Страница 26 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

90. 1)

$\begin{cases} x = -7 + y, \\ 2x - 3y = -16; \end{cases}$

2)

$\begin{cases} y = x - 5, \\ 4x + y = 10; \end{cases}$

3)

$\begin{cases} -x = 3 - 2y, \\ x - 5y = -6; \end{cases}$

4)

$\begin{cases} y = 4 - 5x, \\ y - 7x = -8. \end{cases}$

1) Дана система уравнений: $ \begin{cases} x = -7 + y, \\ 2x - 3y = -16; \end{cases} $
Это система линейных уравнений, которую удобно решить методом подстановки, так как в первом уравнении переменная $x$ уже выражена через $y$.
Подставим выражение для $x$ из первого уравнения ($x = -7 + y$) во второе уравнение:
$2(-7 + y) - 3y = -16$
Раскроем скобки, умножив 2 на каждый член в скобках:
$-14 + 2y - 3y = -16$
Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:
$-14 - y = -16$
Перенесем число $-14$ в правую часть уравнения, изменив его знак на противоположный:
$-y = -16 + 14$
$-y = -2$
Умножим обе части уравнения на $-1$, чтобы найти $y$:
$y = 2$
Теперь, зная значение $y$, найдем значение $x$, подставив $y=2$ в первое уравнение системы:
$x = -7 + 2$
$x = -5$
Таким образом, решение системы — пара чисел $(-5; 2)$.
Сделаем проверку, подставив найденные значения $x$ и $y$ во второе уравнение:
$2(-5) - 3(2) = -10 - 6 = -16$
$-16 = -16$
Равенство верное, значит, система решена правильно.
Ответ: $(-5; 2)$.

2) Дана система уравнений: $ \begin{cases} y = x - 5, \\ 4x + y = 10; \end{cases} $
Используем метод подстановки. Подставим выражение для $y$ из первого уравнения ($y = x - 5$) во второе уравнение:
$4x + (x - 5) = 10$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$4x + x - 5 = 10$
$5x - 5 = 10$
Перенесем $-5$ в правую часть уравнения, поменяв знак:
$5x = 10 + 5$
$5x = 15$
Найдем $x$, разделив обе части на 5:
$x = \frac{15}{5}$
$x = 3$
Теперь найдем $y$, подставив значение $x = 3$ в первое уравнение:
$y = 3 - 5$
$y = -2$
Решение системы — пара чисел $(3; -2)$.
Проверим решение, подставив $x=3$ и $y=-2$ во второе уравнение:
$4(3) + (-2) = 12 - 2 = 10$
$10 = 10$
Равенство верное.
Ответ: $(3; -2)$.

3) Дана система уравнений: $ \begin{cases} -x = 3 - 2y, \\ x - 5y = -6; \end{cases} $
Для решения методом подстановки сначала выразим $x$ из первого уравнения. Для этого умножим обе части первого уравнения на $-1$:
$x = -(3 - 2y)$
$x = -3 + 2y$
Теперь подставим это выражение для $x$ во второе уравнение системы:
$(-3 + 2y) - 5y = -6$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$-3 + 2y - 5y = -6$
$-3 - 3y = -6$
Перенесем $-3$ в правую часть:
$-3y = -6 + 3$
$-3y = -3$
Найдем $y$, разделив обе части на $-3$:
$y = 1$
Теперь найдем $x$, подставив $y=1$ в выражение $x = -3 + 2y$:
$x = -3 + 2(1)$
$x = -3 + 2$
$x = -1$
Решение системы — пара чисел $(-1; 1)$.
Проверим, подставив значения в оба исходных уравнения.
Первое уравнение: $-(-1) = 3 - 2(1) \Rightarrow 1 = 3 - 2 \Rightarrow 1 = 1$. Верно.
Второе уравнение: $(-1) - 5(1) = -1 - 5 = -6$. Верно.
Ответ: $(-1; 1)$.

