Номер 1.15, страница 32 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1.15. Найдите 25% от числа x, если:

1) $x = \left(\frac{1}{2}\right)^4 \cdot 4^3 \cdot 3^4$;

2) $x = 3^3 \cdot 2^4 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^2$;

3) $x = \left(\frac{5}{6}\right)^2 \cdot 24 \cdot \left(\frac{4}{5}\right)^2$;

4) $x = \left(\frac{2}{3}\right)^4 \cdot 27 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^2$.

1) Для начала найдем значение $x$.

$x = \left(\frac{1}{2}\right)^4 \cdot 4^3 \cdot 3^4$

Упростим выражение, используя свойства степеней. Представим $4$ как $2^2$:

$x = \frac{1^4}{2^4} \cdot (2^2)^3 \cdot 3^4 = \frac{1}{2^4} \cdot 2^{2 \cdot 3} \cdot 3^4 = \frac{1}{2^4} \cdot 2^6 \cdot 3^4$

Сократим степени с основанием 2, используя правило $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$x = 2^{6-4} \cdot 3^4 = 2^2 \cdot 3^4 = 4 \cdot 81 = 324$

Теперь найдем 25% от числа $x$. 25% это $\frac{25}{100}$ или $\frac{1}{4}$.

$x \cdot 0.25 = 324 \cdot \frac{1}{4} = \frac{324}{4} = 81$

Ответ: $81$

2) Сначала вычислим значение $x$.

$x = 3^3 \cdot 2^4 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^2$

Упростим выражение. Представим $6$ как $2 \cdot 3$:

$x = 3^3 \cdot 2^4 \cdot \frac{1^2}{(2 \cdot 3)^2} = 3^3 \cdot 2^4 \cdot \frac{1}{2^2 \cdot 3^2}$

Сгруппируем и сократим степени с одинаковыми основаниями:

$x = \frac{3^3}{3^2} \cdot \frac{2^4}{2^2} = 3^{3-2} \cdot 2^{4-2} = 3^1 \cdot 2^2 = 3 \cdot 4 = 12$

Теперь найдем 25% от $x=12$.

$12 \cdot 0.25 = 12 \cdot \frac{1}{4} = \frac{12}{4} = 3$

Ответ: $3$

3) Вычислим значение $x$.

$x = \left(\frac{5}{6}\right)^2 \cdot 24 \cdot \left(\frac{4}{5}\right)^2$

Раскроем скобки и перегруппируем множители:

$x = \frac{5^2}{6^2} \cdot 24 \cdot \frac{4^2}{5^2} = \frac{5^2}{5^2} \cdot \frac{4^2}{6^2} \cdot 24$

Сократим $5^2$ и представим числа в виде простых множителей для упрощения. $4 = 2^2$, $6 = 2 \cdot 3$, $24 = 8 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3$.

$x = 1 \cdot \frac{(2^2)^2}{(2 \cdot 3)^2} \cdot (2^3 \cdot 3) = \frac{2^4}{2^2 \cdot 3^2} \cdot (2^3 \cdot 3)$

Теперь сгруппируем степени:

$x = \frac{2^4 \cdot 2^3 \cdot 3^1}{2^2 \cdot 3^2} = \frac{2^{4+3}}{2^2} \cdot \frac{3^1}{3^2} = 2^{7-2} \cdot 3^{1-2} = 2^5 \cdot 3^{-1} = 32 \cdot \frac{1}{3} = \frac{32}{3}$

Найдем 25% от $x=\frac{32}{3}$.

$\frac{32}{3} \cdot 0.25 = \frac{32}{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{32}{3 \cdot 4} = \frac{8}{3}$

Ответ: $\frac{8}{3}$

4) Найдем значение $x$.

$x = \left(\frac{2}{3}\right)^4 \cdot 27 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^2$

Упростим выражение, используя свойства степеней и разложение на простые множители. $27 = 3^3$, $4 = 2^2$.

$x = \frac{2^4}{3^4} \cdot 3^3 \cdot \frac{3^2}{(2^2)^2} = \frac{2^4}{3^4} \cdot 3^3 \cdot \frac{3^2}{2^4}$

Сократим $2^4$ в числителе и знаменателе, и сгруппируем степени с основанием 3:

$x = \frac{3^3 \cdot 3^2}{3^4} = \frac{3^{3+2}}{3^4} = \frac{3^5}{3^4} = 3^{5-4} = 3^1 = 3$

Теперь найдем 25% от $x=3$.

$3 \cdot 0.25 = 3 \cdot \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

Ответ: $\frac{3}{4}$