Страница 32 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1.13. Упростите выражение:

1)

$x \cdot x \cdot x \cdot x + b \cdot b \cdot b \cdot b \cdot b$;

2)

$y \cdot y \cdot y - s \cdot s \cdot s \cdot s \cdot s$;

3)

$(5a) \cdot (5a) \cdot (5a) \cdot (5a) - \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{n}$;

4)

$\frac{a}{5} \cdot \frac{a}{5} \cdot \frac{a}{5} \cdot \frac{a}{5} + z \cdot z$.

1) Чтобы упростить выражение $x \cdot x \cdot x \cdot x + b \cdot b \cdot b \cdot b \cdot b$, мы используем определение степени. Степенью называется выражение, представляющее собой результат многократного умножения числа (или переменной) на само себя. Показатель степени указывает, сколько раз повторяется множитель.

Первый член выражения представляет собой произведение четырех множителей, равных $x$. Это можно записать как $x$ в четвертой степени: $x \cdot x \cdot x \cdot x = x^4$.

Второй член выражения представляет собой произведение пяти множителей, равных $b$. Это можно записать как $b$ в пятой степени: $b \cdot b \cdot b \cdot b \cdot b = b^5$.

Сложив полученные выражения, получаем итоговый результат: $x^4 + b^5$. Так как у этих слагаемых разные основания ($x$ и $b$), дальнейшее упрощение невозможно.

Ответ: $x^4 + b^5$

2) Упростим выражение $y \cdot y \cdot y - s \cdot s \cdot s \cdot s \cdot s$.

Первый член, $y \cdot y \cdot y$, представляет собой произведение трех множителей $y$, что по определению степени равно $y^3$.

Второй член, $s \cdot s \cdot s \cdot s \cdot s$, представляет собой произведение пяти множителей $s$, что равно $s^5$.

Вычитая второй член из первого, получаем: $y^3 - s^5$. Уменьшаемое и вычитаемое имеют разные основания ($y$ и $s$), поэтому дальнейшее упрощение невозможно.

Ответ: $y^3 - s^5$

3) Упростим выражение $(5a) \cdot (5a) \cdot (5a) \cdot (5a) - \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{n}$.

Рассмотрим первую часть выражения: $(5a) \cdot (5a) \cdot (5a) \cdot (5a)$. Это произведение четырех одинаковых множителей $(5a)$, что можно записать в виде степени: $(5a)^4$.

Используя свойство возведения в степень произведения $(xy)^k = x^k y^k$, получим: $(5a)^4 = 5^4 \cdot a^4$.

Вычислим $5^4$: $5^4 = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 625$. Таким образом, первая часть равна $625a^4$.

Теперь рассмотрим вторую часть выражения: $\frac{1}{n} \cdot \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{n}$. Это произведение трех одинаковых множителей $\frac{1}{n}$, что можно записать как $(\frac{1}{n})^3$.

Используя свойство возведения в степень дроби $(\frac{x}{y})^k = \frac{x^k}{y^k}$, получим: $(\frac{1}{n})^3 = \frac{1^3}{n^3} = \frac{1}{n^3}$.

Теперь вычтем вторую часть из первой, чтобы получить окончательный ответ: $625a^4 - \frac{1}{n^3}$.

Ответ: $625a^4 - \frac{1}{n^3}$

4) Упростим выражение $\frac{a}{5} \cdot \frac{a}{5} \cdot \frac{a}{5} \cdot \frac{a}{5} + z \cdot z$.

Первый член представляет собой произведение четырех одинаковых дробей $\frac{a}{5}$. Это можно записать как степень: $(\frac{a}{5})^4$.

Применим свойство возведения в степень дроби: $(\frac{a}{5})^4 = \frac{a^4}{5^4}$.

Вычислим знаменатель: $5^4 = 625$. Значит, первый член равен $\frac{a^4}{625}$.

Второй член — это произведение двух множителей $z$, что равно $z^2$.

Сложим полученные выражения: $\frac{a^4}{625} + z^2$. Так как у этих слагаемых разные переменные, дальнейшее упрощение невозможно.

