Номер 82, страница 23 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

82. Решите неравенство:

1) $|1 + 2x| < 9;

2) $|3 + 2x| \le 5;

3) $|1 - 2x| \ge 7;

4) $|2 - 5x| > 22.$

5) $|3x + 5| \ge 20;

6) $|4 + 3x| \le 5;

7) $|7 - 4x| \le 11.$

8) $|6x - 5| \ge 1.$

9) $|1 - 2x| < 4;

10) $|0.8 - \frac{1}{3}x| > 0.2;

11) $|2.5x + 1| < 1.5;

12) $|-4x + \frac{1}{9}| \le \frac{5}{9}.$

1) Неравенство $|1 + 2x| < 9$ равносильно двойному неравенству:

$-9 < 1 + 2x < 9$

Вычтем 1 из всех частей неравенства:

$-9 - 1 < 2x < 9 - 1$

$-10 < 2x < 8$

Разделим все части на 2:

$-5 < x < 4$

Ответ: $(-5; 4)$.

2) Неравенство $|3 + 2x| \le 5$ равносильно двойному неравенству:

$-5 \le 3 + 2x \le 5$

Вычтем 3 из всех частей неравенства:

$-5 - 3 \le 2x \le 5 - 3$

$-8 \le 2x \le 2$

Разделим все части на 2:

$-4 \le x \le 1$

Ответ: $[-4; 1]$.

3) Неравенство $|1 - 2x| \ge 7$ равносильно совокупности двух неравенств:

$\left[ \begin{gathered} 1 - 2x \ge 7, \\ 1 - 2x \le -7. \end{gathered} \right.$

Решаем первое неравенство: $1 - 2x \ge 7 \implies -2x \ge 6 \implies x \le -3$.

Решаем второе неравенство: $1 - 2x \le -7 \implies -2x \le -8 \implies x \ge 4$.

Объединение решений дает интервал:

Ответ: $(-\infty; -3] \cup [4; +\infty)$.

4) Неравенство $|2 - 5x| > 22$ равносильно совокупности двух неравенств:

$\left[ \begin{gathered} 2 - 5x > 22, \\ 2 - 5x < -22. \end{gathered} \right.$

Решаем первое неравенство: $2 - 5x > 22 \implies -5x > 20 \implies x < -4$.

Решаем второе неравенство: $2 - 5x < -22 \implies -5x < -24 \implies x > \frac{24}{5} \implies x > 4.8$.

Объединение решений дает интервал:

Ответ: $(-\infty; -4) \cup (4.8; +\infty)$.

5) Неравенство $|3x + 5| \ge 20$ равносильно совокупности двух неравенств:

$\left[ \begin{gathered} 3x + 5 \ge 20, \\ 3x + 5 \le -20. \end{gathered} \right.$

Решаем первое неравенство: $3x + 5 \ge 20 \implies 3x \ge 15 \implies x \ge 5$.

Решаем второе неравенство: $3x + 5 \le -20 \implies 3x \le -25 \implies x \le -\frac{25}{3}$.

Объединение решений дает интервал:

Ответ: $(-\infty; -\frac{25}{3}] \cup [5; +\infty)$.

6) Неравенство $|4 + 3x| \le 5$ равносильно двойному неравенству:

$-5 \le 4 + 3x \le 5$

$-5 - 4 \le 3x \le 5 - 4$

$-9 \le 3x \le 1$

$-3 \le x \le \frac{1}{3}$

Ответ: $[-3; \frac{1}{3}]$.

7) Неравенство $|7 - 4x| \le 11$ равносильно двойному неравенству:

$-11 \le 7 - 4x \le 11$

$-11 - 7 \le -4x \le 11 - 7$

$-18 \le -4x \le 4$

Разделим на -4 и сменим знаки неравенства:

$\frac{-18}{-4} \ge x \ge \frac{4}{-4}$

$4.5 \ge x \ge -1$

Запишем в стандартном виде:

$-1 \le x \le 4.5$

Ответ: $[-1; 4.5]$.

8) Неравенство $|6x - 5| \ge 1$ равносильно совокупности двух неравенств:

$\left[ \begin{gathered} 6x - 5 \ge 1, \\ 6x - 5 \le -1. \end{gathered} \right.$

Решаем первое: $6x \ge 6 \implies x \ge 1$.

Решаем второе: $6x \le 4 \implies x \le \frac{4}{6} \implies x \le \frac{2}{3}$.

Объединение решений:

Ответ: $(-\infty; \frac{2}{3}] \cup [1; +\infty)$.

9) Неравенство $|1 - 2x| < 4$ равносильно двойному неравенству:

$-4 < 1 - 2x < 4$

$-4 - 1 < -2x < 4 - 1$

$-5 < -2x < 3$

Разделим на -2 и сменим знаки неравенства:

$\frac{-5}{-2} > x > \frac{3}{-2}$

$2.5 > x > -1.5$

$-1.5 < x < 2.5$

Ответ: $(-1.5; 2.5)$.

10) Неравенство $|0.8 - \frac{1}{3}x| > 0.2$ равносильно совокупности:

$\left[ \begin{gathered} 0.8 - \frac{1}{3}x > 0.2, \\ 0.8 - \frac{1}{3}x < -0.2. \end{gathered} \right.$

Решаем первое: $-\frac{1}{3}x > 0.2 - 0.8 \implies -\frac{1}{3}x > -0.6 \implies x < 1.8$.

Решаем второе: $-\frac{1}{3}x < -0.2 - 0.8 \implies -\frac{1}{3}x < -1 \implies x > 3$.

Объединение решений:

Ответ: $(-\infty; 1.8) \cup (3; +\infty)$.

11) Неравенство $|2.5x + 1| < 1.5$ равносильно двойному неравенству:

$-1.5 < 2.5x + 1 < 1.5$

$-1.5 - 1 < 2.5x < 1.5 - 1$

$-2.5 < 2.5x < 0.5$

$\frac{-2.5}{2.5} < x < \frac{0.5}{2.5}$

$-1 < x < 0.2$

Ответ: $(-1; 0.2)$.

12) Неравенство $|-4x + \frac{1}{9}| \le \frac{5}{9}$ равносильно двойному неравенству:

$-\frac{5}{9} \le -4x + \frac{1}{9} \le \frac{5}{9}$

$-\frac{5}{9} - \frac{1}{9} \le -4x \le \frac{5}{9} - \frac{1}{9}$

$-\frac{6}{9} \le -4x \le \frac{4}{9}$

$-\frac{2}{3} \le -4x \le \frac{4}{9}$

Разделим на -4 и сменим знаки неравенства:

$\frac{-2/3}{-4} \ge x \ge \frac{4/9}{-4}$

$\frac{2}{12} \ge x \ge -\frac{4}{36}$

$\frac{1}{6} \ge x \ge -\frac{1}{9}$

Запишем в стандартном виде:

$-\frac{1}{9} \le x \le \frac{1}{6}$

Ответ: $[-\frac{1}{9}; \frac{1}{6}]$.