Номер 84, страница 24 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

84. Найдите значение суммы всех целых чисел, которые являются решениями системы неравенств:

1)

$\begin{cases} |x| < 4, \\ |x| \ge 1, \\ x > -3; \end{cases}$

2)

$\begin{cases} |x| \le 10, \\ x > -7, \\ x \le 2; \end{cases}$

3)

$\begin{cases} |x| > 3, \\ x \le 4, \\ |x| \le 5. \end{cases}$

1) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} |x| < 4, \\ |x| \ge 1, \\ x > -3. \end{cases} $
Первое неравенство $|x| < 4$ равносильно двойному неравенству $-4 < x < 4$.
Второе неравенство $|x| \ge 1$ равносильно совокупности $x \le -1$ или $x \ge 1$.
Третье неравенство — $x > -3$.
Найдем пересечение множеств решений всех трех неравенств.
Решением системы является объединение промежутков $x \in (-3, -1] \cup [1, 4)$.
Целые числа, принадлежащие этому множеству: -2, -1, 1, 2, 3.
Найдем их сумму: $-2 + (-1) + 1 + 2 + 3 = 3$.
Ответ: 3

2) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} |x| \le 10, \\ x > -7, \\ x \le 2. \end{cases} $
Первое неравенство $|x| \le 10$ равносильно двойному неравенству $-10 \le x \le 10$.
Второе неравенство — $x > -7$.
Третье неравенство — $x \le 2$.
Найдем пересечение промежутков $[-10, 10]$, $(-7, \infty)$ и $(-\infty, 2]$. Решением системы является промежуток $x \in (-7, 2]$.
Целые числа, принадлежащие этому промежутку: -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2.
Найдем их сумму: $-6 + (-5) + (-4) + (-3) + (-2) + (-1) + 0 + 1 + 2 = -18$.
Ответ: -18

3) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} |x| > 3, \\ x \le 4, \\ |x| \le 5. \end{cases} $
Первое неравенство $|x| > 3$ равносильно совокупности $x < -3$ или $x > 3$.
Второе неравенство — $x \le 4$.
Третье неравенство $|x| \le 5$ равносильно двойному неравенству $-5 \le x \le 5$.
Найдем пересечение множеств решений всех трех неравенств.
Из второго и третьего неравенств получаем $x \in [-5, 4]$.
Пересекая это множество с решением первого неравенства ($x < -3$ или $x > 3$), получаем итоговое решение системы: $x \in [-5, -3) \cup (3, 4]$.
Целые числа, принадлежащие этому множеству: -5, -4, 4.
Найдем их сумму: $-5 + (-4) + 4 = -5$.
Ответ: -5