Ответ: $\frac{a^4}{625} + z^2$

1.14. Выполните действия:

1) $10^3 - 5^2 : 8 + \left(\frac{2}{3}\right)^5 \cdot 81;$

2) $2,43 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^3 + 6^2(2^5 - 28);$

3) $9^3 - 15^2 : 16 + \left(\frac{3}{4}\right)^3 : \frac{27}{32};$

4) $(7^2 - 51)^3 \cdot \frac{5}{9} + 3,6 : 9^2.$

1) $10^3 - 5^2 : 8 + (\frac{2}{3})^5 \cdot 81$

Решим по действиям, соблюдая порядок: сначала возведение в степень, затем умножение и деление, и в конце сложение и вычитание.

1. Вычислим значения выражений со степенями:

$10^3 = 1000$

$5^2 = 25$

$(\frac{2}{3})^5 = \frac{2^5}{3^5} = \frac{32}{243}$

2. Подставим полученные значения в исходное выражение:

$1000 - 25 : 8 + \frac{32}{243} \cdot 81$

3. Выполним деление и умножение слева направо:

$25 : 8 = \frac{25}{8}$

$\frac{32}{243} \cdot 81 = \frac{32 \cdot 81}{243} = \frac{32}{3}$ (так как $243 = 3 \cdot 81$)

4. Выражение принимает вид:

$1000 - \frac{25}{8} + \frac{32}{3}$

5. Выполним вычитание и сложение, приведя дроби к общему знаменателю 24:

$1000 - \frac{25 \cdot 3}{8 \cdot 3} + \frac{32 \cdot 8}{3 \cdot 8} = 1000 - \frac{75}{24} + \frac{256}{24} = 1000 + \frac{256 - 75}{24} = 1000 + \frac{181}{24}$

6. Преобразуем неправильную дробь в смешанное число: $\frac{181}{24} = 7 \frac{13}{24}$.

7. Окончательный результат:

$1000 + 7 \frac{13}{24} = 1007 \frac{13}{24}$

Ответ: $1007 \frac{13}{24}$.

2) $2,43 \cdot (\frac{1}{3})^3 + 6^2(2^5 - 28)$

Решим по действиям: сначала действия в скобках, затем возведение в степень, потом умножение и в конце сложение.

1. Вычислим значение выражения в первых скобках: $(\frac{1}{3})^3 = \frac{1}{27}$.

2. Вычислим значение выражения во вторых скобках: $2^5 - 28 = 32 - 28 = 4$.

3. Возведем в степень: $6^2 = 36$.

4. Подставим полученные значения: $2,43 \cdot \frac{1}{27} + 36 \cdot 4$.

5. Выполним умножение. Для удобства представим 2,43 как $\frac{243}{100}$. Заметим, что $243=3^5=9 \cdot 27$.

$\frac{243}{100} \cdot \frac{1}{27} = \frac{9 \cdot 27}{100 \cdot 27} = \frac{9}{100} = 0,09$.

$36 \cdot 4 = 144$.

6. Выполним сложение:

$0,09 + 144 = 144,09$.

Ответ: $144,09$.

3) $9^3 - 15^2 : 16 + (\frac{3}{4})^3 : \frac{27}{32}$

Решим по действиям, соблюдая их порядок.

1. Вычислим значения выражений со степенями:

$9^3 = 729$

$15^2 = 225$

$(\frac{3}{4})^3 = \frac{3^3}{4^3} = \frac{27}{64}$

2. Подставим значения в выражение:

$729 - 225 : 16 + \frac{27}{64} : \frac{27}{32}$

3. Выполним деления слева направо:

$225 : 16 = \frac{225}{16}$

$\frac{27}{64} : \frac{27}{32} = \frac{27}{64} \cdot \frac{32}{27} = \frac{32}{64} = \frac{1}{2}$

4. Выражение принимает вид:

$729 - \frac{225}{16} + \frac{1}{2}$

5. Приведем дроби к общему знаменателю 16:

$729 - \frac{225}{16} + \frac{8}{16} = 729 - \frac{225-8}{16} = 729 - \frac{217}{16}$

6. Преобразуем неправильную дробь в смешанное число: $\frac{217}{16} = 13 \frac{9}{16}$.

7. Выполним вычитание:

$729 - 13 \frac{9}{16} = 728 - 13 + 1 - \frac{9}{16} = 715 + \frac{16-9}{16} = 715 \frac{7}{16}$

Ответ: $715 \frac{7}{16}$.

4) $(7^2 - 51)^3 \cdot \frac{5}{9} + 3,6 : 9^2$

Решим по действиям.

1. Выполним действие в скобках: $7^2 - 51 = 49 - 51 = -2$.

