Страница 25 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

87.1) $\begin{cases} 8x + 15y = -56, \\ 4x - 7y = 30; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 6x - 9y = 88,5, \\ 5x + 3y = 47,5; \end{cases}$

3) $\begin{cases} 11x + 10y = 73,5, \\ 6x - 5y = -54; \end{cases}$

4) $\begin{cases} 2x + 13y = -69, \\ 14x + 11y = -3. \end{cases}$

1) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 8x + 15y = -56 \\ 4x - 7y = 30 \end{cases} $

Для решения системы уравнений воспользуемся методом алгебраического сложения. Умножим второе уравнение на $-2$, чтобы коэффициенты при переменной $x$ стали противоположными числами:

$ -2 \cdot (4x - 7y) = -2 \cdot 30 $

$ -8x + 14y = -60 $

Теперь сложим почленно первое уравнение исходной системы и полученное уравнение:

$ (8x + 15y) + (-8x + 14y) = -56 + (-60) $

$ 8x - 8x + 15y + 14y = -116 $

$ 29y = -116 $

Найдем значение $y$:

$ y = \frac{-116}{29} $

$ y = -4 $

Подставим найденное значение $y = -4$ во второе уравнение исходной системы, чтобы найти $x$:

$ 4x - 7(-4) = 30 $

$ 4x + 28 = 30 $

$ 4x = 30 - 28 $

$ 4x = 2 $

$ x = \frac{2}{4} = 0,5 $

Проверка: подставим найденные значения $x=0,5$ и $y=-4$ в первое уравнение системы: $8(0,5) + 15(-4) = 4 - 60 = -56$. Равенство верно.

Ответ: $x = 0,5; y = -4$.

2) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 6x - 9y = 88,5 \\ 5x + 3y = 47,5 \end{cases} $

Решим систему методом сложения. Умножим второе уравнение на $3$, чтобы коэффициенты при переменной $y$ стали противоположными числами:

$ 3 \cdot (5x + 3y) = 3 \cdot 47,5 $

$ 15x + 9y = 142,5 $

Теперь сложим почленно первое уравнение исходной системы и полученное уравнение:

$ (6x - 9y) + (15x + 9y) = 88,5 + 142,5 $

$ 6x + 15x - 9y + 9y = 231 $

$ 21x = 231 $

Найдем значение $x$:

$ x = \frac{231}{21} $

$ x = 11 $

Подставим найденное значение $x = 11$ во второе уравнение исходной системы, чтобы найти $y$:

$ 5(11) + 3y = 47,5 $

$ 55 + 3y = 47,5 $

$ 3y = 47,5 - 55 $

$ 3y = -7,5 $

$ y = \frac{-7,5}{3} = -2,5 $

Проверка: подставим найденные значения $x=11$ и $y=-2,5$ в первое уравнение системы: $6(11) - 9(-2,5) = 66 + 22,5 = 88,5$. Равенство верно.

Ответ: $x = 11; y = -2,5$.

3) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 11x + 10y = 73,5 \\ 6x - 5y = -54 \end{cases} $

Решим систему методом сложения. Умножим второе уравнение на $2$, чтобы коэффициенты при переменной $y$ стали противоположными числами:

$ 2 \cdot (6x - 5y) = 2 \cdot (-54) $

$ 12x - 10y = -108 $

Теперь сложим почленно первое уравнение исходной системы и полученное уравнение:

$ (11x + 10y) + (12x - 10y) = 73,5 + (-108) $

$ 11x + 12x + 10y - 10y = -34,5 $

$ 23x = -34,5 $

Найдем значение $x$:

$ x = \frac{-34,5}{23} $

$ x = -1,5 $

Подставим найденное значение $x = -1,5$ во второе уравнение исходной системы, чтобы найти $y$:

$ 6(-1,5) - 5y = -54 $

$ -9 - 5y = -54 $

$ -5y = -54 + 9 $

$ -5y = -45 $

$ y = \frac{-45}{-5} = 9 $

Проверка: подставим найденные значения $x=-1,5$ и $y=9$ в первое уравнение системы: $11(-1,5) + 10(9) = -16,5 + 90 = 73,5$. Равенство верно.

Ответ: $x = -1,5; y = 9$.

4) Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 2x + 13y = -69 \\ 14x + 11y = -3 \end{cases} $

Решим систему методом сложения. Умножим первое уравнение на $-7$, чтобы коэффициенты при переменной $x$ стали противоположными числами:

$ -7 \cdot (2x + 13y) = -7 \cdot (-69) $

$ -14x - 91y = 483 $

Теперь сложим почленно второе уравнение исходной системы и полученное уравнение:

$ (14x + 11y) + (-14x - 91y) = -3 + 483 $

$ 14x - 14x + 11y - 91y = 480 $

$ -80y = 480 $

Найдем значение $y$:

$ y = \frac{480}{-80} $

$ y = -6 $

Подставим найденное значение $y = -6$ в первое уравнение исходной системы, чтобы найти $x$:

$ 2x + 13(-6) = -69 $

$ 2x - 78 = -69 $

$ 2x = -69 + 78 $

$ 2x = 9 $

$ x = \frac{9}{2} = 4,5 $

Проверка: подставим найденные значения $x=4,5$ и $y=-6$ во второе уравнение системы: $14(4,5) + 11(-6) = 63 - 66 = -3$. Равенство верно.

Ответ: $x = 4,5; y = -6$.

88. Вы узнаете, у кого из животных самая большая пасть, решив систему уравнений с двумя переменными:

$\begin{cases} x+y=300, \\ \frac{1}{2}x - 0,5y = 30; \end{cases}$

x — под таким углом может распахнуть пасть бегемот;

y — столько сантиметров достигает расстояние между челюстями бегемота.

Для ответа на вопрос необходимо решить систему уравнений с двумя переменными $x$ и $y$.

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} x + y = 300, \\ \frac{1}{2}x - 0,5y = 30; \end{cases} $
Здесь $x$ — это угол (в градусах), под которым может распахнуть пасть бегемот, а $y$ — это расстояние (в сантиметрах) между его челюстями.

Решим данную систему. Для удобства преобразуем второе уравнение, заметив, что десятичная дробь $0,5$ равна обыкновенной дроби $\frac{1}{2}$:
$\frac{1}{2}x - \frac{1}{2}y = 30$
Теперь умножим обе части этого уравнения на 2, чтобы избавиться от дробных коэффициентов:
$2 \cdot (\frac{1}{2}x - \frac{1}{2}y) = 2 \cdot 30$
$x - y = 60$

В результате мы получили более простую для решения эквивалентную систему уравнений:
$ \begin{cases} x + y = 300, \\ x - y = 60; \end{cases} $

Воспользуемся методом алгебраического сложения. Сложим левые и правые части уравнений:
$(x + y) + (x - y) = 300 + 60$
$x + y + x - y = 360$
$2x = 360$

Отсюда находим значение переменной $x$:
$x = \frac{360}{2}$
$x = 180$

Теперь подставим найденное значение $x = 180$ в первое уравнение исходной системы ($x + y = 300$), чтобы найти значение $y$:
$180 + y = 300$
$y = 300 - 180$
$y = 120$

Таким образом, решением системы являются значения $x = 180$ и $y = 120$. Это означает, что бегемот может распахнуть пасть под углом 180°, а расстояние между его челюстями достигает 120 см, что делает его обладателем одной из самых больших пастей среди сухопутных животных.

Ответ: $x = 180$, $y = 120$.

89. Решите систему уравнений и вы узнаете о Наурзумском заповеднике, который находится в Костанайской области:

Наурзумский заповедник

1) $$\begin{cases} x+y=3897 \\ x-y=35 \end{cases}$$

x — в этом году Наурзумский заповедник был реорганизован;

y — в этом году был организован Наурзумский заповедник;

2) $$\begin{cases} x+10y=1197 \\ 20y-x=1434 \end{cases}$$

x — столько тысяч гектаров была площадь Наурзумского заповедника первоначально;

y — столько тысяч гектаров стала площадь Наурзумского заповедника после реорганизации;

3) $$\begin{cases} 0.1x + 0.01y = 32 \\ 2x + y = 1200 \end{cases}$$

x — столько видов птиц в Наурзумском заповеднике;

y — примерно столько видов растений в Наурзумском заповеднике;

4) $$\begin{cases} 1.5x+2.5y = 75 \\ \frac{1}{20}x + \frac{1}{6}y = 3 \end{cases}$$

x — примерно столько видов млекопитающих в Наурзумском заповеднике;

y — столько видов рыб в Наурзумском заповеднике.

