Номер 89, страница 25 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

89. Решите систему уравнений и вы узнаете о Наурзумском заповеднике, который находится в Костанайской области:

Наурзумский заповедник

1) $$\begin{cases} x+y=3897 \\ x-y=35 \end{cases}$$

x — в этом году Наурзумский заповедник был реорганизован;

y — в этом году был организован Наурзумский заповедник;

2) $$\begin{cases} x+10y=1197 \\ 20y-x=1434 \end{cases}$$

x — столько тысяч гектаров была площадь Наурзумского заповедника первоначально;

y — столько тысяч гектаров стала площадь Наурзумского заповедника после реорганизации;

3) $$\begin{cases} 0.1x + 0.01y = 32 \\ 2x + y = 1200 \end{cases}$$

x — столько видов птиц в Наурзумском заповеднике;

y — примерно столько видов растений в Наурзумском заповеднике;

4) $$\begin{cases} 1.5x+2.5y = 75 \\ \frac{1}{20}x + \frac{1}{6}y = 3 \end{cases}$$

x — примерно столько видов млекопитающих в Наурзумском заповеднике;

y — столько видов рыб в Наурзумском заповеднике.

Решите систему уравнений (90–94):

1) Дана система уравнений: $\begin{cases} x + y = 3897 \\ x - y = 35 \end{cases}$, где $x$ — год, в котором Наурзымский заповедник был реорганизован, а $y$ — год, в котором Наурзымский заповедник был организован.

Для решения этой системы удобно использовать метод алгебраического сложения. Сложим левые и правые части обоих уравнений:

$(x + y) + (x - y) = 3897 + 35$

$2x = 3932$

Теперь найдем $x$:

$x = \frac{3932}{2} = 1966$

Подставим найденное значение $x$ в первое уравнение системы, чтобы найти $y$:

$1966 + y = 3897$

$y = 3897 - 1966 = 1931$

Проверим результат, подставив значения во второе уравнение: $1966 - 1931 = 35$. Равенство верно.

Таким образом, Наурзымский заповедник был организован в 1931 году ($y$) и реорганизован в 1966 году ($x$).

Ответ: $x=1966, y=1931$.

2) Дана система уравнений: $\begin{cases} x + 10y = 1197 \\ 20y - x = 1434 \end{cases}$, где $x$ — первоначальная площадь Наурзымского заповедника в тысячах гектаров, а $y$ — площадь после реорганизации в тысячах гектаров.

Перепишем второе уравнение для удобства: $-x + 20y = 1434$. Теперь система выглядит так:

$\begin{cases} x + 10y = 1197 \\ -x + 20y = 1434 \end{cases}$

Снова применим метод сложения:

$(x + 10y) + (-x + 20y) = 1197 + 1434$

$30y = 2631$

Найдем $y$:

$y = \frac{2631}{30} = 87,7$

Подставим значение $y$ в первое уравнение системы:

$x + 10 \cdot 87,7 = 1197$

$x + 877 = 1197$

$x = 1197 - 877 = 320$

Итак, первоначальная площадь заповедника составляла 320 тысяч гектаров, а после реорганизации — 87,7 тысяч гектаров.

Ответ: $x=320, y=87,7$.

3) Дана система уравнений: $\begin{cases} 0,1x + 0,01y = 32 \\ 2x + y = 1200 \end{cases}$, где $x$ — количество видов птиц, а $y$ — примерное количество видов растений в Наурзымском заповеднике.

Для решения этой системы удобно использовать метод подстановки. Выразим $y$ из второго уравнения:

$y = 1200 - 2x$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$0,1x + 0,01(1200 - 2x) = 32$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $x$:

$0,1x + 12 - 0,02x = 32$

$0,08x = 32 - 12$

$0,08x = 20$

$x = \frac{20}{0,08} = \frac{2000}{8} = 250$

Теперь найдем $y$, подставив значение $x$ в выражение для $y$:

$y = 1200 - 2 \cdot 250 = 1200 - 500 = 700$

В заповеднике обитает 250 видов птиц и произрастает примерно 700 видов растений.

Ответ: $x=250, y=700$.

4) Дана система уравнений: $\begin{cases} 1,5x + 2,5y = 75 \\ \frac{1}{20}x + \frac{1}{6}y = 3 \end{cases}$, где $x$ — примерное количество видов млекопитающих, а $y$ — количество видов рыб в Наурзымском заповеднике.

Упростим оба уравнения, чтобы избавиться от дробей и десятичных чисел. Умножим первое уравнение на 2:

$2 \cdot (1,5x + 2,5y) = 2 \cdot 75 \implies 3x + 5y = 150$

Умножим второе уравнение на наименьшее общее кратное знаменателей (20 и 6), то есть на 60:

$60 \cdot (\frac{1}{20}x + \frac{1}{6}y) = 60 \cdot 3 \implies 3x + 10y = 180$

Получили новую, более простую систему:

$\begin{cases} 3x + 5y = 150 \\ 3x + 10y = 180 \end{cases}$

Воспользуемся методом вычитания. Вычтем первое уравнение из второго:

$(3x + 10y) - (3x + 5y) = 180 - 150$

$5y = 30$

$y = \frac{30}{5} = 6$

Подставим значение $y$ в первое упрощенное уравнение:

$3x + 5 \cdot 6 = 150$

$3x + 30 = 150$

$3x = 120$

$x = \frac{120}{3} = 40$

В заповеднике обитает примерно 40 видов млекопитающих и 6 видов рыб.

Ответ: $x=40, y=6$.