Страница 54 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

6.8. Представьте дробь в виде степени с целым показателем:

1) $\frac{2ab^2}{c^2x^3}$;

2) $\frac{54x^3y^2}{2a^5b^4}$;

3) $\frac{4}{(x+y)^3}$;

4) $\frac{(a-b)^3}{(a+b)^5}$.

1) Чтобы представить дробь $\frac{2ab^2}{c^2x^3}$ в виде выражения с целыми показателями, мы воспользуемся свойством степени с отрицательным показателем: $\frac{1}{a^n} = a^{-n}$. Это свойство позволяет нам переносить множители из знаменателя в числитель, изменяя знак их показателя степени на противоположный.

В знаменателе дроби находятся множители $c^2$ и $x^3$. Применим к ним указанное правило:

$\frac{1}{c^2} = c^{-2}$

$\frac{1}{x^3} = x^{-3}$

Теперь исходную дробь можно записать как произведение множителей из числителя и множителей, перенесенных из знаменателя:

$\frac{2ab^2}{c^2x^3} = 2ab^2 \cdot c^{-2} \cdot x^{-3} = 2ab^2c^{-2}x^{-3}$.

Таким образом, мы представили дробь в виде произведения степеней с целыми показателями.

Ответ: $2ab^2c^{-2}x^{-3}$

2) Рассмотрим дробь $\frac{54x^3y^2}{2a^5b^4}$. Первым шагом упростим числовые коэффициенты в дроби, разделив 54 на 2.

$\frac{54}{2} = 27$.

После упрощения дробь примет вид: $\frac{27x^3y^2}{a^5b^4}$.

Далее, как и в предыдущем примере, используем свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ для переноса множителей $a^5$ и $b^4$ из знаменателя в числитель. Их показатели степени 5 и 4 изменят знак на -5 и -4 соответственно.

$\frac{1}{a^5} = a^{-5}$

$\frac{1}{b^4} = b^{-4}$

В результате дробь преобразуется в произведение:

$27x^3y^2a^{-5}b^{-4}$.

Для удобства записи, расположим переменные в алфавитном порядке: $27a^{-5}b^{-4}x^3y^2$.

Ответ: $27a^{-5}b^{-4}x^3y^2$

3) Дана дробь $\frac{4}{(x+y)^3}$. В этом случае в знаменателе находится целое выражение $(x+y)$, возведенное в степень.

Мы применим то же самое свойство степени с отрицательным показателем $\frac{1}{A^n} = A^{-n}$, где в качестве основания $A$ выступает двучлен $(x+y)$, а показатель $n$ равен 3.

$\frac{1}{(x+y)^3} = (x+y)^{-3}$.

Числитель 4 является коэффициентом при полученной степени. Таким образом, исходное выражение можно записать в виде:

$\frac{4}{(x+y)^3} = 4 \cdot \frac{1}{(x+y)^3} = 4(x+y)^{-3}$.

Выражение представлено в виде произведения числа на степень с целым отрицательным показателем.

Ответ: $4(x+y)^{-3}$

4) Рассмотрим дробь $\frac{(a-b)^3}{(a+b)^5}$. Эта дробь содержит степени двучленов и в числителе, и в знаменателе.

Наша задача — избавиться от черты дроби. Для этого перенесем множитель из знаменателя, то есть $(a+b)^5$, в числитель. Сделаем это с помощью свойства $\frac{1}{A^n} = A^{-n}$, где $A = (a+b)$ и $n = 5$.

$\frac{1}{(a+b)^5} = (a+b)^{-5}$.

Теперь исходную дробь можно записать как произведение степени, которая была в числителе, на степень, которую мы перенесли из знаменателя.

$\frac{(a-b)^3}{(a+b)^5} = (a-b)^3 \cdot (a+b)^{-5}$.

Таким образом, мы представили дробь в виде произведения двух степеней с целыми показателями.

Ответ: $(a-b)^3(a+b)^{-5}$

6.9. Расскажите о французском математике Николе Шюке, который ввел отрицательные и нулевые показатели степеней в рукописном трактате “Наука о числах” в 1484 г.

Никола Шюке (Nicolas Chuquet, ок. 1445 – ок. 1488) — французский математик, живший в XV веке. Родился в Париже, но большую часть жизни провел в Лионе, где работал врачом. Несмотря на то что математика не была его основной профессией, его вклад в развитие алгебры и теории чисел был весьма значительным, хотя и оставался непризнанным на протяжении нескольких столетий.

Главный труд Шюке, принесший ему посмертную славу, — это рукописный трактат «Трехчастное сочинение о науке чисел» (Le Triparty en la science des nombres), который чаще всего называют просто «Наука о числах». Трактат был завершен в 1484 году. Он состоял из трех частей: в первой рассматривались операции с рациональными числами, во второй — с иррациональными числами (корнями), а в третьей — теория уравнений. Важнейшей особенностью работы Шюке было то, что она была написана на французском языке, а не на латыни, что делало ее доступной для более широкого круга читателей, хотя она и не была опубликована при его жизни.

Именно в этом трактате Никола Шюке впервые в европейской математике ввел и систематически использовал нулевые и отрицательные показатели степени. Он разработал оригинальную систему обозначений. Неизвестную величину (современный $x$) он обозначал показателем $1$, ее квадрат ($x^2$) — показателем $2$, и так далее. Ключевым нововведением стало распространение этой системы на нулевой и отрицательные показатели. Свободный член уравнения (константу) Шюке связывал с нулевым показателем. Например, число 12 он мог записать как $12^0$, тем самым фактически постулируя правило $a^0 = 1$. Для величин, обратных степеням неизвестной, Шюке использовал отрицательные показатели. Например, выражение $\frac{12}{x}$ он записывал с показателем $-1$, что полностью соответствует современной записи $12x^{-1}$. Шюке также сформулировал и применял правила действий со степенями, такие как $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ и $(a^m)^n = a^{mn}$, для всех целых показателей, включая положительные, отрицательные и нуль.

