Страница 46 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Каким свойством обладает возведение произведения и частного в степень?

1. Какими могут быть основания и показатели степени, чтобы можно было применить правило возведения в степень:
1) произведения;
2) дроби?

2. Может ли в результате возведения произведения или дроби в натуральную степень получиться отрицательное число или нуль?

Возведение произведения и частного в степень подчиняется следующим свойствам:

1. Свойство степени произведения: Чтобы возвести произведение в степень, достаточно возвести в эту степень каждый из множителей и результаты перемножить. Математически это записывается так: $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$.

2. Свойство степени частного (дроби): Чтобы возвести частное (дробь) в степень, можно возвести в эту степень отдельно делимое (числитель) и делитель (знаменатель) и первый результат разделить на второй. Математически это записывается так: $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$.

1. Какими могут быть основания и показатели степени, чтобы можно было применить правило возведения в степень: 1) произведения; 2) дроби?

Для применения этих правил существуют следующие условия:

1) Для произведения $(a \cdot b)^n$:

Основаниями являются множители $a$ и $b$. Они могут быть любыми числами (целыми, дробными, положительными, отрицательными, иррациональными). Показатель степени $n$ также может быть любым числом (натуральным, целым, рациональным), для которого определены выражения $a^n$ и $b^n$. В школьном курсе алгебры чаще всего рассматриваются целые показатели. Если показатель $n$ является целым отрицательным числом, то основания $a$ и $b$ не должны быть равны нулю.

2) Для дроби $(\frac{a}{b})^n$:

Основанием является дробь $\frac{a}{b}$. Числитель $a$ может быть любым числом, но знаменатель $b$ не может быть равен нулю ($b \neq 0$), так как деление на ноль не определено. Показатель степени $n$ также может быть любым числом. Если $n$ — целое отрицательное число или ноль, то и числитель $a$ не должен быть равен нулю.

Ответ: Для произведения основания могут быть любыми числами (за исключением нуля, если показатель степени отрицательный). Для дроби числитель может быть любым числом, а знаменатель — любым, кроме нуля (если показатель отрицательный или равен нулю, то и числитель не должен быть равен нулю). Показатель степени может быть любым числом, для которого операция имеет смысл.

2. Может ли в результате возведения произведения или дроби в натуральную степень получиться отрицательное число или нуль?

Да, в результате возведения произведения или дроби в натуральную степень ($n = 1, 2, 3, ...$) может получиться как отрицательное число, так и нуль.

Получение нуля:

Результат будет равен нулю тогда и только тогда, когда основание степени равно нулю.

• Для произведения $(a \cdot b)^n$: результат будет равен нулю, если хотя бы один из множителей ($a$ или $b$) равен нулю. Например: $(7 \cdot 0)^3 = 0^3 = 0$.
• Для дроби $(\frac{a}{b})^n$: результат будет равен нулю, если числитель $a$ равен нулю (а знаменатель $b$, как мы помним, нулю не равен). Например: $(\frac{0}{5})^2 = 0^2 = 0$.

Получение отрицательного числа:

Результат будет отрицательным, если основание степени — отрицательное число, а показатель степени $n$ — нечетное натуральное число (1, 3, 5, ...). Если показатель степени четный, результат всегда будет неотрицательным.

• Для произведения $(a \cdot b)^n$: основание $a \cdot b$ должно быть отрицательным (это происходит, когда множители имеют разные знаки), а степень $n$ — нечетной. Например: $ ((-2) \cdot 4)^3 = (-8)^3 = -512 $.
• Для дроби $(\frac{a}{b})^n$: основание $\frac{a}{b}$ должно быть отрицательным (когда числитель и знаменатель имеют разные знаки), а степень $n$ — нечетной. Например: $ (\frac{10}{-2})^3 = (-5)^3 = -125 $.

Ответ: Да, может. Результат равен нулю, если основание (произведение или дробь) равно нулю. Результат является отрицательным числом, если основание отрицательно, а натуральный показатель степени — нечетное число.