4) Дана система уравнений: $ \begin{cases} y = 4 - 5x, \\ y - 7x = -8; \end{cases} $
Воспользуемся методом подстановки. Выражение для $y$ из первого уравнения подставим во второе:
$(4 - 5x) - 7x = -8$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$4 - 5x - 7x = -8$
$4 - 12x = -8$
Перенесем 4 в правую часть уравнения:
$-12x = -8 - 4$
$-12x = -12$
Найдем $x$:
$x = \frac{-12}{-12}$
$x = 1$
Теперь найдем $y$, подставив $x=1$ в первое уравнение:
$y = 4 - 5(1)$
$y = 4 - 5$
$y = -1$
Решение системы — пара чисел $(1; -1)$.
Сделаем проверку, подставив значения во второе уравнение:
$(-1) - 7(1) = -1 - 7 = -8$
$-8 = -8$
Равенство верное.
Ответ: $(1; -1)$.

91.

1)

$\begin{cases} x + 2y = 0,3, \\ x = -y + 0,5; \end{cases}$

2)

$\begin{cases} y - 8x = 83,1, \\ y = -x - 6,9; \end{cases}$

3)

$\begin{cases} 21x + y = -15,1, \\ y = 0,9 - x; \end{cases}$

4)

$\begin{cases} -2,5y + x = -12,8, \\ x = 1,2 - y. \end{cases}$

1) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} x + 2y = 0,3 \\ x = -y + 0,5 \end{cases} $
Подставим выражение для $x$ из второго уравнения в первое:
$(-y + 0,5) + 2y = 0,3$
Приведем подобные слагаемые:
$y + 0,5 = 0,3$
Перенесем 0,5 в правую часть уравнения:
$y = 0,3 - 0,5$
$y = -0,2$
Теперь найдем $x$, подставив значение $y$ во второе уравнение:
$x = -(-0,2) + 0,5$
$x = 0,2 + 0,5$
$x = 0,7$
Проверим решение, подставив найденные значения в оба исходных уравнения:
$0,7 + 2 \cdot (-0,2) = 0,7 - 0,4 = 0,3$ (верно)
$0,7 = -(-0,2) + 0,5 = 0,2 + 0,5 = 0,7$ (верно)
Ответ: $(0,7; -0,2)$

2) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} y - 8x = 83,1 \\ y = -x - 6,9 \end{cases} $
Подставим выражение для $y$ из второго уравнения в первое:
$(-x - 6,9) - 8x = 83,1$
Приведем подобные слагаемые:
$-9x - 6,9 = 83,1$
Перенесем -6,9 в правую часть уравнения:
$-9x = 83,1 + 6,9$
$-9x = 90$
Разделим обе части на -9:
$x = \frac{90}{-9}$
$x = -10$
Теперь найдем $y$, подставив значение $x$ во второе уравнение:
$y = -(-10) - 6,9$
$y = 10 - 6,9$
$y = 3,1$
Проверим решение:
$3,1 - 8 \cdot (-10) = 3,1 + 80 = 83,1$ (верно)
$3,1 = -(-10) - 6,9 = 10 - 6,9 = 3,1$ (верно)
Ответ: $(-10; 3,1)$

3) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} 21x + y = -15,1 \\ y = 0,9 - x \end{cases} $
Подставим выражение для $y$ из второго уравнения в первое:
$21x + (0,9 - x) = -15,1$
Приведем подобные слагаемые:
$20x + 0,9 = -15,1$
Перенесем 0,9 в правую часть уравнения:
$20x = -15,1 - 0,9$
$20x = -16$
Разделим обе части на 20:
$x = \frac{-16}{20} = -\frac{4}{5}$
$x = -0,8$
Теперь найдем $y$, подставив значение $x$ во второе уравнение:
$y = 0,9 - (-0,8)$
$y = 0,9 + 0,8$
$y = 1,7$
Проверим решение:
$21 \cdot (-0,8) + 1,7 = -16,8 + 1,7 = -15,1$ (верно)
$1,7 = 0,9 - (-0,8) = 0,9 + 0,8 = 1,7$ (верно)
Ответ: $(-0,8; 1,7)$

4) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} -2,5y + x = -12,8 \\ x = 1,2 - y \end{cases} $
Подставим выражение для $x$ из второго уравнения в первое:
$-2,5y + (1,2 - y) = -12,8$
Приведем подобные слагаемые:
$-3,5y + 1,2 = -12,8$
Перенесем 1,2 в правую часть уравнения:
$-3,5y = -12,8 - 1,2$
$-3,5y = -14$
Разделим обе части на -3,5:
$y = \frac{-14}{-3,5}$
$y = 4$
Теперь найдем $x$, подставив значение $y$ во второе уравнение:
$x = 1,2 - 4$
$x = -2,8$
Проверим решение:
$-2,5 \cdot 4 + (-2,8) = -10 - 2,8 = -12,8$ (верно)
$-2,8 = 1,2 - 4 = -2,8$ (верно)
Ответ: $(-2,8; 4)$

92. 1)

$\begin{cases} x - y = -\frac{5}{7}, \\ 4x + 3y = -4\frac{6}{7}; \end{cases}$

2)

$\begin{cases} 10x - 3y = \frac{94}{9}, \\ x + y = -\frac{14}{9}; \end{cases}$

3)

$\begin{cases} 9x + 2y = -\frac{19}{7}, \\ y - x = \frac{10}{21}; \end{cases}$

4)

$\begin{cases} 7x - 6y = \frac{40}{3}, \\ y + x = -\frac{11}{3}. \end{cases}$

1) Дана система уравнений: $ \begin{cases} x - y = -\frac{5}{7} \\ 4x + 3y = -4\frac{6}{7} \end{cases} $.
Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь во втором уравнении: $ -4\frac{6}{7} = -\frac{4 \cdot 7 + 6}{7} = -\frac{34}{7} $.
Система принимает вид:
$ \begin{cases} x - y = -\frac{5}{7} \\ 4x + 3y = -\frac{34}{7} \end{cases} $
Для решения используем метод подстановки. Выразим $x$ из первого уравнения:
$ x = y - \frac{5}{7} $
Подставим полученное выражение для $x$ во второе уравнение системы:
$ 4(y - \frac{5}{7}) + 3y = -\frac{34}{7} $
Раскроем скобки и решим уравнение относительно $y$:
$ 4y - \frac{20}{7} + 3y = -\frac{34}{7} $
$ 7y = \frac{20}{7} - \frac{34}{7} $
$ 7y = -\frac{14}{7} $
$ 7y = -2 $
$ y = -\frac{2}{7} $
Теперь найдем значение $x$, подставив найденное значение $y$ в выражение для $x$:
$ x = -\frac{2}{7} - \frac{5}{7} = -\frac{7}{7} = -1 $
Ответ: $ (-1; -\frac{2}{7}) $.

2) Дана система уравнений: $ \begin{cases} 10x - 3y = \frac{94}{9} \\ x + y = -\frac{14}{9} \end{cases} $.
Для решения используем метод сложения. Умножим второе уравнение на 3, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными числами.
$ 3(x + y) = 3 \cdot (-\frac{14}{9}) $
$ 3x + 3y = -\frac{42}{9} $
Теперь сложим почленно первое уравнение и полученное новое уравнение:
$ (10x - 3y) + (3x + 3y) = \frac{94}{9} + (-\frac{42}{9}) $
$ 13x = \frac{94 - 42}{9} $
$ 13x = \frac{52}{9} $
$ x = \frac{52}{9 \cdot 13} = \frac{4}{9} $
Подставим найденное значение $x$ во второе уравнение исходной системы, чтобы найти $y$:
$ \frac{4}{9} + y = -\frac{14}{9} $
$ y = -\frac{14}{9} - \frac{4}{9} $
$ y = -\frac{18}{9} $
$ y = -2 $
Ответ: $ (\frac{4}{9}; -2) $.