Помимо введения степеней, Шюке сделал и другие важные нововведения. Он предложил систему наименования больших чисел, разделив их на группы по шесть цифр (миллионы). Он ввел термины «биллион» (для $10^{12}$), «триллион» (для $10^{18}$) и так далее. Эта система стала основой для так называемой «длинной шкалы», используемой сегодня во многих странах Европы. Также он свободно оперировал отрицательными числами, признавая их в качестве корней уравнений, что было прогрессивным для того времени.

К сожалению, труд Шюке не был напечатан и не получил известности при его жизни. Рукопись была обнаружена лишь в XIX веке. Однако часть его идей была заимствована и опубликована (без указания авторства) другим математиком, Этьеном де ла Рошем, в его книге «Арифметика» 1520 года. Из-за этого многие открытия Шюке долгое время приписывались де ла Рошу. Только после исследования оригинальной рукописи в 1880-х годах историческая справедливость была восстановлена, и Никола Шюке занял свое почетное место в истории математики как один из пионеров алгебры.

Ответ: Французский математик Никола Шюке в своем рукописном трактате «Наука о числах», написанном в 1484 году, стал первым в Европе, кто ввел и систематически использовал нулевые и отрицательные показатели степеней. Он использовал показатель $0$ для обозначения свободных членов (констант), что эквивалентно правилу $a^0=1$, и отрицательные показатели (например, $-1$) для обозначения обратных величин (например, $1/x$), что соответствует современной записи $x^{-1}$. Он также сформулировал общие правила для операций со степенями, которые были верны для всех целых показателей.

6.10. Упростите выражение:

1) $ (5^3 \cdot 5^2)^4 : 5^{15}; $

2) $ (3^3)^4 \cdot 9^2 : 3^{10}; $

3) $ 3^2 \cdot (-3)^4 - 3^6; $

4) $ 25^3 : 5^2; $

5) $ 3^4 \cdot 9^1; $

6) $ 4^2 \cdot (-4)^1. $

1) Упростим выражение $(5^3 \cdot 5^2)^4 : 5^{15}$.

Сначала выполним действие в скобках, используя свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$5^3 \cdot 5^2 = 5^{3+2} = 5^5$.

Теперь выражение принимает вид $(5^5)^4 : 5^{15}$.

Далее применим свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$(5^5)^4 = 5^{5 \cdot 4} = 5^{20}$.

Осталось выполнить деление, используя свойство деления степеней с одинаковым основанием $a^m : a^n = a^{m-n}$:
$5^{20} : 5^{15} = 5^{20-15} = 5^5$.

Вычислим окончательный результат:
$5^5 = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 3125$.

Ответ: $3125$.

2) Упростим выражение $(3^3)^4 \cdot 9^2 : 3^{10}$.

Приведем все степени к одному основанию $3$. Для этого представим $9$ как $3^2$.
Выражение примет вид $(3^3)^4 \cdot (3^2)^2 : 3^{10}$.

Применим свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$(3^3)^4 = 3^{3 \cdot 4} = 3^{12}$
$(3^2)^2 = 3^{2 \cdot 2} = 3^4$.

Теперь выражение выглядит так: $3^{12} \cdot 3^4 : 3^{10}$.

Выполним умножение и деление степеней, используя свойства $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ и $a^m : a^n = a^{m-n}$:
$3^{12} \cdot 3^4 : 3^{10} = 3^{12+4} : 3^{10} = 3^{16} : 3^{10} = 3^{16-10} = 3^6$.

Вычислим окончательный результат:
$3^6 = 729$.

Ответ: $729$.

3) Упростим выражение $3^2 \cdot (-3)^4 - 3^6$.

Так как показатель степени $4$ является четным числом, то $(-3)^4 = 3^4$.

Подставим это в исходное выражение:
$3^2 \cdot 3^4 - 3^6$.

Используем свойство умножения степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$3^{2+4} - 3^6 = 3^6 - 3^6$.

Выполним вычитание:
$3^6 - 3^6 = 0$.

Ответ: $0$.

4) Упростим выражение $25^3 : 5^3 : 5^2$.

Приведем все степени к одному основанию $5$. Для этого представим $25$ как $5^2$.
Выражение примет вид $(5^2)^3 : 5^3 : 5^2$.

Используем свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$(5^2)^3 = 5^{2 \cdot 3} = 5^6$.

Теперь выражение выглядит так: $5^6 : 5^3 : 5^2$.

Выполним деление последовательно слева направо, используя свойство $a^m : a^n = a^{m-n}$:
$5^6 : 5^3 = 5^{6-3} = 5^3$.
$5^3 : 5^2 = 5^{3-2} = 5^1 = 5$.

Ответ: $5$.

5) Упростим выражение $3^4 \cdot 9^1$.

Приведем все степени к одному основанию $3$. Представим $9$ как $3^2$.
Выражение примет вид $3^4 \cdot (3^2)^1$.

Так как любое число в первой степени равно самому себе, $(3^2)^1 = 3^2$.

Теперь выражение выглядит так: $3^4 \cdot 3^2$.

Используем свойство умножения степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$3^4 \cdot 3^2 = 3^{4+2} = 3^6$.

Вычислим окончательный результат:
$3^6 = 729$.

Ответ: $729$.

6) Упростим выражение $4^2 \cdot (-4)^1$.

Сначала вычислим значения степеней:
$4^2 = 16$.
$(-4)^1 = -4$.

Теперь перемножим полученные значения:
$16 \cdot (-4) = -64$.

Ответ: $-64$.