Страница 52 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

6.1. Замените дробью степень с целым отрицательным показателем:

1) $7^{-3}$;

2) $13^{-2}$;

3) $11^{-1}$;

4) $12^{-3}$;

5) $16^{-3}$;

6) $25^{-4}$.

1) Степень с целым отрицательным показателем $a^{-n}$ можно представить в виде дроби $\frac{1}{a^n}$. Для выражения $7^{-3}$ основание $a=7$, а показатель $n=3$. Таким образом, $7^{-3} = \frac{1}{7^3}$. Теперь вычислим значение знаменателя: $7^3 = 7 \cdot 7 \cdot 7 = 49 \cdot 7 = 343$. В результате получаем дробь $\frac{1}{343}$.
Ответ: $\frac{1}{343}$.

2) Аналогично, для выражения $13^{-2}$ основание $a=13$, а показатель $n=2$. Применяя правило, получаем $13^{-2} = \frac{1}{13^2}$. Вычислим знаменатель: $13^2 = 13 \cdot 13 = 169$. Следовательно, искомая дробь равна $\frac{1}{169}$.
Ответ: $\frac{1}{169}$.

3) Для выражения $11^{-1}$ основание $a=11$, а показатель $n=1$. Получаем $11^{-1} = \frac{1}{11^1}$. Так как любое число в первой степени равно самому себе, $11^1 = 11$. Таким образом, $11^{-1} = \frac{1}{11}$.
Ответ: $\frac{1}{11}$.

4) Для выражения $12^{-3}$ основание $a=12$, а показатель $n=3$. Получаем дробь $\frac{1}{12^3}$. Вычислим значение знаменателя: $12^3 = 12 \cdot 12 \cdot 12 = 144 \cdot 12 = 1728$. В результате получаем $\frac{1}{1728}$.
Ответ: $\frac{1}{1728}$.

5) Для выражения $16^{-3}$ основание $a=16$, а показатель $n=3$. Получаем дробь $\frac{1}{16^3}$. Вычислим значение знаменателя: $16^3 = 16 \cdot 16 \cdot 16 = 256 \cdot 16 = 4096$. Таким образом, искомая дробь равна $\frac{1}{4096}$.
Ответ: $\frac{1}{4096}$.

6) Для выражения $25^{-4}$ основание $a=25$, а показатель $n=4$. Получаем дробь $\frac{1}{25^4}$. Вычислим значение знаменателя: $25^4 = (25^2)^2 = 625^2 = 390625$. Следовательно, $25^{-4} = \frac{1}{390625}$.
Ответ: $\frac{1}{390625}$.

6.2. Замените степенью с целым отрицательным показателем дробь:

1) $\frac{1}{81}$;

2) $\frac{1}{64}$;

3) $\frac{1}{121}$;

4) $\frac{1}{625}$;

5) $\frac{1}{841}$;

6) $\frac{1}{256}$.

Для решения данной задачи используется определение степени с целым отрицательным показателем: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, где $a \ne 0$ и $n$ — целое число.

1) Чтобы заменить дробь $\frac{1}{81}$ степенью, представим знаменатель 81 в виде степени. Число 81 можно представить как квадрат числа 9 ($81 = 9^2$) или как четвертую степень числа 3 ($81 = 3^4$).

Используя основание 3, получаем: $\frac{1}{81} = \frac{1}{3^4}$.

Применяя формулу, получаем: $\frac{1}{3^4} = 3^{-4}$.

Также верен вариант с основанием 9: $\frac{1}{81} = \frac{1}{9^2} = 9^{-2}$.

Ответ: $3^{-4}$.

2) Для дроби $\frac{1}{64}$ представим знаменатель 64 в виде степени. Это можно сделать несколькими способами: $64 = 8^2$, $64 = 4^3$ или $64 = 2^6$.

Используем представление с основанием 2: $\frac{1}{64} = \frac{1}{2^6}$.

По определению степени с отрицательным показателем: $\frac{1}{2^6} = 2^{-6}$.

Другие возможные правильные ответы: $4^{-3}$ и $8^{-2}$.

Ответ: $2^{-6}$.

3) Рассмотрим дробь $\frac{1}{121}$. Знаменатель 121 является квадратом числа 11: $121 = 11^2$.

Следовательно, мы можем записать: $\frac{1}{121} = \frac{1}{11^2}$.

Применив правило для степени с отрицательным показателем, получаем: $\frac{1}{11^2} = 11^{-2}$.

Ответ: $11^{-2}$.

4) Для дроби $\frac{1}{625}$ представим знаменатель 625 в виде степени. Число 625 является квадратом 25 ($625 = 25^2$), а также четвертой степенью числа 5 ($625 = 5^4$).

Используя основание 5, получаем: $\frac{1}{625} = \frac{1}{5^4}$.

Отсюда, $\frac{1}{5^4} = 5^{-4}$.

Также возможен ответ $25^{-2}$.

Ответ: $5^{-4}$.

5) Чтобы представить дробь $\frac{1}{841}$ в виде степени, найдем целое число, степенью которого является 841. Проверим квадраты чисел. Так как $20^2 = 400$ и $30^2 = 900$, искомое число находится между 20 и 30. Последняя цифра 1 в числе 841 говорит о том, что основание должно заканчиваться на 1 или 9. Проверка показывает, что $29^2 = 841$.

Таким образом, $\frac{1}{841} = \frac{1}{29^2}$.

Применяя правило, получаем: $\frac{1}{29^2} = 29^{-2}$.

Ответ: $29^{-2}$.

6) Для дроби $\frac{1}{256}$ представим знаменатель 256 в виде степени. Число 256 имеет несколько таких представлений: $256=16^2$, $256=4^4$, $256=2^8$.

Выберем представление с наименьшим простым основанием 2: $\frac{1}{256} = \frac{1}{2^8}$.

Используя определение степени с отрицательным показателем, получаем: $\frac{1}{2^8} = 2^{-8}$.

Другие возможные ответы: $4^{-4}$ и $16^{-2}$.

Ответ: $2^{-8}$.