3) Дана система уравнений: $ \begin{cases} 9x + 2y = -\frac{19}{7} \\ y - x = \frac{10}{21} \end{cases} $.
Для удобства перепишем второе уравнение в стандартном виде: $ -x + y = \frac{10}{21} $.
Воспользуемся методом подстановки. Выразим $y$ из второго уравнения:
$ y = x + \frac{10}{21} $
Подставим это выражение в первое уравнение системы:
$ 9x + 2(x + \frac{10}{21}) = -\frac{19}{7} $
$ 9x + 2x + \frac{20}{21} = -\frac{19}{7} $
$ 11x = -\frac{19}{7} - \frac{20}{21} $
Приведем дроби в правой части к общему знаменателю 21: $ -\frac{19}{7} = -\frac{19 \cdot 3}{7 \cdot 3} = -\frac{57}{21} $.
$ 11x = -\frac{57}{21} - \frac{20}{21} $
$ 11x = -\frac{77}{21} $
$ x = -\frac{77}{21 \cdot 11} = -\frac{7}{21} = -\frac{1}{3} $
Теперь найдем $y$, подставив значение $x$ в выражение для $y$:
$ y = -\frac{1}{3} + \frac{10}{21} = -\frac{7}{21} + \frac{10}{21} = \frac{3}{21} = \frac{1}{7} $
Ответ: $ (-\frac{1}{3}; \frac{1}{7}) $.

4) Дана система уравнений: $ \begin{cases} 7x - 6y = \frac{40}{3} \\ y + x = -\frac{11}{3} \end{cases} $.
Перепишем второе уравнение в стандартном виде: $ x + y = -\frac{11}{3} $.
Используем метод сложения. Умножим второе уравнение на 6:
$ 6(x + y) = 6 \cdot (-\frac{11}{3}) $
$ 6x + 6y = -22 $
Сложим полученное уравнение с первым уравнением системы:
$ (7x - 6y) + (6x + 6y) = \frac{40}{3} + (-22) $
$ 13x = \frac{40}{3} - \frac{66}{3} $
$ 13x = -\frac{26}{3} $
$ x = -\frac{26}{3 \cdot 13} = -\frac{2}{3} $
Подставим значение $x$ во второе уравнение $ y + x = -\frac{11}{3} $:
$ y + (-\frac{2}{3}) = -\frac{11}{3} $
$ y = -\frac{11}{3} + \frac{2}{3} $
$ y = -\frac{9}{3} = -3 $
Ответ: $ (-\frac{2}{3}; -3) $.

93. 1)

$ \begin{cases} 3(x-2) - 2(y+1) = -16, \\ 5(x+3) - 8(y-2) = 13; \end{cases} $

2)

$ \begin{cases} -6(4-x) + (y+5) = 2, \\ 11(1+x) - 9(7-y) = -36. \end{cases} $

1)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 3(x-2) - 2(y+1) = -16 \\ 5(x+3) - 8(y-2) = 13 \end{cases}$

Сначала упростим каждое уравнение, раскрыв скобки.

Первое уравнение:

$3x - 3 \cdot 2 - 2y - 2 \cdot 1 = -16$

$3x - 6 - 2y - 2 = -16$

$3x - 2y - 8 = -16$

$3x - 2y = -16 + 8$

$3x - 2y = -8$

Второе уравнение:

$5x + 5 \cdot 3 - 8y - 8 \cdot (-2) = 13$

$5x + 15 - 8y + 16 = 13$

$5x - 8y + 31 = 13$

$5x - 8y = 13 - 31$

$5x - 8y = -18$

Теперь у нас есть упрощенная система:

$\begin{cases} 3x - 2y = -8 \\ 5x - 8y = -18 \end{cases}$

Решим систему методом сложения. Умножим первое уравнение на $-4$, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными.

$-4 \cdot (3x - 2y) = -4 \cdot (-8)$

$-12x + 8y = 32$

Теперь система выглядит так:

$\begin{cases} -12x + 8y = 32 \\ 5x - 8y = -18 \end{cases}$

Сложим два уравнения:

$(-12x + 5x) + (8y - 8y) = 32 + (-18)$

$-7x = 14$

$x = \frac{14}{-7}$

$x = -2$

Подставим найденное значение $x = -2$ в одно из упрощенных уравнений, например, в $3x - 2y = -8$.