2. Возведем в степень: $(-2)^3 = -8$ и $9^2 = 81$.

3. Подставим значения в выражение:

$-8 \cdot \frac{5}{9} + 3,6 : 81$

4. Выполним умножение и деление слева направо. Представим 3,6 как обыкновенную дробь $\frac{36}{10}$ или $\frac{18}{5}$.

$-8 \cdot \frac{5}{9} = -\frac{40}{9}$

$3,6 : 81 = \frac{18}{5} : 81 = \frac{18}{5 \cdot 81} = \frac{2 \cdot 9}{5 \cdot 9 \cdot 9} = \frac{2}{45}$

5. Выражение принимает вид:

$-\frac{40}{9} + \frac{2}{45}$

6. Приведем дроби к общему знаменателю 45:

$-\frac{40 \cdot 5}{9 \cdot 5} + \frac{2}{45} = -\frac{200}{45} + \frac{2}{45} = \frac{-200 + 2}{45} = -\frac{198}{45}$

7. Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 9:

$-\frac{198 : 9}{45 : 9} = -\frac{22}{5}$

8. Представим результат в виде десятичной дроби:

$-\frac{22}{5} = -4,4$

Ответ: $-4,4$.

1.15. Найдите 25% от числа x, если:

1) $x = \left(\frac{1}{2}\right)^4 \cdot 4^3 \cdot 3^4$;

2) $x = 3^3 \cdot 2^4 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^2$;

3) $x = \left(\frac{5}{6}\right)^2 \cdot 24 \cdot \left(\frac{4}{5}\right)^2$;

4) $x = \left(\frac{2}{3}\right)^4 \cdot 27 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^2$.

1) Для начала найдем значение $x$.

$x = \left(\frac{1}{2}\right)^4 \cdot 4^3 \cdot 3^4$

Упростим выражение, используя свойства степеней. Представим $4$ как $2^2$:

$x = \frac{1^4}{2^4} \cdot (2^2)^3 \cdot 3^4 = \frac{1}{2^4} \cdot 2^{2 \cdot 3} \cdot 3^4 = \frac{1}{2^4} \cdot 2^6 \cdot 3^4$

Сократим степени с основанием 2, используя правило $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$x = 2^{6-4} \cdot 3^4 = 2^2 \cdot 3^4 = 4 \cdot 81 = 324$

Теперь найдем 25% от числа $x$. 25% это $\frac{25}{100}$ или $\frac{1}{4}$.

$x \cdot 0.25 = 324 \cdot \frac{1}{4} = \frac{324}{4} = 81$

Ответ: $81$

2) Сначала вычислим значение $x$.

$x = 3^3 \cdot 2^4 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^2$

Упростим выражение. Представим $6$ как $2 \cdot 3$:

$x = 3^3 \cdot 2^4 \cdot \frac{1^2}{(2 \cdot 3)^2} = 3^3 \cdot 2^4 \cdot \frac{1}{2^2 \cdot 3^2}$

Сгруппируем и сократим степени с одинаковыми основаниями:

$x = \frac{3^3}{3^2} \cdot \frac{2^4}{2^2} = 3^{3-2} \cdot 2^{4-2} = 3^1 \cdot 2^2 = 3 \cdot 4 = 12$

Теперь найдем 25% от $x=12$.

$12 \cdot 0.25 = 12 \cdot \frac{1}{4} = \frac{12}{4} = 3$

Ответ: $3$

3) Вычислим значение $x$.

$x = \left(\frac{5}{6}\right)^2 \cdot 24 \cdot \left(\frac{4}{5}\right)^2$

Раскроем скобки и перегруппируем множители:

$x = \frac{5^2}{6^2} \cdot 24 \cdot \frac{4^2}{5^2} = \frac{5^2}{5^2} \cdot \frac{4^2}{6^2} \cdot 24$

Сократим $5^2$ и представим числа в виде простых множителей для упрощения. $4 = 2^2$, $6 = 2 \cdot 3$, $24 = 8 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3$.

$x = 1 \cdot \frac{(2^2)^2}{(2 \cdot 3)^2} \cdot (2^3 \cdot 3) = \frac{2^4}{2^2 \cdot 3^2} \cdot (2^3 \cdot 3)$

Теперь сгруппируем степени:

$x = \frac{2^4 \cdot 2^3 \cdot 3^1}{2^2 \cdot 3^2} = \frac{2^{4+3}}{2^2} \cdot \frac{3^1}{3^2} = 2^{7-2} \cdot 3^{1-2} = 2^5 \cdot 3^{-1} = 32 \cdot \frac{1}{3} = \frac{32}{3}$

Найдем 25% от $x=\frac{32}{3}$.

