляем $x$: $x = 441 + 4 \cdot 9 = 441 + 36 = 477$.

Теперь находим $y$: $y = 477 + 1369 = 1846$.

Ответ: 1846.