$3(-2) - 2y = -8$

$-6 - 2y = -8$

$-2y = -8 + 6$

$-2y = -2$

$y = \frac{-2}{-2}$

$y = 1$

Проверим решение, подставив $x = -2$ и $y = 1$ в исходные уравнения.

Первое: $3(-2-2) - 2(1+1) = 3(-4) - 2(2) = -12 - 4 = -16$. Верно.

Второе: $5(-2+3) - 8(1-2) = 5(1) - 8(-1) = 5 + 8 = 13$. Верно.

Ответ: $x = -2, y = 1$

2)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} -6(4-x) + (y+5) = 2 \\ 11(1+x) - 9(7-y) = -36 \end{cases}$

Сначала упростим каждое уравнение, раскрыв скобки.

Первое уравнение:

$-6 \cdot 4 - 6 \cdot (-x) + y + 5 = 2$

$-24 + 6x + y + 5 = 2$

$6x + y - 19 = 2$

$6x + y = 2 + 19$

$6x + y = 21$

Второе уравнение:

$11 \cdot 1 + 11x - 9 \cdot 7 - 9 \cdot (-y) = -36$

$11 + 11x - 63 + 9y = -36$

$11x + 9y - 52 = -36$

$11x + 9y = -36 + 52$

$11x + 9y = 16$

Теперь у нас есть упрощенная система:

$\begin{cases} 6x + y = 21 \\ 11x + 9y = 16 \end{cases}$

Решим систему методом подстановки. Из первого уравнения выразим $y$ через $x$.

$y = 21 - 6x$

Подставим это выражение для $y$ во второе уравнение:

$11x + 9(21 - 6x) = 16$

$11x + 189 - 54x = 16$

$-43x = 16 - 189$

$-43x = -173$

$x = \frac{-173}{-43} = \frac{173}{43}$

Теперь найдем $y$, подставив значение $x$ в выражение $y = 21 - 6x$.

$y = 21 - 6 \cdot \frac{173}{43}$

$y = \frac{21 \cdot 43}{43} - \frac{6 \cdot 173}{43}$

$y = \frac{903}{43} - \frac{1038}{43}$

$y = \frac{903 - 1038}{43}$

$y = -\frac{135}{43}$

Проверим решение. Подставим $x = \frac{173}{43}$ и $y = -\frac{135}{43}$ в упрощенную систему.

Первое уравнение: $6x+y = 6(\frac{173}{43}) - \frac{135}{43} = \frac{1038-135}{43} = \frac{903}{43} = 21$. Верно.

Второе уравнение: $11x+9y = 11(\frac{173}{43}) + 9(-\frac{135}{43}) = \frac{1903 - 1215}{43} = \frac{688}{43} = 16$. Верно.

Ответ: $x = \frac{173}{43}, y = -\frac{135}{43}$

94. 1)

$\begin{cases} \frac{4x - 3}{2} + \frac{5y + 1}{3} = 12,5, \\ 1,5x - 0,7y = -3,4; \end{cases}$

2)

$\begin{cases} 2,3x - 1,9y = 0,8, \\ \frac{4 - 3y}{4} + \frac{-5x - 2}{3} = -4,5. \end{cases}$

1)

