Номер 75, страница 22 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

75. Найдите все целые числа, являющиеся решениями системы неравенств:

1)

$$\begin{cases} x - 1 > \frac{2x - 0,5}{3}, \\ \frac{7x + 12}{8} \ge x + 1; \end{cases}$$

2)

$$\begin{cases} \frac{9x - 13}{8} > x - 2, \\ 1 + x > \frac{10x + 6}{9}. \end{cases}$$

1) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} x - 1 > \frac{2x - 0.5}{3} \\ \frac{7x + 12}{8} \ge x + 1 \end{cases} $

Сначала решим первое неравенство:

$x - 1 > \frac{2x - 0.5}{3}$

Умножим обе части неравенства на 3, чтобы избавиться от знаменателя:

$3(x - 1) > 2x - 0.5$

$3x - 3 > 2x - 0.5$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числовые значения в правую:

$3x - 2x > 3 - 0.5$

$x > 2.5$

Теперь решим второе неравенство:

$\frac{7x + 12}{8} \ge x + 1$

Умножим обе части неравенства на 8:

$7x + 12 \ge 8(x + 1)$

$7x + 12 \ge 8x + 8$

Перенесем слагаемые с $x$ в правую часть, а числовые значения в левую:

$12 - 8 \ge 8x - 7x$

$4 \ge x$, что равносильно $x \le 4$

Мы получили два условия для $x$: $x > 2.5$ и $x \le 4$. Решением системы является пересечение этих двух множеств, то есть интервал $x \in (2.5; 4]$.

Изобразим решение на числовой оси:

Нам нужно найти все целые числа, которые удовлетворяют этому условию. Это числа, которые больше 2.5 и меньше или равны 4. Такими числами являются 3 и 4.

Ответ: 3; 4.

2) Решим систему неравенств: $ \begin{cases} \frac{9x - 13}{8} > x - 2 \\ 1 + x > \frac{10x + 6}{9} \end{cases} $

Сначала решим первое неравенство:

$\frac{9x - 13}{8} > x - 2$

Умножим обе части на 8:

$9x - 13 > 8(x - 2)$

$9x - 13 > 8x - 16$

$9x - 8x > 13 - 16$

$x > -3$

Теперь решим второе неравенство:

$1 + x > \frac{10x + 6}{9}$

Умножим обе части на 9:

$9(1 + x) > 10x + 6$

$9 + 9x > 10x + 6$

$9 - 6 > 10x - 9x$

$3 > x$, что равносильно $x < 3$

Мы получили два условия для $x$: $x > -3$ и $x < 3$. Решением системы является пересечение этих множеств, то есть интервал $x \in (-3; 3)$.

Изобразим решение на числовой оси:

Нам нужно найти все целые числа, которые удовлетворяют этому условию. Это числа, которые строго больше -3 и строго меньше 3. Такими числами являются -2, -1, 0, 1, 2.

Ответ: -2; -1; 0; 1; 2.