Номер 6.4, страница 53 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

6.4. Вычислите:

1) $2^{-3}$;2) $(-3)^{-3}$;3) $(-1)^{-22}$;

4) $\left(\frac{2}{5}\right)^3$;5) $0,02^{-3}$;6) $1,25^{-2}$;

7) $-4^{-3}$;8) $(-0,3)^{-2}$;9) $\left(-2\frac{1}{2}\right)^{-3}$;

10) $(-2,25)^{-1}$;11) $-(-2,3)^{-1}$;12) $-\left(-2\frac{1}{3}\right)^{-2}$.

1) Для вычисления степени с отрицательным показателем используем правило $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$. Таким образом, $2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$. Ответ: $\frac{1}{8}$.

2) Применяем правило $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$. Поскольку основание отрицательное, а показатель степени нечетный, результат будет отрицательным. $ (-3)^{-3} = \frac{1}{(-3)^3} = \frac{1}{-27} = -\frac{1}{27}$. Ответ: $-\frac{1}{27}$.

3) Используем правило $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$. Любая четная степень числа $-1$ равна $1$. Следовательно, $(-1)^{-22} = \frac{1}{(-1)^{22}} = \frac{1}{1} = 1$. Ответ: $1$.

4) Для возведения дроби в степень необходимо возвести в эту степень и числитель, и знаменатель дроби: $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$. Таким образом, $(\frac{2}{5})^3 = \frac{2^3}{5^3} = \frac{8}{125}$. Ответ: $\frac{8}{125}$.

5) Сначала представим десятичную дробь $0,02$ в виде обыкновенной: $0,02 = \frac{2}{100} = \frac{1}{50}$. Затем воспользуемся свойством $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$. Получаем: $0,02^{-3} = (\frac{1}{50})^{-3} = (\frac{50}{1})^3 = 50^3 = 125000$. Ответ: $125000$.

6) Представим десятичное число $1,25$ в виде обыкновенной дроби: $1,25 = 1\frac{25}{100} = 1\frac{1}{4} = \frac{5}{4}$. Теперь возведем в степень, используя правило $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$: $(\frac{5}{4})^{-2} = (\frac{4}{5})^2 = \frac{4^2}{5^2} = \frac{16}{25}$. Ответ: $\frac{16}{25}$.

7) В данном выражении операция возведения в степень имеет более высокий приоритет, чем унарный минус. Поэтому сначала вычисляем $4^{-3}$, а затем применяем знак минус. $4^{-3} = \frac{1}{4^3} = \frac{1}{64}$. Следовательно, $-4^{-3} = -\frac{1}{64}$. Ответ: $-\frac{1}{64}$.

8) Переведем десятичную дробь $-0,3$ в обыкновенную: $-\frac{3}{10}$. При возведении отрицательного числа в четную степень результат будет положительным. $(-0,3)^{-2} = (-\frac{3}{10})^{-2} = (-\frac{10}{3})^2 = \frac{(-10)^2}{3^2} = \frac{100}{9}$. Ответ: $\frac{100}{9}$.

9) Переведем смешанное число $-2\frac{1}{2}$ в неправильную дробь: $-\frac{5}{2}$. При возведении отрицательного числа в нечетную степень результат будет отрицательным. $(-2\frac{1}{2})^{-3} = (-\frac{5}{2})^{-3} = (-\frac{2}{5})^3 = \frac{(-2)^3}{5^3} = -\frac{8}{125}$. Ответ: $-\frac{8}{125}$.

10) Переведем десятичное число $-2,25$ в неправильную дробь: $-2,25 = -2\frac{25}{100} = -2\frac{1}{4} = -\frac{9}{4}$. Возведение в степень $-1$ означает нахождение обратного числа. $(-2,25)^{-1} = (-\frac{9}{4})^{-1} = -\frac{4}{9}$. Ответ: $-\frac{4}{9}$.

11) Сначала вычислим выражение в скобках. $-2,3 = -\frac{23}{10}$. Тогда $(-2,3)^{-1} = (-\frac{23}{10})^{-1} = -\frac{10}{23}$. Теперь применим знак минус перед скобками: $- (-\frac{10}{23}) = \frac{10}{23}$. Ответ: $\frac{10}{23}$.

12) Сначала вычислим выражение в скобках. Переведем смешанное число в неправильную дробь: $-2\frac{1}{3} = -\frac{7}{3}$. Возводим в четную степень $-2$: $(-2\frac{1}{3})^{-2} = (-\frac{7}{3})^{-2} = (-\frac{3}{7})^2 = \frac{3^2}{7^2} = \frac{9}{49}$. Теперь применим знак минус перед скобками: $-(\frac{9}{49}) = -\frac{9}{49}$. Ответ: $-\frac{9}{49}$.