Номер 6.8, страница 54 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

6.8. Представьте дробь в виде степени с целым показателем:

1) $\frac{2ab^2}{c^2x^3}$;

2) $\frac{54x^3y^2}{2a^5b^4}$;

3) $\frac{4}{(x+y)^3}$;

4) $\frac{(a-b)^3}{(a+b)^5}$.

1) Чтобы представить дробь $\frac{2ab^2}{c^2x^3}$ в виде выражения с целыми показателями, мы воспользуемся свойством степени с отрицательным показателем: $\frac{1}{a^n} = a^{-n}$. Это свойство позволяет нам переносить множители из знаменателя в числитель, изменяя знак их показателя степени на противоположный.

В знаменателе дроби находятся множители $c^2$ и $x^3$. Применим к ним указанное правило:

$\frac{1}{c^2} = c^{-2}$

$\frac{1}{x^3} = x^{-3}$

Теперь исходную дробь можно записать как произведение множителей из числителя и множителей, перенесенных из знаменателя:

$\frac{2ab^2}{c^2x^3} = 2ab^2 \cdot c^{-2} \cdot x^{-3} = 2ab^2c^{-2}x^{-3}$.

Таким образом, мы представили дробь в виде произведения степеней с целыми показателями.

Ответ: $2ab^2c^{-2}x^{-3}$

2) Рассмотрим дробь $\frac{54x^3y^2}{2a^5b^4}$. Первым шагом упростим числовые коэффициенты в дроби, разделив 54 на 2.

$\frac{54}{2} = 27$.

После упрощения дробь примет вид: $\frac{27x^3y^2}{a^5b^4}$.

Далее, как и в предыдущем примере, используем свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ для переноса множителей $a^5$ и $b^4$ из знаменателя в числитель. Их показатели степени 5 и 4 изменят знак на -5 и -4 соответственно.

$\frac{1}{a^5} = a^{-5}$

$\frac{1}{b^4} = b^{-4}$

В результате дробь преобразуется в произведение:

$27x^3y^2a^{-5}b^{-4}$.

Для удобства записи, расположим переменные в алфавитном порядке: $27a^{-5}b^{-4}x^3y^2$.

Ответ: $27a^{-5}b^{-4}x^3y^2$

3) Дана дробь $\frac{4}{(x+y)^3}$. В этом случае в знаменателе находится целое выражение $(x+y)$, возведенное в степень.

Мы применим то же самое свойство степени с отрицательным показателем $\frac{1}{A^n} = A^{-n}$, где в качестве основания $A$ выступает двучлен $(x+y)$, а показатель $n$ равен 3.

$\frac{1}{(x+y)^3} = (x+y)^{-3}$.

Числитель 4 является коэффициентом при полученной степени. Таким образом, исходное выражение можно записать в виде:

$\frac{4}{(x+y)^3} = 4 \cdot \frac{1}{(x+y)^3} = 4(x+y)^{-3}$.

Выражение представлено в виде произведения числа на степень с целым отрицательным показателем.

Ответ: $4(x+y)^{-3}$

4) Рассмотрим дробь $\frac{(a-b)^3}{(a+b)^5}$. Эта дробь содержит степени двучленов и в числителе, и в знаменателе.

Наша задача — избавиться от черты дроби. Для этого перенесем множитель из знаменателя, то есть $(a+b)^5$, в числитель. Сделаем это с помощью свойства $\frac{1}{A^n} = A^{-n}$, где $A = (a+b)$ и $n = 5$.

$\frac{1}{(a+b)^5} = (a+b)^{-5}$.

Теперь исходную дробь можно записать как произведение степени, которая была в числителе, на степень, которую мы перенесли из знаменателя.

$\frac{(a-b)^3}{(a+b)^5} = (a-b)^3 \cdot (a+b)^{-5}$.

Таким образом, мы представили дробь в виде произведения двух степеней с целыми показателями.

Ответ: $(a-b)^3(a+b)^{-5}$