$\frac{32}{3} \cdot 0.25 = \frac{32}{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{32}{3 \cdot 4} = \frac{8}{3}$

Ответ: $\frac{8}{3}$

4) Найдем значение $x$.

$x = \left(\frac{2}{3}\right)^4 \cdot 27 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^2$

Упростим выражение, используя свойства степеней и разложение на простые множители. $27 = 3^3$, $4 = 2^2$.

$x = \frac{2^4}{3^4} \cdot 3^3 \cdot \frac{3^2}{(2^2)^2} = \frac{2^4}{3^4} \cdot 3^3 \cdot \frac{3^2}{2^4}$

Сократим $2^4$ в числителе и знаменателе, и сгруппируем степени с основанием 3:

$x = \frac{3^3 \cdot 3^2}{3^4} = \frac{3^{3+2}}{3^4} = \frac{3^5}{3^4} = 3^{5-4} = 3^1 = 3$

Теперь найдем 25% от $x=3$.

$3 \cdot 0.25 = 3 \cdot \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

Ответ: $\frac{3}{4}$

1.16. Сравните значения выражений:

1) $8^3 - 600$ и $17^2 - 4^4$;

2) $-10^4 + 9^4$ и $(-15)^3$;

3) $0,4^3 + 1,6 \cdot 1,1$ и $1,5^3 - 11 \cdot 0,5^3$;

4) $(-2,2)^3 + 0,603 \cdot 2^4$ и $368 - 2^3 \cdot 6^4$.

1) Чтобы сравнить значения выражений $8^3 - 600$ и $17^2 - 4^4$, вычислим значение каждого из них.

Вычислим значение первого выражения:
$8^3 = 8 \cdot 8 \cdot 8 = 64 \cdot 8 = 512$
$8^3 - 600 = 512 - 600 = -88$

Вычислим значение второго выражения:
$17^2 = 17 \cdot 17 = 289$
$4^4 = 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = 16 \cdot 16 = 256$
$17^2 - 4^4 = 289 - 256 = 33$

Теперь сравним полученные результаты: $-88$ и $33$.
Так как любое отрицательное число меньше любого положительного числа, то $-88 < 33$.
Следовательно, $8^3 - 600 < 17^2 - 4^4$.
Ответ: $8^3 - 600 < 17^2 - 4^4$.

2) Сравним значения выражений $-10^4 + 9^4$ и $(-15)^3$.

Вычислим значение первого выражения. Важно отметить, что в выражении $-10^4$ степень относится только к числу 10, а не к знаку минус.
$-10^4 = -(10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10) = -10000$
$9^4 = 9 \cdot 9 \cdot 9 \cdot 9 = 81 \cdot 81 = 6561$
$-10^4 + 9^4 = -10000 + 6561 = -3439$

Вычислим значение второго выражения:
$(-15)^3 = (-15) \cdot (-15) \cdot (-15) = 225 \cdot (-15) = -3375$

Сравним полученные результаты: $-3439$ и $-3375$.
Из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше. Так как $|-3439| > |-3375|$, то $-3439 < -3375$.
Следовательно, $-10^4 + 9^4 < (-15)^3$.
Ответ: $-10^4 + 9^4 < (-15)^3$.

3) Сравним значения выражений $0,4^3 + 1,6 \cdot 1,1$ и $1,5^3 - 11 \cdot 0,5^3$.

Вычислим значение первого выражения:
$0,4^3 = 0,4 \cdot 0,4 \cdot 0,4 = 0,064$
$1,6 \cdot 1,1 = 1,76$
$0,4^3 + 1,6 \cdot 1,1 = 0,064 + 1,76 = 1,824$

Вычислим значение второго выражения:
$1,5^3 = 1,5 \cdot 1,5 \cdot 1,5 = 2,25 \cdot 1,5 = 3,375$
$0,5^3 = 0,5 \cdot 0,5 \cdot 0,5 = 0,125$
$1,5^3 - 11 \cdot 0,5^3 = 3,375 - 11 \cdot 0,125 = 3,375 - 1,375 = 2$

Сравним полученные результаты: $1,824$ и $2$.
Так как $1,824 < 2$, то $0,4^3 + 1,6 \cdot 1,1 < 1,5^3 - 11 \cdot 0,5^3$.
Ответ: $0,4^3 + 1,6 \cdot 1,1 < 1,5^3 - 11 \cdot 0,5^3$.