Решите систему уравнений (90–94):

1) Дана система уравнений: $\begin{cases} x + y = 3897 \\ x - y = 35 \end{cases}$, где $x$ — год, в котором Наурзымский заповедник был реорганизован, а $y$ — год, в котором Наурзымский заповедник был организован.

Для решения этой системы удобно использовать метод алгебраического сложения. Сложим левые и правые части обоих уравнений:

$(x + y) + (x - y) = 3897 + 35$

$2x = 3932$

Теперь найдем $x$:

$x = \frac{3932}{2} = 1966$

Подставим найденное значение $x$ в первое уравнение системы, чтобы найти $y$:

$1966 + y = 3897$

$y = 3897 - 1966 = 1931$

Проверим результат, подставив значения во второе уравнение: $1966 - 1931 = 35$. Равенство верно.

Таким образом, Наурзымский заповедник был организован в 1931 году ($y$) и реорганизован в 1966 году ($x$).

Ответ: $x=1966, y=1931$.

2) Дана система уравнений: $\begin{cases} x + 10y = 1197 \\ 20y - x = 1434 \end{cases}$, где $x$ — первоначальная площадь Наурзымского заповедника в тысячах гектаров, а $y$ — площадь после реорганизации в тысячах гектаров.

Перепишем второе уравнение для удобства: $-x + 20y = 1434$. Теперь система выглядит так:

$\begin{cases} x + 10y = 1197 \\ -x + 20y = 1434 \end{cases}$

Снова применим метод сложения:

$(x + 10y) + (-x + 20y) = 1197 + 1434$

$30y = 2631$

Найдем $y$:

$y = \frac{2631}{30} = 87,7$

Подставим значение $y$ в первое уравнение системы:

$x + 10 \cdot 87,7 = 1197$

$x + 877 = 1197$

$x = 1197 - 877 = 320$

Итак, первоначальная площадь заповедника составляла 320 тысяч гектаров, а после реорганизации — 87,7 тысяч гектаров.

Ответ: $x=320, y=87,7$.

3) Дана система уравнений: $\begin{cases} 0,1x + 0,01y = 32 \\ 2x + y = 1200 \end{cases}$, где $x$ — количество видов птиц, а $y$ — примерное количество видов растений в Наурзымском заповеднике.

Для решения этой системы удобно использовать метод подстановки. Выразим $y$ из второго уравнения:

$y = 1200 - 2x$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$0,1x + 0,01(1200 - 2x) = 32$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $x$:

$0,1x + 12 - 0,02x = 32$

$0,08x = 32 - 12$

$0,08x = 20$

$x = \frac{20}{0,08} = \frac{2000}{8} = 250$

Теперь найдем $y$, подставив значение $x$ в выражение для $y$:

$y = 1200 - 2 \cdot 250 = 1200 - 500 = 700$

В заповеднике обитает 250 видов птиц и произрастает примерно 700 видов растений.

Ответ: $x=250, y=700$.

4) Дана система уравнений: $\begin{cases} 1,5x + 2,5y = 75 \\ \frac{1}{20}x + \frac{1}{6}y = 3 \end{cases}$, где $x$ — примерное количество видов млекопитающих, а $y$ — количество видов рыб в Наурзымском заповеднике.

Упростим оба уравнения, чтобы избавиться от дробей и десятичных чисел. Умножим первое уравнение на 2:

$2 \cdot (1,5x + 2,5y) = 2 \cdot 75 \implies 3x + 5y = 150$

Умножим второе уравнение на наименьшее общее кратное знаменателей (20 и 6), то есть на 60:

$60 \cdot (\frac{1}{20}x + \frac{1}{6}y) = 60 \cdot 3 \implies 3x + 10y = 180$

Получили новую, более простую систему:

$\begin{cases} 3x + 5y = 150 \\ 3x + 10y = 180 \end{cases}$

Воспользуемся методом вычитания. Вычтем первое уравнение из второго:

$(3x + 10y) - (3x + 5y) = 180 - 150$

$5y = 30$

$y = \frac{30}{5} = 6$

Подставим значение $y$ в первое упрощенное уравнение:

$3x + 5 \cdot 6 = 150$

$3x + 30 = 150$

$3x = 120$

$x = \frac{120}{3} = 40$

В заповеднике обитает примерно 40 видов млекопитающих и 6 видов рыб.

Ответ: $x=40, y=6$.