Номер 6.5, страница 53 - гдз по алгебре 7 класс учебник Абылкасымова, Кучер

6.5. Замените дробью степень с целым отрицательным показателем:

1) $(25)^{-1}$;

2) $(0,125)^{-2}$;

3) $(-2,5)^{-2}$;

4) $\left(\frac{2}{5}\right)^{-1}$;

5) $\left(2\frac{1}{3}\right)^{-3}$;

6) $\left(-\frac{2}{7}\right)^{-2}$.

1) Чтобы заменить степень с целым отрицательным показателем на дробь, используется свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ для любого ненулевого числа $a$ и целого $n$.
В данном случае $a = 25$ и $n = 1$. Применяя это правило, получаем:
$(25)^{-1} = \frac{1}{25^1} = \frac{1}{25}$.
Ответ: $\frac{1}{25}$

2) Сначала преобразуем десятичную дробь $0,125$ в обыкновенную.
$0,125 = \frac{125}{1000} = \frac{1}{8}$.
Теперь выражение принимает вид $(\frac{1}{8})^{-2}$. Воспользуемся свойством $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$.
$(\frac{1}{8})^{-2} = (\frac{8}{1})^2 = 8^2 = 64$.
Ответ: $64$

3) Преобразуем десятичное число $-2,5$ в обыкновенную дробь.
$-2,5 = -\frac{25}{10} = -\frac{5}{2}$.
Теперь необходимо вычислить $(-\frac{5}{2})^{-2}$. Используя свойство $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$, получаем:
$(-\frac{5}{2})^{-2} = (-\frac{2}{5})^2$.
Так как показатель степени $2$ является четным числом, результат будет положительным:
$(-\frac{2}{5})^2 = \frac{(-2)^2}{5^2} = \frac{4}{25}$.
Ответ: $\frac{4}{25}$

4) Для выражения $(\frac{2}{5})^{-1}$ применим правило $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$.
В данном случае $a=2$, $b=5$ и $n=1$.
$(\frac{2}{5})^{-1} = (\frac{5}{2})^1 = \frac{5}{2}$.
Ответ: $\frac{5}{2}$

5) Сначала преобразуем смешанное число $2\frac{1}{3}$ в неправильную дробь.
$2\frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3}$.
Теперь выражение выглядит как $(\frac{7}{3})^{-3}$. Применим свойство $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$.
$(\frac{7}{3})^{-3} = (\frac{3}{7})^3 = \frac{3^3}{7^3} = \frac{27}{343}$.
Ответ: $\frac{27}{343}$

6) Для выражения $(-\frac{2}{7})^{-2}$ воспользуемся свойством $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$.
$(-\frac{2}{7})^{-2} = (-\frac{7}{2})^2$.
Поскольку показатель степени $2$ — четное число, знак минус у основания при возведении в степень исчезает:
$(-\frac{7}{2})^2 = \frac{(-7)^2}{2^2} = \frac{49}{4}$.
Ответ: $\frac{49}{4}$