Номер 83, страница 24 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

83. Решите систему неравенств:

1) $\begin{cases} 147 - 3x \ge 51, \\ |x| \ge 11, \\ 11 + 0,5x > 0,5 \end{cases}$

2) $\begin{cases} |x| \le 1,5, \\ 60x + 8 < 9x + 9, \\ |x| < 9,7 \end{cases}$

1)

Решим каждое из трех неравенств системы по отдельности.

Первое неравенство: $147-3x \ge 51$.

Перенесем 147 в правую часть:

$-3x \ge 51 - 147$

$-3x \ge -96$

Разделим обе части на -3, при этом знак неравенства изменится на противоположный:

$x \le \frac{-96}{-3}$

$x \le 32$

Решение этого неравенства: $x \in (-\infty, 32]$.

Второе неравенство: $|x| \ge 11$.

Это неравенство с модулем равносильно совокупности двух неравенств:

$x \ge 11$ или $x \le -11$

Решение этого неравенства: $x \in (-\infty, -11] \cup [11, \infty)$.

Третье неравенство: $11+0,5x>0,5$.

Перенесем 11 в правую часть:

$0,5x > 0,5 - 11$

$0,5x > -10,5$

Разделим обе части на 0,5:

$x > \frac{-10,5}{0,5}$

$x > -21$

Решение этого неравенства: $x \in (-21, \infty)$.

Теперь найдем пересечение решений всех трех неравенств. Искомое решение должно одновременно удовлетворять условиям: $x \le 32$, $(x \le -11 \text{ или } x \ge 11)$, и $x > -21$.

Рассмотрим пересечение на числовой оси. Нам нужны значения $x$, которые больше -21, но при этом либо меньше или равны -11, либо находятся в промежутке от 11 до 32 включительно.

Из условий $x > -21$ и $x \le -11$ получаем первый промежуток: $(-21, -11]$.

Из условий $x \ge 11$ и $x \le 32$ получаем второй промежуток: $[11, 32]$.

Объединяя эти два промежутка, получаем решение всей системы.

Ответ: $(-21, -11] \cup [11, 32]$.

2)

Решим каждое из трех неравенств системы по отдельности.

Первое неравенство: $|x| \le 1,5$.

Это неравенство равносильно двойному неравенству:

$-1,5 \le x \le 1,5$

Решение этого неравенства: $x \in [-1,5; 1,5]$.

Второе неравенство: $60x+8<9x+9$.

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:

$60x - 9x < 9 - 8$

$51x < 1$

Разделим обе части на 51:

$x < \frac{1}{51}$

Решение этого неравенства: $x \in (-\infty, \frac{1}{51})$.

Третье неравенство: $|x| < 9,7$.

Это неравенство равносильно двойному неравенству:

$-9,7 < x < 9,7$

Решение этого неравенства: $x \in (-9,7; 9,7)$.

Теперь найдем пересечение решений всех трех неравенств: $x \in [-1,5; 1,5] \cap (-\infty, \frac{1}{51}) \cap (-9,7; 9,7)$.

Заметим, что если $x \in [-1,5; 1,5]$, то условие $x \in (-9,7; 9,7)$ выполняется автоматически, поскольку промежуток $[-1,5; 1,5]$ полностью содержится в промежутке $(-9,7; 9,7)$. Следовательно, третье неравенство является избыточным.

Таким образом, нам нужно найти пересечение решений первых двух неравенств: $x \in [-1,5; 1,5]$ и $x < \frac{1}{51}$.

Это означает, что $x$ должен быть больше или равен -1,5 и одновременно строго меньше $\frac{1}{51}$.

Объединяя эти условия, получаем итоговый промежуток: $-1,5 \le x < \frac{1}{51}$.

Ответ: $[-1,5; \frac{1}{51})$.