4) Сравним значения выражений $(-2,2)^3 + 0,603 \cdot 2^4$ и $368 - 2^3 \cdot 64$.

Вычислим значение первого выражения:
$(-2,2)^3 = - (2,2 \cdot 2,2 \cdot 2,2) = - (4,84 \cdot 2,2) = -10,648$
$2^4 = 16$
$0,603 \cdot 2^4 = 0,603 \cdot 16 = 9,648$
$(-2,2)^3 + 0,603 \cdot 2^4 = -10,648 + 9,648 = -1$

Вычислим значение второго выражения:
$2^3 = 8$
$368 - 2^3 \cdot 64 = 368 - 8 \cdot 64 = 368 - 512 = -144$

Сравним полученные результаты: $-1$ и $-144$.
Так как $-1 > -144$, то $(-2,2)^3 + 0,603 \cdot 2^4 > 368 - 2^3 \cdot 64$.
Ответ: $(-2,2)^3 + 0,603 \cdot 2^4 > 368 - 2^3 \cdot 64$.

1.17. Вычислите и результат запишите в виде степени:

1) $2^3 \cdot 2^4$;

2) $3^2 \cdot 3^3$;

3) $(\frac{1}{2})^4 \cdot (\frac{1}{2})^2$;

4) $(-\frac{1}{3})^3 \cdot (-\frac{1}{3})^2$.

1) Для того чтобы умножить степени с одинаковым основанием, необходимо основание оставить без изменений, а показатели степеней сложить. Это свойство выражается формулой $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. В данном примере основание равно 2, а показатели степеней 3 и 4. Применяя правило, получаем:
$2^3 \cdot 2^4 = 2^{3+4} = 2^7$.
Ответ: $2^7$.

2) Аналогично первому пункту, используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Здесь основание равно 3, а показатели степеней — 2 и 3. Выполняем сложение показателей:
$3^2 \cdot 3^3 = 3^{2+3} = 3^5$.
Ответ: $3^5$.

3) Правило умножения степеней с одинаковым основанием справедливо и для дробных оснований. В этом выражении основание $a = \frac{1}{2}$, а показатели степеней равны 4 и 2. Складываем показатели:
$(\frac{1}{2})^4 \cdot (\frac{1}{2})^2 = (\frac{1}{2})^{4+2} = (\frac{1}{2})^6$.
Ответ: $(\frac{1}{2})^6$.

4) Данное свойство умножения степеней также применяется для отрицательных оснований. В этом случае основание $a = -\frac{1}{3}$, а показатели степеней — 3 и 2. Складываем показатели степеней:
$(-\frac{1}{3})^3 \cdot (-\frac{1}{3})^2 = (-\frac{1}{3})^{3+2} = (-\frac{1}{3})^5$.
Ответ: $(-\frac{1}{3})^5$.

1.18. Сравните значения выражений:

1) $5^3 \cdot 5^4$ и $5^{12}$;

2) $62 \cdot 66$ и $68$;

3) $(-3)^2 \cdot (-3)^4$ и $(-3)^8$;

4) $4^4 \cdot 4^5$ и $4^9$.

1) Для того чтобы сравнить значения выражений $5^3 \cdot 5^4$ и $5^{12}$, воспользуемся свойством умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

Вычислим первое выражение: $5^3 \cdot 5^4 = 5^{3+4} = 5^7$.

Теперь сравним полученное значение $5^7$ со значением $5^{12}$. Так как основание степени $5$ больше единицы ($5 > 1$), то из двух степеней с одинаковым основанием больше та, у которой показатель степени больше. Поскольку $7 < 12$, то $5^7 < 5^{12}$.

Следовательно, $5^3 \cdot 5^4 < 5^{12}$.

Ответ: $5^3 \cdot 5^4 < 5^{12}$.

2) Необходимо сравнить значения выражений $62 \cdot 66$ и $68$.

Вычислим произведение $62 \cdot 66$: $62 \cdot 66 = 4092$.