Исходная система уравнений:$$\begin{cases}\frac{4x - 3}{2} + \frac{5y + 1}{3} = 12,5 \\1,5x - 0,7y = -3,4\end{cases}$$Сначала упростим каждое уравнение системы.
Шаг 1: Упрощение первого уравнения.
Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель, который равен 6:$$ 6 \cdot \left(\frac{4x - 3}{2}\right) + 6 \cdot \left(\frac{5y + 1}{3}\right) = 6 \cdot 12,5 $$$$ 3(4x - 3) + 2(5y + 1) = 75 $$Раскроем скобки:$$ 12x - 9 + 10y + 2 = 75 $$Приведем подобные слагаемые:$$ 12x + 10y - 7 = 75 $$$$ 12x + 10y = 82 $$Разделим обе части на 2 для упрощения:$$ 6x + 5y = 41 $$Шаг 2: Упрощение второго уравнения.
Чтобы избавиться от десятичных дробей, умножим обе части уравнения на 10:$$ 10 \cdot (1,5x - 0,7y) = 10 \cdot (-3,4) $$$$ 15x - 7y = -34 $$Шаг 3: Решение полученной системы.
Мы получили эквивалентную систему уравнений:$$\begin{cases}6x + 5y = 41 \\15x - 7y = -34\end{cases}$$Решим ее методом алгебраического сложения. Умножим первое уравнение на 7, а второе на 5, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными по знаку:$$\begin{cases}7(6x + 5y) = 7 \cdot 41 \\5(15x - 7y) = 5 \cdot (-34)\end{cases}$$$$\begin{cases}42x + 35y = 287 \\75x - 35y = -170\end{cases}$$Теперь сложим два уравнения:$$ (42x + 75x) + (35y - 35y) = 287 - 170 $$$$ 117x = 117 $$$$ x = 1 $$Шаг 4: Нахождение y.
Подставим найденное значение $x=1$ в одно из упрощенных уравнений, например, в $6x + 5y = 41$:$$ 6(1) + 5y = 41 $$$$ 6 + 5y = 41 $$$$ 5y = 41 - 6 $$$$ 5y = 35 $$$$ y = 7 $$Пара чисел $(1; 7)$ является решением системы.
Ответ: $(1; 7)$

2)

Исходная система уравнений:$$\begin{cases}2,3x - 1,9y = 0,8 \\\frac{4 - 3y}{4} + \frac{-5x - 2}{3} = -4,5\end{cases}$$Сначала упростим каждое уравнение системы.
Шаг 1: Упрощение первого уравнения.
Чтобы избавиться от десятичных дробей, умножим обе части уравнения на 10:$$ 10 \cdot (2,3x - 1,9y) = 10 \cdot 0,8 $$$$ 23x - 19y = 8 $$Шаг 2: Упрощение второго уравнения.
Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель, который равен 12:$$ 12 \cdot \left(\frac{4 - 3y}{4}\right) + 12 \cdot \left(\frac{-5x - 2}{3}\right) = 12 \cdot (-4,5) $$$$ 3(4 - 3y) + 4(-5x - 2) = -54 $$Раскроем скобки:$$ 12 - 9y - 20x - 8 = -54 $$Приведем подобные слагаемые:$$ -20x - 9y + 4 = -54 $$$$ -20x - 9y = -58 $$Умножим обе части уравнения на -1 для удобства:$$ 20x + 9y = 58 $$Шаг 3: Решение полученной системы.
Мы получили эквивалентную систему уравнений:$$\begin{cases}23x - 19y = 8 \\20x + 9y = 58\end{cases}$$Решим ее методом алгебраического сложения. Умножим первое уравнение на 9, а второе на 19:$$\begin{cases}9(23x - 19y) = 9 \cdot 8 \\19(20x + 9y) = 19 \cdot 58\end{cases}$$$$\begin{cases}207x - 171y = 72 \\380x + 171y = 1102\end{cases}$$Теперь сложим два уравнения:$$ (207x + 380x) + (-171y + 171y) = 72 + 1102 $$$$ 587x = 1174 $$$$ x = \frac{1174}{587} $$$$ x = 2 $$Шаг 4: Нахождение y.
Подставим найденное значение $x=2$ в одно из упрощенных уравнений, например, в $20x + 9y = 58$:$$ 20(2) + 9y = 58 $$$$ 40 + 9y = 58 $$$$ 9y = 58 - 40 $$$$ 9y = 18 $$$$ y = 2 $$Пара чисел $(2; 2)$ является решением системы.
Ответ: $(2; 2)$