Теперь сравним полученное значение $4092$ с числом $68$. Очевидно, что $4092 > 68$.

Следовательно, $62 \cdot 66 > 68$.

Ответ: $62 \cdot 66 > 68$.

3) Сравним значения выражений $(-3)^2 \cdot (-3)^4$ и $(-3)^8$. Используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

Упростим первое выражение: $(-3)^2 \cdot (-3)^4 = (-3)^{2+4} = (-3)^6$.

Теперь сравним $(-3)^6$ и $(-3)^8$. Так как показатели степеней (6 и 8) являются четными числами, результаты возведения в степень отрицательного числа будут положительными: $(-3)^6 = 3^6$ и $(-3)^8 = 3^8$.

Далее сравним $3^6$ и $3^8$. Так как основание степени $3$ больше единицы ($3 > 1$) и $6 < 8$, то $3^6 < 3^8$.

Следовательно, $(-3)^2 \cdot (-3)^4 < (-3)^8$.

Ответ: $(-3)^2 \cdot (-3)^4 < (-3)^8$.

4) Сравним значения выражений $4^4 \cdot 4^5$ и $4^9$. Снова применим свойство умножения степеней с одинаковым основанием.

$4^4 \cdot 4^5 = 4^{4+5} = 4^9$.

Сравнивая полученный результат $4^9$ с выражением $4^9$, мы видим, что они равны.

Следовательно, $4^4 \cdot 4^5 = 4^9$.

Ответ: $4^4 \cdot 4^5 = 4^9$.

1.19. Найдите верные равенства и выпишите их:

1) $7^2 \cdot 7^6 = 7^8$;

2) $(-6)^7 \cdot (-6)^2 = (-6)^{14}$;

3) $(0,5)^5 \cdot (0,5)^2 = (0,5)^7$;

4) $(-1,25)^3 \cdot (-1,25)^2 = (-1,25)^6$.

Для решения этой задачи необходимо проверить каждое равенство, используя основное свойство степеней: при умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются. Формула этого свойства: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

1) $7^2 \cdot 7^6 = 7^8$

Применим правило умножения степеней для основания $a=7$. Показатели степеней $m=2$ и $n=6$.

Выполним сложение показателей: $2 + 6 = 8$.

Следовательно, $7^2 \cdot 7^6 = 7^{2+6} = 7^8$.

Данное равенство является верным, так как результат вычислений совпадает с выражением, данным в условии.

Ответ: Равенство верное.

2) $(-6)^7 \cdot (-6)^2 = (-6)^{14}$

Применим то же правило для основания $a=-6$. Показатели степеней $m=7$ и $n=2$.

Складываем показатели: $7 + 2 = 9$.

Таким образом, правильное выражение должно быть: $(-6)^7 \cdot (-6)^2 = (-6)^{7+2} = (-6)^9$.

В условии же указан показатель $14$, что является результатом умножения показателей ($7 \cdot 2 = 14$), а не сложения. Так как $(-6)^9 \neq (-6)^{14}$, данное равенство неверно.

Ответ: Равенство неверное.

3) $(0,5)^5 \cdot (0,5)^2 = (0,5)^7$

Проверим равенство для основания $a=0,5$. Показатели степеней $m=5$ и $n=2$.

Складываем показатели: $5 + 2 = 7$.

Получаем: $(0,5)^5 \cdot (0,5)^2 = (0,5)^{5+2} = (0,5)^7$.

Равенство, представленное в задании, полностью совпадает с результатом, полученным по свойству степеней, и является верным.

Ответ: Равенство верное.

4) $(-1,25)^3 \cdot (-1,25)^2 = (-1,25)^6$

Проверим равенство для основания $a=-1,25$. Показатели степеней $m=3$ и $n=2$.

Складываем показатели: $3 + 2 = 5$.

Правильный результат: $(-1,25)^3 \cdot (-1,25)^2 = (-1,25)^{3+2} = (-1,25)^5$.

В условии указан показатель $6$, который получен неверным путем умножения показателей ($3 \cdot 2 = 6$). Так как $(-1,25)^5 \neq (-1,25)^6$, данное равенство неверно.

Ответ: Равенство неверное.

Проанализировав все равенства, мы пришли к выводу, что верными являются равенства под номерами 1 и 3. Выпишем их:

$7^2 \cdot 7^6 = 7^8$

$(0,5)^5 \cdot (0,5)^2 = (0,5)^7$